幾種特殊類型行列式及其計算

1、1行列式的定義及性質(zhì)1.1定義n級行列式a11厲2La21a22LMMan1an2L等于所有取自不同行不同列的個n元素的乘積aina2nManna1 j1 a2 j2 L anjn (1)的代數(shù)和,這里 j/L jn 是1,2,L , n的一個排列，每一項（1）都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)j&L jn是偶排列時，（1）帶正號，當(dāng)j1j2L jn是奇排列時,（1）帶有負(fù)號這一定義可寫成a112La21a22LMMan1an2La1 na2nMj1j2L jn.a1j1 a2j2 L anjnjL jn這里表示對所有n級排列求和.jjL jn1.2 性質(zhì)性質(zhì)行列互換,行列式的值不變.性質(zhì)某行（列）的公

2、因子可以提到行列式的符號外.性質(zhì)如果某行例）的所有元素都可以寫成兩項的和，則該行列式可以寫成兩行列 式的和；這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行例）與原行列 式相同.性質(zhì)兩行（列）對應(yīng)元素相同，行列式的值為零.性質(zhì)兩行（列）對應(yīng)元素成比例，行列式的值為零.性質(zhì)某行例）的倍數(shù)加到另一行（列）對應(yīng)的元素上,行列式的值不變.性質(zhì)127交換兩行（列）的位置,行列式的值變號.2行列式的分類及其計算方法2.1箭形（爪形）行列式這類行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）對角線上元素外的其他元素均為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上（下）三角形行列式

3、來計算即利用對 角元素或次對角元素將一條邊消為零例1 計算n階行列式1解 將第一列減去第二列的 一倍,a211第三列的一倍L第n列的一倍，得a3ana111L11a20L0Dn10a3L0a2a3L an0LLLLL100Lannaii 2i 2 ai111L1L 1a2an0a20L000a3L0LLLLL000Lan印a12.2兩三角型行列式這類行列式的特征是對角線上方的元素都是 c,對角線下方的元素都是b的行列式，初看,這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對這類行列式，當(dāng)b c時可以化為上面列舉的爪形來計算，當(dāng) b c時則用拆行（列）法來計算.例2計算行列式a

4、1 c c L b a2 c La3 LL LcccLaiDnb a2 b Lb b a3 LL L L Lb b b L將第2行到第行n都減去第1行，則Dn化為以上所述的爪形，即ab a1ba2 bb0LLb0Dnb a10a3bL0LLLLLb a100Lanb用上述特征1的方法，則有aiaii 2 aibb a1b a1a2 b0 a3 b Lb a1000Lan bai b ba1b L a 1 b ai 1 b L當(dāng)b c時，用拆行（列）法9，則%aaLabx2aLabbx3LaL L L L L bbbLbXnb Dn 1.化簡得Dna x2Xn 1xnDn而若一開始將Xn拆為aX

5、n，則得DnXib X2xn 1XnDn由 1Xn bXnX1 baX2aaLLaaDnbbX3LaLLLLLbbbLXnxiaaLa0bX2aLa0bbX3La0LLLL LbbbLb Xnbx1aaL0bx2aL0bbx3L0L L L L Lb b b L 人 bx1 a 0 L L ba x2 a L L L L L Lxn 1a anDnXjj 1有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進(jìn)行計算baa n 2L例3計算行列式d b b L c x a L c a x L L L L L c a a L解將第一行b，第一列a 得a2daaLabeb

6、eaXaLaDn2aaaXLaLLLLLaaaLX即化為上21情形，計算得n 2n 1 ad be x a而對于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公 共因子的，則用升階法8來簡化.例4計算行列式解將行列式升階，得將第i行減去第一行的Xi i 2,L ,n1片2nx2LNXX21 %2 LLLLLXnXXnX2 L12Xn1XX2LXn01 xjX1X2LX1Xn0X2X11 x22LX2XnLLLLL0XnX1XnX2L12Xn倍,得1x2 LXnX110 L0X201 L0.LL LLLXn00 L1Dn這就化為了爪形，按上述特征1的方法計算可得Dnn21

7、xiXix?Li 1xn002.3兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主（次）對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個頂點中的某個點外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元 素全為0的，自然也直接展開降階計算例5計算行列式a1L3a?L b?LLLLDnLLLLLLLLan 1bn 1bnLLLan解按第一行展開可得a?b?LLLbLLLLLasbsLL.d 1 nbn1a?b?LLLLLLLLLLLLLLLLan 1bn 1LLan 1bn 1LLLLLanLLLan 1bn 1n 1aL an1b|b2L bn.例6計算行列式an 1bntnD2ndidn

8、dn解方法1直接展開可得D2nanan 1bn 100an 1bn 1ONONa1bi6bi1 2nC1 d1bn1Cid1NONOcn 1d n 1Cn 1d n 10dnCn0andnan 1bn 12n 111an 1bn 1ONOOd1NONa1Gb aNa1C1Cn 1dn 1Cn 1dn 1andnbnCnD2 n 1D2nandnbnCnD2 n 1andnbnCnan 1dnbn 1Cn 1D2aidibjCj.i 1方法2 （拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展開得D2nanbndn1 2n 1 2n1andnbnCn D2 n 1 .an 1ONcn 1bn 1Na1 d

9、G d1Odn 1其余的同法1.2.4 Hesse nberg 型行列式這類行列式的特征是除主（次）對角線及與其相鄰的斜線，再加上第1或第n行外，其他元 素均為零，這類行列式都用累加消點法，即通常將第一行 （列）元素化簡到只有一個非零元素,以便于這一行或列的展開降階計算例7計算行列式Dn110LL0212LL0302LL0LLLL Ln 100L2n00L01解將各列加到第一列得Dnn200LL012LL002LL0LLL Ln 2L00L200L01 n按第一列展開得Dnn n 1 L L2L L10L022L0LLn 2 2 n00L00 L 0 n 11 n2.5三對角型行列式形如Dna

10、 b cabc O OO Oc的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其ba他元素均為零，這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式，所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開，將所得的n 1階行列式再展開即得遞推公式.對這類行列式用遞推法例8計算行列式Dn解按第一列展開有DnaDn 1bcDn 2解特征方程x2 ax bc 0得X1a 、a2 4bc2a,X2-a2 4bc2Dnn 1X1n 1X2,X1X2.x1x2例9計算行列式Dn9549 00 0 0095解按第一行展開得Dn 9Dn 120 0.解特征方程得x-i 4, x25.則Dn a4n 1 b5n 1 . 分別使n 1,2得a 16

11、,b 25,貝Un 1,n 1Dn54 .2.6各行（列）元素和相等的行列式這類行列式的特征是其所有行（列）對應(yīng)元素相加后相等，對這類行列式，將其所有行1 a1 L a2 L加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都減去第一行（列），即可使行列式 中出現(xiàn)大量的零元素例10計算行列式1 a1 a1Laa21 a2 La2L LLLanan L 1 an解將第2行到第n行都加到第1行，得an1a1 LanL1 a2L1a1 Lana2L1 anLL1a, Lana2L1 a2 LL L1 11a2L1 an1 a1 Lan10L11 a1 Lan2.7相鄰兩行（列）對應(yīng)元素相差1的

12、行列式這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行（列）元素相差1的行列式，對這類行列式，自第一行（列）開始，前行（列）減去后行（列），或自第行n （列）開始，后行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或1的行列式，再進(jìn)一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素若相鄰兩行 例）元素相差倍數(shù)k，則前（后）行例）減去后（前）行例）的k倍,可使行列式出 現(xiàn)大量的零元素.例11計算行列式1Ln3n20Ln4n3MMM解依次用前行減去后行，可得1 11 1111 L 11現(xiàn)將第1列加到第2列至第n列，得Dn100L120L122LMMM122Ln 1 2n 3 2n 4 L000000MM20n n 12n例11計算階n行列式1aa2Lan 11aLa a 1 LMMMaa a La a a La倍的方法化簡得解 這是相鄰兩行（列）相差倍數(shù)a，可采用前行減去后行的1 an 00 L 0001 an 0 L0M0a01 an L 00M MM M00 L 1 an 0aa L a12.8德蒙德型行列式這類行列式的特征是有逐行（列）元素按方幕遞增或遞