2003考研數(shù)一真題及解析資料

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.1(1) lim(cosx) = 曲面Z仝 寸與平面2x 4yz = 0平行的切平面的方程是 t r力/V/ n.I 1Z *!'1QO(3)設(shè) x2 - a an cos nx(-二 _ x -)，貝U a2=.n=01 “ / j 、從R2的基。1 =到基優(yōu)=嚴(yán)2 =匚的過渡矩陣為e丿 廠1丿a.丿j,(5)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 心-笄-壯八1,則、0,其他，PX Y 乞 1= ' _(6)已知一批零件的長度X (單位：cm cm)服從

2、正態(tài)分布N(",1)，從 中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40 (cm),則、1的置信度為0.95的置 信區(qū)間是.(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值 門(1.96) =0.975,門(1.645) =0.95.)二、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分，下列每小題給 出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1) 設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則f(x)有()(A)個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.(C)兩個極小值點和兩個極大值點.設(shè)an, bn, Cn均為非負(fù)數(shù)列,且 lim an_jpc=0, li

3、m bn = 1, lim cn -：,則必(A) an <bn對任意n成立.(B) bn < Cn對任意n成立.(C)極限lim anCn不存在.n_Jpc(D)極限lim bnCn不存在.n已知函數(shù)f(x,y)在點(啲某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且(D)三個極小值點和一個極大值點.(A)(B)(C)點(0,0)是f(x,y)的極小值點.%虬0訂1 '則()點(0,0)不是f (x, y)的極值點.點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(X,y)的極值點.設(shè)向量組I ：12,可由向量組II :d t,s線性表示，貝S(A)當(dāng)r <s

4、時，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)r s時，向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)r <s時，向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)r s時，向量 組I必線性相關(guān).(5) 設(shè)有齊次線性方程組 Ax=O和Bx = O,其中A,B均為m n矩陣，現(xiàn) 有4個命題： 若Ax=O的解均是Bx=O的解，則秩(A)_秩(B)； 若秩(A)_秩(B)，則Ax = O的解均是Bx = O的解； 若Ax=O與Bx=O同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B),則Ax=O與Bx = O同解.以上命題中正確的是()亦 夕;“ I(A).(B).(C).(D).X . Xt I »- -I(6) 設(shè)隨機變量 Xt

5、(n)(n J),丫二 12，則()X %(A) Y 2(n).(B) 丫2(n-1).(C) Y F( n,1).(D) Y F(1, n).三、(本題滿分1O分)過坐標(biāo)原點作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y = lnx及x軸圍成 平面圖形D.(1) 求D的面積A；(2) 求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V .四、(本題滿分12分)將函數(shù)f(x)二arctan -2x展開成x的幕級數(shù)，并求級數(shù)( 1)的和.1 +2x山2 n + 1五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域 D二(x,y)0乞x,0乞y , L為D的正向邊界.試證：(1) 沖 _ yenxdx -沖畑 _ yesin

6、xdx;(2) 丄 xesinydy ye3xdx_2：2.六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k 0).汽錘第一次擊打?qū)洞蚨讖V七八： 進(jìn)地下am.根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一/z' ,，r | p r；-.次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0 ： r ：1).問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？XX'"f I- "I(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？(注：m表示長度單位米.

7、)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y = y(x)在(*；'：)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y = 0,x = x( y)是y = y(x)的反函數(shù).(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程 d-x + (si門滅)(生)3=0變換為dydyy =y(x)滿足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件y(0) = 0, y (0 |的解.八、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，in f(x2 y2 z2)dvii f(x2 y2)d二F(t)二凹 22，G(t)二牛 廠ff f(x +y )dbf f(x2)dxD(t)J其中皿二(x,y,z)x2 +y2 +z2 蘭t2， D(

8、t) =(x,y)x(1)討論F(t)在區(qū)間(0：)內(nèi)的單調(diào)性.證明當(dāng)t 0時，F(xiàn)(t)JI九、(本題滿分10分)設(shè)矩陣A二01'0，B = PA*P，求 B + 2E 的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為h:ax 2by 3c 二 0，bx 2cy 3a 二 0， ex 2ay 3b 二 0.試證：這三條直線交于一點的充分必要條件為a b 0.十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和 3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙 箱后，求：(1) 乙

9、箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體X的概率密度為其中二0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機樣本Xi,X2, ,Xn，記(1)求總體X的分布函數(shù)F(x)； 求統(tǒng)計量孑的分布函數(shù)F?(x);(3) 如果用昭乍為二的估計量，討論它是否具有無偏性.2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題1(1)【答案】-7e【詳解】方法1:求lim u(x)v(x)型極限，一般先化為指數(shù)形式然后求lim v(x)ln u(x)，再回到指數(shù)上去.IncosxIn cosx2lim _ln(1 x )ln(1 -x 方法2 :令y二(cosx

10、)1，有l(wèi)n y二如弩，以下同方法1 .【答案】2x 4y - z =5【詳解】由題意，只要滿足所求切平面的法向量與已知平面的法向量 平行即可. ) x Qn(1 -x2)lim (cos x) =lim e (x )0x_0.ln cosx ln (1 cosx-1)cosx-1螞齊xr四lTFT =四廠(等價無窮小替換In(1 x)L x)1 2_X11= lim= -(等價無窮小替換1-cosxLI x2)x 刃 x222 _ 1ve12ln(1 x )原式=e平面 2x 4y - z =0 的法向量：& =2,4, -1；曲面z = x2 y2在點(Xo,y°,Zo)

11、的法向量山=Zx x (y° Zy,x° y ) - , o2x(,2yo, -1由于n1 / n2，因此有可解得，xo =1,y° =2，相應(yīng)地有Zo2丄 2口xoyo5.所求切平面過點(1,2,5)，法向量為：n2,4, -1，故所求的切平面方程為2(x1) 4(y2) (z5) =0，即 2x 4y_z【答案】1【詳解】將f (x)二X2( 7丄空X)展開為余弦級數(shù)2 二=一 O f (x) cos nxdx .JToOf (x) = x2 八 an cos nx(-二 x 豈二)，其中 an =S所以 a2 _： 2jix coSxdx=121,xdsin

12、x= x2s in x 0 - ° six2 xdx JI【答案】I 231-1 -2>【詳解】n維向量空間中，從基1,2,，n到基St的過渡矩陣P滿足-1, ：2/, n = 1 2/,： nP，因此過渡矩陣P為:P= ： 1,： 2，: n'1,3, .根據(jù)定義，從R2的基：1二L1丿到基-1二的過渡矩陣為.1I11 123 1 2 |0 一1 1 2 一 一1 一2 .【詳解】圖中陰影區(qū)域為積分區(qū)域由題設(shè)，有p=%s珂優(yōu)心=¥ T 1 ："=¥'0 -1 12-'0(5)【答案】1 .【分析】本題為已知二維隨機變量(X

13、,Y)的概率密度f(x,y),求滿足一 定條件的概率Pg(X,Y)豈z。.連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)概率的求解 方法 此題可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y)乞z。 = f(x, y)dxdy進(jìn)行計算.g(x,y)沒*1(6)【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用兩種方法求解:由正態(tài)分布分為點的定義P:u . = 1 - 可確定臨界值U ：.,2 2PX Y = f (x, y)dxdyxy巴(1)已知方差2 =1，對正態(tài)總體的O學(xué)期望、嚳行佔計.因為一 1 n 1xLI N( <1)，設(shè)有n個樣本，樣本均值X二Xi，則xL NC1,-)，將n yn_其標(biāo)準(zhǔn)化，由公式X=E衛(wèi)N(

14、0,1)得： N(0,1)進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間(n,x un).本題是在單個正態(tài)總體方差已知條件下， 求期望值"的置信區(qū)間問題.由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間 (x-u；,xu=)，其中2 n2J nPu| 也 =1-G ,uLI N(0,1)，可以直接得出答案.2【詳解】方法1 :由題設(shè)，17=0.95，可見:一 0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點u：. =1.96.本題n =16,又=40.2根據(jù)P：1.96 =0.95，有P40 - J1 .'16：1.96 =0.95即P39.51： 40.49 = 0.95，故的置信度為0 . 95的置信區(qū)間是(39.51,40.49

15、).x = 40代入(x方法2 :由題設(shè)，1-二=0.95 ,查彳得 u= 1.96.彳各;= 1 , n =162置信區(qū)間(39.51,40.49) 二、選擇題(1)【答案】(C)【分析】函數(shù)的極值點可能是駐點(一階導(dǎo)數(shù)為零) 或?qū)?shù)不存在的點，極值點是極大值點還是極小值 點可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的 點有3個(導(dǎo)函數(shù)與x軸交點的個數(shù))；x = 0是導(dǎo)數(shù) 不存在的點.對3個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號均不一致，故必為極值點，其中第一個交點左右兩側(cè) 導(dǎo)數(shù)符號由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點；第二個交點和第三個交點左右兩 側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由負(fù)變?yōu)檎?/p>

16、，是極小值點，則三個駐點中有兩個極小值點, 一個極大值點;對導(dǎo)數(shù)不存在的點：x=0 .左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為 負(fù)，可見x=0為極大值點.故f (x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應(yīng)選(C).【答案】(D)【詳解】方法1 ：推理法由題設(shè)lim bn =1 ,假設(shè)l i ibncn存在并記為A ,則 n_sc矛盾，故假設(shè)不成立，nimw不l i icn用 =人,這與 lim cnn_n 廠 bnn 廠存在.所以選項(D)正確.方法2 :排除法,滿足 lim a* 二 0, lim bn nn ：n：,而 a! =1,6 = 0冋 b , (A)不正確;Cn = n -2 ,滿足 lim

17、 bn =1, limnpCCnn )：:,而 b =0 一1 F , (B)不正確;G 二 n -2，滿足 lim an=0, lim c:,而 lim anCn =1 , (C)不正n-SC確.f (x, y) xy【詳解】由xJim (2)2xT，yj0 (x +y )【答案】(A)=1= f (x,y)-xy 二(1 叱)(x2y2)2，其中 lim “0 .y )0由 f(x,y)在點(0,0)連續(xù)知，f (0,0) -0 .取 y = x , x 充分小，x = 0，有 f(x, y) = x2 (1 : )(2x2)2 0 ;取 y = -x , x 充分小，xO，有 f (x,

18、 y) = -x2+(1+a)(2x2)2 £0故點(0,0)不是f(x,y)的極值點，應(yīng)選(A).(極值的定義)（4）【分析】 本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若 向量組I :2,可由向量組II 2廠線性表示，則當(dāng)r s時, 向量組I必線性相關(guān). 或其逆否命題：若向量組I :1,2廠，：可由 向量組II : 1,3- , s線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有r乞s .可 見正確選項為（D）.本題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法：則G 1=0也+0巴，但P 1嚴(yán)2線性無關(guān)，2丿 U丿:'I*!1十.“JI排除（厲；01低=r，則旳,5可由01線

19、性表示，但b 1I。丿I。丿0丿線性無關(guān)，排除（B） ； 1=卩氏=卩、20，可由為用2線性 I。丿2丿U丿表示，但：1線性無關(guān)，排除（C）.（5）【答案】（B）【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但 、兩個命題的反例1 I比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住 、，迅速排除不正確的選項.【詳解】若AX =0與BX =0同解，貝卩它們的解空間中的基礎(chǔ)解系所含 向量個數(shù)相同，即n-秩（A）= n-秩（B）,得秩（A）=秩（B）,命題成立， 可排除（A）, （C）；但反過來，若秩（A）=秩（B）,則不能推出AX=0與BX=0同解，通過舉一反例證明，若-00o o_-B0，則秩（A）二秩（B）=1，但1AX =

20、0與BX =0不同解，可見命題 不成立，排除（D）.故正確選項為 (B).(6)【答案】(C).【分析】求解這類問題關(guān)鍵在于了解產(chǎn)生2變量、t變量、F變量的典型模式.(1) 2分布：設(shè)Xi,X2l(,Xn相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則n隨機變量Z=、Xi2服從自由度為n的2分布.記做zL 2(n).i A(2) t分布：設(shè)XiL N(o,1) , X2 2(n)，且Xi,X2相互獨立，則隨機變量zX1服從自由度為n的t分布.記做zUt( n)JX2 /nV| P r.(3) F分布：設(shè)xL 2(ni),YL 2(n 2),且X,Y相互獨立，則隨機變量Z二Xni服從f分布，其第一、二自由度分別

21、為mm記做ZL Fgm).Y %叼r 戶 、!【詳解】其實，由F分布的性質(zhì)以及t分布和F分布的關(guān)系得，(1) 如果統(tǒng)計量 TLIt(n)，則有T2L F(1,n)；(2) 如果統(tǒng)計量F】F(m m),則有丄LI.F由以上兩條性質(zhì)可以直接得出本題的答案為(C).先由t分布的定義知X二U Lt(n)，其中UN(0,1),V 2(n),于是分母中只含有一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方， 所以U2 2(1).由F分布的定義知YF(n,1).故應(yīng)選(C).三【分析】圓錐體體積公式：V=r2 h ；旋轉(zhuǎn)體的體積：3(1) 連續(xù)曲線y二f(x)，直線x=a、x=b所圍成的圖形繞直線x=x°bc旋轉(zhuǎn)一周而成的

22、立體的體積V| -二lf(x)-x0ldx(2) 連續(xù)曲線x二g(x)，直線y二c、y"所圍成的圖形繞直線 滬yd2旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積V2 - : g(y) - y° f dyc【詳解】為了求D的面積，首先要求出切點的坐標(biāo)，設(shè)切點的橫坐標(biāo)為X。，則曲線y=lnx在點(x°,lnx。)處的切線方程是：切線的斜率為丫：=丄，由于該切線過原點，將(0,0)點代入切線方程，x0得In X。-1 = 0，從而X。二e.所以該切線的方程為(1) 利用平面圖形D的面積公式S二J(y)_t(y)dy，得(2) 旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進(jìn)行i ,的旋

23、轉(zhuǎn)體體積為：因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為四【分析】幕級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即 通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、求?dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用已知幕級數(shù)展開 的情形.另外，由于函數(shù)展開成的幕級數(shù)，經(jīng)兩邊求導(dǎo)或積分(其中一邊是逐項求導(dǎo)或逐項積分）后，其新的展開式收斂區(qū)間不變，但在收斂 區(qū)間端點處，求導(dǎo)（積分）后的展開式成立與否，要另行單獨處理，設(shè) 已有收斂區(qū)間為（滄R'Xo - R）.如果在XK - R處級數(shù)收斂，并且f（x） （左） 連續(xù)，則展開式成立的范圍可擴大到R處，在x=x°R處亦有類 似的結(jié)論，不過此時f（x）（左）連續(xù)應(yīng)改稱（右）連續(xù).【詳解】本題可先求導(dǎo)，所以對于

24、函數(shù)f (x)11 4x2-2(1 2x) - 2(1 - 2x)2i"一2一一 '基本求導(dǎo)公式i1 2x,可以利用我們所熟悉的函數(shù)?1. -_1_1 4x2八-(-4x2)n =(1)n4n 衛(wèi)n -01oOn21x一1 £ -4x <11的幕級數(shù)展開:1 - x（把x換成-4x2）f (x) 一2 2 = Q (-1)n41+4xyn 2nx1 1x(一2,2)對上式兩邊求積分，得oox c一2、(_1)n4n °t2ndt = -27n =0n ,n x:(-1)n4n-x2n = x (丄,丄),n衛(wèi) 2n 122'又因為f（0）廠，

25、所以4xHLf(x) =f (0)0 f (t)dt 二-2V42陣xV；'：)1 -2x arcta n1 +2x4n =0(1)n4n2n 12n 1x(*)在V處，右邊級數(shù)成為，收斂俐用萊布尼茨定理）,左邊函數(shù)f（x）連續(xù)'所以成立范圍可擴大到V處而在x處,右邊級數(shù)雖然收斂，但左邊函數(shù)f（x）不連續(xù)，所以成立范圍只能是X (一1,12 2為了求：尋，令X弓代入（*）得1 1 二 f (-22nl _4心 2n 1,再由f（»，得 五【詳解】（i）方法仁用格林公式證明.由曲線為正向封閉曲線,Pdx Qdy 二自然想到用格林公式sin ysin xsin y_sin

26、 x、所以 <xe dy yedx=JJ(e+e )dxdyD所以Lxe"inyd yesinxdx =(eny esinx)dxdyD因為積分區(qū)域D關(guān)于y=x對稱，所以sin ysin xsin ysin x故xe dy-ye dx 二 xe dy-ye dx方法2 :化為定積分證明左ITl s y7_ x一 ” siny&-sinx& _. sinx 丄 -sinx.,xe ydyye dx-。二e ydy - 二e dx-二 ° (e e )dx右X Fls y "x 一 -sin y .0 sin xsin x-sin x .,=UL

27、xe ydy_|2ye dx二(兀edy _ J応曲dx二兀(e + e )dx所以sin y I-sin x :xe dy-ye dxr sin ysin x=ci xe dy_ye方法1 :用格林公式證明= ,esinydxdy 亠 11e"sinxdxdy = ,esinxdxdy 亠 11einxdxdy 利用輪換對稱性(e .1sinx einx）dxdy _ 2dxdy =2二2(因為 a b_2.ab,a 0,b 0)方法 2 :由(1)知，口Lxesinydy-丫尹以=兀/"+eqnx)dx"2dx =2代2六【詳解】(1)建立坐標(biāo)系，地面作為坐標(biāo)

28、原點，向下為x軸正向,設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為Wn(n =1,2,3，).由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為kx,汽錘所作的功等于克服阻力所做的功.r? s11 xik2x2k22嚴(yán)k22W kxdxx1,W2二 kxdx（x? _x）,W3= kxdx（X3x?）,02幷2卷2Xi =a從而WW2Wk 2x3W2 二 rW1 , W3 二 rW2 二 r2W ,從而于是kx2 =W,+W 2+W 薩（1+r 有（竊+r2蘭）a 2 2 2怡=a 1 r 2r.第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下Xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為 Wn(n

29、=1,23 ).則汽錘前n次所功的和等于克服樁被打進(jìn)地下Xn m所做的功.而Wkxdx=ka2牛-萊公式叩2所以£xn2 二(1 r 川 rn，£a 2從而人=a +r +山+rn" =aj -r .等比數(shù)列求和公式Y(jié) 1 r由于 0 ： r ： 1，所以 lim Xn 1-.n#J1 _r2七【詳解】(1)將題中的型與瞑變換成以X為自變量y為因變量的 dy dydx = 11d2xdy dy 一 y ， dy2 dxd / dx、 d z 1 dx()=()=dy dy dx y dyIM 4¥-y 1 = _ y23 -y y (y)y _ y 二

30、sin x.dx導(dǎo)數(shù)與雪來表示(即通常所說的反函數(shù)變量變換)，有 dx dx特征方程為r2 _1 = 0,方程(* )所對應(yīng)的齊次方程為y”-y = o ,根g，因此通解為Y=C!ex Ge由于不是特征方程得根,所以設(shè)方程(* )的特解為y = -Asinx Bcosx， y = Acosx - Bsin x代入方程(* )，得：AcosxBsinx 一Acosx -Bsin x = -2Acosx-2Bsinx =sinxXy'"i I"w- I1 1解得A=0, B = ，故y = -si nx.從而y" y=si nx的通解為由y(o)= o, y

31、(o)= 2，得g=1,C2 = -1 .故變換后的微分方程滿足初 始條件y(0) =0,y(0)=3的解為且y(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x) =ex_1cosx>0 ,滿足題設(shè)y0條件.八【詳解】(1)首先對F(t)進(jìn)行化簡，三重積分轉(zhuǎn)化為在球面坐標(biāo)系 中的計算；二重積分轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的計算.=2二;f (r2)r2dr -cos二;f (r2)r2dr(球面坐標(biāo))f(x2 y2)d；= J" / ：f(2)心=2二:f (r2)rdr(極坐標(biāo))D(t)所以為了討論F(t)在區(qū)間(0/:)內(nèi)的單調(diào)性，對F(t)求導(dǎo)：由于f(t) 0,r Ot-r0,所以f(r2)r(t -r)

32、0.再利用定積分的性質(zhì)：若在區(qū)間a,b上f(x)O，則f(x)dx>0.所以L(t)O，所以F(t)在區(qū)間(0：)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.(2)將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.因為if(x2)dx=2 f f(x2)dx=2,f(r )dr , 所以要證明t>0時F (t)>2G(t)，只需證明t>0時，F(xiàn)(t)-?G(t) = O,即卩HJI人ttt2令g(t)(r2)r2dr.°f(r2)dr 一 ° f(r2)rdr故g(t)在(0,=)內(nèi)單調(diào)增加，又因為g(0) =0，所以當(dāng)t 0時，有g(shù)(t) ( 0戶 02

33、從而 t 0 時，F(xiàn)(t) G(t).九【分析】 法1 ：可先求出A*,P°，進(jìn)而確定B = PA*P及B + 2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；法 2:先求出A的特征值與特 征向量，再相應(yīng)地確定 A*的特征值與特征向量，最終根據(jù) B + 2E與 A* 2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】方法1 :經(jīng)計算可得| 522 |A*= -25-2 ,廣2-25 一_70所以 B = P，A*P二-2 5_ 2 _ 2k 一9令卩-E-(B+2E)|= 220 1'900-4,B+ 2E =-27-4 .3 一_ 2_ 25 j00_ 74(扎一9)2(扎-3)=0 ,2

34、丸一501-1PJ =100【°01 一故B 2E的特征值為=9, =3.當(dāng)2=9時，解（9EA）x=O,得線性無關(guān)的特征向量為所以屬于特征值=黑2 =9的所有特征向量為-n tkJi +k2=ki 1卄2 0 ，其中ki,k2是不全為零的任意0 j J J常數(shù).當(dāng)3 =3時，解（3EA）x=0，得線性無關(guān)的特征向量為 I11，Jj1 ，其中kO所以屬于特征值3 =3的所有特征向量為k3 3=k3-I為任意常數(shù).方法2 :設(shè)A的特征值為，對應(yīng)的特征向量為 ，即a.由于A = 7=0，所以 -0.所以 A* A=| A 已 Aha# I AE= （ A9A|=| （ A）E亍 a*（0

35、）=|a|h=人aF=|a|h=,/u- T - 一于是 B（P）=p/A*P（pJ H （P4 ）,因此，2為B 2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為P，.丸 _3 _2_2由于注-A = 2丸-3 -2 =（幾-I）九-7）,故A的特征值為_2 _2 丸 _31 二 2 =1, 3 =7當(dāng)-2 =1時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為當(dāng)也=7時，對應(yīng)的一個特征向量為4= 1-101-1-141I,P"因此,B 2E的三個特征值分別為9 , 9 , 3 .對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為-1*-11。一11 一1k1Pdk2PJ 2 =k1，其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù);對應(yīng)于特征值3的

36、全部特征向量為01k3P3 二 k3，其中k3是不為零的任意常數(shù).十【分析】三條直線相交于一點，相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法1： “必要性”.設(shè)三條直線11,12,13交于一點，則線性方 程組ax 2by - -3c,(*)bx 2cy 二-3a,ex 2ay 二-3b,_a 2bl_a 2b -3c1有唯解，故系數(shù)矩陣A =b 2c與增廣矩陣A =b 2c -3a的c 2aIc 2a - 3b秩均為2,于是A =0.= 3(a b c)(a-b)2 (b -c)2 (c -a)2,由于三條直線互不相同，所以(a b)2 (b 一 c)2 (c 一 a)2 = 0 ,故“充分性”.由a+b + c = O,則從必要性的證明可知，A產(chǎn)0，故H U j i 秩(A) <3.a 2b b 2c由于22123 2= 2(ac-b ) =-2a(a b) b = -2(a b) b = 02 4故秩(A) =2 .于是，秩(A)=秩(A)=2 .因此方程組(*)有唯一解，即三直線11,12,13交于一點.j I方法2 :“必要性”XI設(shè)三直線交于一點(Xo，y°)，貝S yo為BX=0的非零解，其中a 2b 3cB =