12-13仿射坐標(biāo)系

1、§ 2仿射坐標(biāo)系定義13：空間中一點(diǎn)?與三個(gè)不共面向量 勺龍2，纟3 一起構(gòu)成空間的一個(gè)慟標(biāo)架，記竹 O;勺竝呦稱O為它的原點(diǎn)，稱1“2，勺為它的 坐標(biāo)向量對(duì)于空間任意一恵，把向量肚 對(duì)勺的分解系數(shù)構(gòu)成的有威組稱為燉 關(guān)于上述仿射標(biāo)架的他坐標(biāo)。這樣得到的空間的點(diǎn)寫元有序數(shù)組的對(duì)應(yīng)莠 稱為由仿射標(biāo)和;勺竝心決定的空間仿射坐標(biāo)爰坐標(biāo)面與卦限空間仿射坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式 力坐標(biāo)為色，ay, az,方的坐標(biāo)為®, by, bz, a+b=(ax+bx)i +(ay +by)j + (az + 優(yōu))斤； a-b=(ax

2、 -bx)i + (ay -by)j + (az -bz)k;Aa = (%ax)i + (MJ 了 + (Xaz )k.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)例1設(shè)人（工1，兒憶1）和3（工22憶2）為兩 旦卻點(diǎn)，而在AB直線上的點(diǎn)M分有向線段 AB為兩部分麗、MB,使它們的值的比等AM °，求分點(diǎn)坐浙t于某數(shù)兄(2工1),即誘二'解 設(shè)M(x.y.z)為直線上的點(diǎn),AM OM-0A-x-xv y-yv zzMB = OB-OM=x2 x, y2 y, z2z由題意知：AM=AMBx x, y = Ax2 x, y2 y, z2z,X xx= A(x2 x) zz> X = "

3、1 + '“2 ,1 + 2V 幾=2(力一刃亠八屮告，1 + 2z Z =2(z2 -z) n z = Zi + 嚴(yán)2,1 + 2M為中點(diǎn)時(shí)，X. +x.x =2§3向量的內(nèi)積3.1向量的投影I則向量9M淋為向醞=0M在侖方向上的內(nèi)投影 向藥而稱為向醞=而在方向上的外投影， 分別記低淵Rz注：內(nèi)投影和外投影韻纟的大小無關(guān)設(shè)諭0是兩個(gè)非零向量，誰，0為它們的 幾何夾角（其弧度檔龍之間），込二十 當(dāng)a = 0時(shí)，Ca = |a|cosa，eQo,艮卩 昱冬=|a|cosa“00命題13：投影具有線性性質(zhì)，即對(duì)任意兩個(gè)向量，pPe(a + fl)=Pea+Pep, Pea + P

4、)=PeaPeP(2)對(duì)任意向量淋實(shí)數(shù)L/(2a) = APea, Pe(Aa) = Pea32內(nèi)積的定義實(shí)例rzzQUzzrMiSM2一物體在常力戸作用下沿直線從點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)必2,頁表示位移，則力所作的功為W=IFIIflcosi9 （其中0為戸與f的夾角）啟示兩向量作這樣的運(yùn)算，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義1.5 % 0兩個(gè)向量的內(nèi)積是一濮數(shù)，記他0. 當(dāng) 0中有零向量時(shí)，a0 = O；否則 a0： = |a|0|cosa, 0).顯然，a = 0u謹(jǐn)直切a = Jaq a 0 = 0 a0=a/3 a pa0a|0|y5)= arccos 7-7關(guān)于數(shù)量積的說明：(1) a證.& = (

5、)， ta-a =ddcos0 =a2 (2) db =0 al£（匝h 0，方工0）證(=>) ra b=0, I莎 1工0, I萬IhO, cos & = 0，0=-, :. al£.2(u) alJby & = ；， cos0 = 0,ab =ab lcos& = 0數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律:（1）交換律:a b =b a;（2）分配律：（莎+方）C=C + 1!(3)若2為數(shù)：(加)萬=a-(Ab) = 2(a -b),若期數(shù):（加）（歷） = 2“（匝方）例1證明向量C與向量(ac)b-(b 1)/垂直.證(/C)方一(方-c)

6、1;-c= («- c)ft - c - (ft -c)«- c=(c -b)a C一匝C=0(a-c)b-(b c)«±c、 a = axi +ayj +azk b =bxi +byj +bk > > a-b =(axi +ayj +azk) *(bxi + byj + bzk) *. fjJlA,:i j = j=0,vl i 1=1 j 1=1 k 1= 1,、,.Fi =j)=R斤=1ab=axbx+ayby+aj)z數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)A(xnjnz1), B(x2,y2,z2) 為空間兩點(diǎn).d = AB = ?dzAixyZi)B(x2,y2,z2)AB由 AB = OB-OAAB=?。ㄘ? -心尸+伉-兒y+-zj兀2,兒，® g y】，$= x2 y2 z2 空間兩點(diǎn)間距離公式兩向量夾角余弦的坐