易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計

1、6 / 6'.易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計組員：邢登峰，張娜，劉夢云摘要研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)約的資源是很可觀的。問題一，我們通過實際測量得出（355ml ）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3： 1的條件下，建立易拉罐用料模型s（r） 2 rd（爲(wèi) 2r），由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉r罐高與直徑之比2： 1，用料最省；在假定易拉罐高與直徑2： 1的條件下，將易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：min s（r,h）2g（r,h） r h v 0s.t r 0h 0用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3: 1。問

2、題三，在易拉罐基本尺寸，高與直徑之比 2: 1的條件下，將上面為正圓 臺的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺的用料優(yōu)化設(shè) 計。（R才W 卄（R亍r=1.467, h=1.93時，s=45.07最小。圓臺面積 s（r） r2模型用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2: 1，上下底之比=1: 2，與實際比較分析了 各種原因。問題四，從重視外觀美學(xué)要求（黃金分割），認(rèn)為高與直徑之比1： 0.4更別 致、美觀。對這種比例的正圓柱體易拉罐作了實際優(yōu)化分析。另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想，分析了這樣 易拉罐的優(yōu)缺點和尺寸優(yōu)化設(shè)計。最后寫出了我們對數(shù)學(xué)建模

3、的體會文章。關(guān)鍵詞：易拉罐最優(yōu)設(shè)計數(shù)學(xué)建模問題重述在生活中我們會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料（例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等）的飲料罐（即易拉罐）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最 優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的， 但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉 罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。具體說，請你們完成以下的任務(wù)：1. 取一個凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量 你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，

4、 并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須 注明出處。2. 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說 明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是 一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的 形狀和尺寸。4.利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形 狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。一、問題的提出我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 （例如飲料量為355毫升的可 口可樂、青島啤酒等）的飲料罐（即易拉罐）的

5、形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來, 這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說， 這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的， 但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億 個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。對于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計 我們提出了以下問題：1. 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐， 測量你們認(rèn)為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等, 并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的， 那么你們必須注明 出處。2. 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理 地說明你們所測量的易拉罐的形狀

6、和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部 分是一個正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設(shè)計？其結(jié)果是否可以合理地 說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自 己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。二、模型假設(shè)1、假設(shè)易拉罐的各個組成部分是同一種材料； 不考慮具體的用料（假設(shè)為鋁材）， 也不考慮易拉罐的工藝過程。2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺與正圓柱體的結(jié)合”等 等。3、實際測量允許有一定的誤差。4、問題二中的假設(shè)： 在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個正圓柱體； 假設(shè)易拉罐側(cè)面和

7、底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍；三. 模型的假設(shè)與求解問題一:我們測得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位 mm）:（以后尺寸均以其為基本上圓臺上底直徑59下底直徑67高度13正圓柱直徑67咼度110蓋厚0.30上圓臺側(cè)面厚0.20壁厚0.102）(2)單位）問題二：本題建立在易拉罐是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（ 假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。1 .符號說明：r：易拉罐的半徑；h：易拉罐的高；v:易拉罐內(nèi)體積（容積）；SV：易拉罐所用材料的體積； b：易拉罐除頂蓋外的厚度；:頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度2.問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計要研究到易拉罐各部分

8、厚度問題，可設(shè)想一個易 拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積(見圖2)。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料SV=( (r b)2- r2)(h+(1+ )b)+b r2 b r2將上式化簡，并以b,為參數(shù)，看作r,h為自變量。有 sv(r, h)2 rhb (1) r2b 2 r(1)b2 h b2(1 )b3作簡化，因為b= r，則b2,b3很小，所以可將帶b2,b3的項忽略。有 SV(r,h) s(r,h) 2 rhb r2(1 )b、 2記 g(r,h) r h v得數(shù)學(xué)模型(V是已知的，即罐容積一定)。min s(r, h)g(r,h)r2hstr 0h 03.模型求解由約束

9、條件g(r,h)V2r代入目標(biāo)函數(shù)s(r,h(r)2vb 一 (1r)r22b-T (1)r因為s 4b 2 (1(r 0)所以r 產(chǎn)為極小值點。又由于h二r）卄（1）r，則由對問題二的前v(14r，得 4 1，又由于極值點只有此一個，因此也是全局極小。一解的結(jié)論，h結(jié)論： 3 04. 結(jié)果分析易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的 3倍（ 3），與我們對355ml可口可樂等 易拉罐的實測數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。問題三：本題建立在易拉罐上面是一個正圓臺，下面是一個正圓柱體的基礎(chǔ)之上, 如圖（3）1 .符號說明R:易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺下底半徑） r :易拉罐正圓臺上底半徑；h1：易拉罐

10、正圓柱體高；V1 :易拉罐正圓柱體容積；h :易拉罐正圓臺高；V:易拉罐正圓臺容積。3.問題分析與模型因為上述解問題二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu) 設(shè)計是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本 的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡 化問題為研究正圓臺部分的優(yōu)化設(shè)計。以常見的可口可樂等 355ml易拉罐為例， 易拉罐可取定 R=32mm,h1=110mm于是測算出V=355ml.定,于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺體積 V 一定，底半徑R 一定時, 其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺的表面積

11、最小，如圖（4）:求正圓臺的面積得模型：正圓臺面積=頂蓋面積+圓臺側(cè)面積Sr2 (r R).(RFT1 2 2-h(r rR R )3代入有3V(r2 rRS= r2R2)(r r)J22 9V(R r2)2(r2 rR R2)7 / 6'.S的最小值用數(shù)學(xué)軟件求得：（其中如前分析取 V=35ml,R=3.2cm ），當(dāng) r=1.467cm,h=1.93cm 時，結(jié)論：常見的正圓臺與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用 料最少的優(yōu)化設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)是：總高度與底直徑之比為2: 1，正圓臺的高與上底直徑之比約為2: 3 （即h: 2r 2 : 3），相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為2r:2R 1:2。問題四：新設(shè)計現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形，對于一定容積的柱體，以正圓柱體的表面 積最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形， 也 太