2020年高二數(shù)學(xué)上冊(cè)課時(shí)綜合調(diào)研檢測(cè)題50

1、0.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)課時(shí)目標(biāo)1. 熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.2. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題.3 .理解an與S的關(guān)系，能根據(jù)S求an.知識(shí)1. 前n項(xiàng)和Sn與an之間的關(guān)系對(duì)任意數(shù)列an, s是前n項(xiàng)和，Si與an的關(guān)系可以表示為 為Sin= 1 ,Sn S-1n>2 .2 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn =n a1 + an2n n- 1 =na1 +2 d.3. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列an中當(dāng)a1>0, d<0時(shí)，Sn有最大值,使Si取到最值的n可由不等式組an'O0確定; an+1 W 0當(dāng)a1<0, d&g

2、t;0時(shí)，Sn有最小值,使Si取到最值的n可由不等式組an< 0an+1> 0確定.plpl(2)因?yàn)镾n =刃2+ a1-2 n,假設(shè)0,那么從二次函數(shù)的角度看： 當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值：當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值：且n取最接近對(duì)稱 軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值.一個(gè)有用的結(jié)論：假設(shè)Sn = an2 + bn,貝擻列 佝是等差數(shù)列.反之亦然.作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和s = n2，那么an等于()A . nB. n2C. 2n+ 1D. 2n 1答案 D2. 數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)Sn= (n+ 1)2 +入 那么入的值是()A 2

3、 B1C. 0 D . 1答案 B解析 等差數(shù)列前n項(xiàng)和5的形式為：S = an2 + bn,二 A 1.3. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和n2 9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8, 那么k為A . 9B.8C. 7D. 6答案BIi,n= 1解析由an =, Gn = 2n 10.Ii In -1, n?2由 5<2k 10<8，得 7.5vk<9,.*=8.4. 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，假設(shè)|3=3，那么S6等于()A 3廠 1J1A.和B.3C.8Dp答案 A、Is 3a + 3d1解析 方法一| = 1? a1 =2d,16 6a1 + 15d3I66a1 + 1

4、5d 12d+ 15d 3|12_ 12a1 + 66d_ 24d + 66d_ 10I31方法二 由忑=3,得 |6 = 3I3S , I6 S3, I9 I6, I12 I9 仍然是等差數(shù)列，公差為(I6 I) 13 = S3,從而 I916= & + 2I3= 3S3? I9=6I3,&3I12 19 = I3 + 3I3= 4I3? I12= 10I3,所以由=10.5. 設(shè)In是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，假設(shè)a5=9,那么g等于(a3 9I5A . 1B. 11C. 2D.2答案 A解析由等差數(shù)列的性質(zhì),as 205 a1 +a9 5a3 = 2a3 = a1 + a5

5、=9ai + a91.5X6.設(shè)an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5<S6, S6_S7>S8,那么卜列結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(A. d<0C. S9>S5答案 C)B. a7_ 0D . S6與Sz均為Sn的最大值解析 由 S5<S6,得 a6_&一S5>0.又 S_S7? a7_ 0,所以 d<0.由 S7>Sb? a8<0，因此，S9一 S5_ a6+a7 + a8 + a9_ 2(a7 + a8)<0 即 S9<S5.二、填空題7. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn_ n2- n, (n N*)，那么通項(xiàng)an .答

6、案 2n- 28. 在等差數(shù)列an中，ai_25, &_ Si7,那么前n項(xiàng)和S的最大值是.答案 169解析方法一利用前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)性質(zhì).179由 Si7_S9,得 25X 17+X (17- 1)d_25X9+qX (9- 1)d，解得 d_-2,所以 Sn_ 25n + *n 1)X (-2)_- (n- 13)2 + 169,由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)n_ 13時(shí)，Sn有最大值169. 方法二 先求出d_-2,因?yàn)閍1_25>0,an _ 25 2 n 1?0, 由an+1 _ 25 2n w 0,1n<132,1 n >122.所以當(dāng)n_ 13時(shí)，S有最大

7、值.S13_ 25 X 13+X ( 2) _ 169.13X 13 1因此S的最大值為169.方法二由 Si7= S9,得 aio + aii + ai7= 0,而 aio + ai7 = aii + ai6= ai2 + ai5= ai3 + ai4, 故 ai3 + ai4 = 0.由方法一知 d= 2<0, 又因?yàn)?ai>0，所以 ai3>0, ai4<0, 故當(dāng)n= 13時(shí)，Sn有最大值.13X 13 1Si3 = 25 X 13+2 X ( 2) = 169.因此S的最大值為169.9. 在等差數(shù)列an中，前三項(xiàng)和為15,最后三項(xiàng)和為78, 所有項(xiàng)和為155

8、,那么項(xiàng)數(shù)n =.答案 10解析 由，a + a2 + a3 = 15, an+ an 1 + an2 = 78,兩式相加, 得(a1 + &)+ 2 + an-1)+ (出 + an2) = 93，即 a1 + an = 31.亠 n a1 + an 31n./口由 Sn =2= 2 = 155, 得 n = 10.10. 等差數(shù)列an中，a1<0, S9= S2,該數(shù)列在n= k時(shí)，前n 項(xiàng)和S取到最小值，那么k的值是.答案 10或111解析 方法一一由S9 = S12 ,得d = 10 a1 ,由an = a+ n 1 dw 0，得an+1 = a1 + nd?0解得10&

9、lt; nW 11. a當(dāng)n為10或11時(shí)，S取最小值, 二該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.1方法二 由 S9= S12，得 d= 10*1,丄n n 1d 2d由 Sn = nai +2 d =口 + ai 2 n,/12 21ai 21 2 441 , _得 Sn = 20a1 n + 20a1 n=元 n 2 + "gga1 (a1<0),21由二次函數(shù)性質(zhì)可知n=2= 10.5時(shí)，Sn最小.但n N*，故n= 10或11時(shí)Sn取得最小值.三、解答題11. 設(shè)等差數(shù)列an滿足a3= 5, a10= 9.(1)求an的通項(xiàng)公式；求an的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的

10、值.解 (1)由 an= a1 + (n 1)d 及 a3= 5, a10= 9 得a1 + 2d= 5,a1 = 9,可解得a1 + 9d= 9,d = 2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=11 2n.n n 1(2)由(1)知，Sn = na1 +2d= 10n n2.因?yàn)?Sn= (n 5)2 + 25,所以當(dāng)n= 5時(shí)，Sn取得最大值.12. 等差數(shù)列an中，記Sn是它的前n項(xiàng)和，假設(shè)S2 = 16, S4 =24,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.2X 1 2a1 +2 d = 16,解由 S2 = 16, S4= 24,得4X 34a1 + d = 24.2a1 + d= 16,a1 =

11、 9,即解得2a1 + 3d= 12.d= 2.所以等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 11 2n (n N*).(1) 當(dāng) nW5 時(shí)，Tn= a| + &|+ |an|= a + a + an = Sn = n2 + 10n.(2) 當(dāng) n?6 時(shí)，Tn= |a1 |+戲|+ |an| = a1 + a2 + + a5 a6 a7一an= 2S5 Sn=2X ( 52+ 10X 5) (-n2+ 10n) = n2 10n+ 50,n2 + 10n nW 5 ,故Tn =n2 10n + 50 n?6 .能力提升13.數(shù)列an的前n項(xiàng)和&= 3n 2n2 (n N*),那么當(dāng)n

12、?2時(shí)，下列不等式成立的是()A . Sn>na1>nanB. Sn>nan>na1C. na1>Sn>nanD . nan>Sn>na1答案 CSn= 1解析方法由an =S Sn 1n?2解得 an= 5 4n.a1 = 5 4X 1 =1,na1 = n,n an= 5n 4n2,-nai Sn= n (3n 2n?) = 2卡一2n = 2n(n 1)>0. Sn n an= 3n 2n2 (5n 4n2) = 2n2 2n >0. n ai>Sn >n an. 方法二 van = 5 4n,.當(dāng)門=2 時(shí)，Sn=

13、 2,nai= 2, nan= 6,n ai>Sn >n an.14.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S，a3= 12,且Si2>0,Sl3<0.(1) 求公差d的范圍；(2) 問前幾項(xiàng)的和最大，并說明理由.12X 1112a1 +2 d>0,解(1)根據(jù)題意，有：13a + 13； 12 d<0整理得：a1 + 2d= 12,2ai + 11d>0,ai + 6d<0,ai + 2d= 12.解之得：24<d< - 3. vd<0,13 ai + ai3而 S13 =2= 13a7<0 ,&7<0.12 ai + ai2又 Si2 =2= 6(ai + ai2)= 6(a6 + az)>0, .a6>0.:數(shù)列an的前6項(xiàng)和S6最大.1. 公式an = Sn- Si-1并非對(duì)所有的n N都成立，而只對(duì)n?2 的正整數(shù)才成立.由Sn求通項(xiàng)公式an= f(n)時(shí)，要分n= 1和n?2兩 種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，假設(shè)不能， 那么用分段函數(shù)的形式