2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：2.2.4 第2課時(shí)　均值不等式的應(yīng)用 Word版含解析

1、第2課時(shí)均值不等式的應(yīng)用關(guān)鍵能力·攻重難類(lèi)型用均值不等式證明不等式典例剖析_1無(wú)附加條件的不等式的證明典例1已知a，b，c>0，求證：abc.思路探究：由條件中a，b，c>0及待證不等式的結(jié)構(gòu)特征知，先用均值不等式證b2a，c2b，a2c，再進(jìn)行證明即可解析：a，b，c>0，利用均值不等式可得b2a，c2b，a2c，abc2a2b2c，故abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立歸納提升：利用均值不等式證明不等式的注意點(diǎn)：(1)多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立(2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用(3)對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組合

2、，達(dá)到使用均值不等式的條件2有附加條件的不等式的證明典例2已知a>0，b>0，ab1，求證：(1)(1)9.思路探究：本題的關(guān)鍵是把分子的“1”換成ab，由均值不等式即可證明解析：方法一：因?yàn)閍>0，b>0，ab1，所以112.同理12.故(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)方法二：(1)(1)111，因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以ab()2，所以4，8.因此(1)(1)189，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立歸納提升：利用均值不等式證明不等式的兩種題型(1)無(wú)附加條件的不等式的證明其解題思路：觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)形式，若不能直接使用均值不等式

3、，則結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到使用均值不等式的條件(2)有附加條件的不等式的證明觀察已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厥褂靡阎獥l件，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_1已知x>0，y>0，z>0，求證：()()()8.證明：x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)，以上三式等號(hào)同時(shí)成立()()()8，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立類(lèi)型利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題典例剖析_典例3如圖所示，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原來(lái)的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成(1)現(xiàn)有36 m長(zhǎng)的鋼筋

4、網(wǎng)，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？思路探究：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m，則問(wèn)題(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而問(wèn)題(2)是在xy24的前提下求4x6y的最小值，因此可用均值不等式來(lái)解決解析：設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為x m，寬為y m，每間虎籠的面積為s m2.(1)由條件知4x6y36，即2x3y18，sxy.方法一：由2x3y22，得218，解得xy，s，當(dāng)且僅當(dāng)2x3y時(shí)，等號(hào)成立由解得故每間虎籠長(zhǎng)為 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大方法二：由

5、2x3y18，得x9y.x>0，0<y<6，sxy(9y)y(6y)·y.0<y<6，6y>0.s·2.當(dāng)且僅當(dāng)6yy，即y3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x4.5，故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大(2)由條件知sxy24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為l m，則l4x6y.方法一：2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，當(dāng)且僅2x3y時(shí)等號(hào)成立由解得故每間虎籠長(zhǎng)為6 m，寬為4 m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小方法二：由xy24，得x.l4x6y6y6(y)6×248.當(dāng)且僅當(dāng)y，即y4時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x6.故每間虎籠長(zhǎng)為6

6、 m，寬為4 m時(shí)，可使鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小歸納提升：求實(shí)際問(wèn)題中最值的一般思路1讀懂題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系式2把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題3在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮用均值不等式，當(dāng)用均值不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮利用第三章要學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性求解4正確地寫(xiě)出答案對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練_2某公司計(jì)劃建一面長(zhǎng)為a米的玻璃幕墻，先等距安裝x根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃一根立柱的造價(jià)為6 400元，一塊長(zhǎng)為m米的玻璃造價(jià)為(50m100m2)元假設(shè)所有立柱的粗細(xì)都忽略不計(jì)，且不考慮其他因素，記總造價(jià)為y元(總造價(jià)立柱造價(jià)玻璃造價(jià))(1

7、)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a56時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)能使總造價(jià)最低？解析：(1)依題意可知x1，所以m，y6 400x(x1)6 400x50a(xn，且x2)(2)y6 400x50a10050a6 400.xn，且x2，x1>0.y20050a6 4001 650a6 400，當(dāng)且僅當(dāng)64(x1)，即x1時(shí)，等號(hào)成立又a56，當(dāng)x8時(shí)，ymin98 800.所以，安裝8根立柱時(shí)，總造價(jià)最低易混易錯(cuò)警示忽略等號(hào)成立的條件典例剖析_典例4求函數(shù)yx(1x)，x，1)的最大值錯(cuò)因探究：由x<1，易知1x>0，從而錯(cuò)解為yx(1x)2.而x1x在x時(shí)才能取“”，但x<1，因

8、而不等式取不到等號(hào)，從而最大值為是錯(cuò)誤的解析：yx(1x)x2x(x)2，當(dāng)x時(shí)，ymax×(1).誤區(qū)警示：利用均值不等式求最值時(shí)，等號(hào)必須取得到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件使等號(hào)不能成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答學(xué)科核心素養(yǎng)與不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題典例剖析_不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍對(duì)于求不等式成立時(shí)參數(shù)的范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決常見(jiàn)求解策略是將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，即ym恒成立ym

9、inm；ym恒成立ymaxm.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法典例5已知函數(shù)y，若y2x0在(0，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(，0)，)_.解析：y2x0在(0，)上恒成立，即2x0在(0，)上恒成立，2(x)在(0，)上恒成立當(dāng)a<0時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)a>0時(shí)，2(x)4，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，0<4，解得a.a<0或a.課堂檢測(cè)·固雙基1若實(shí)數(shù)a，b滿足ab>0，則a24b2的最小值為(c)a8b6c4d2解析：直接利用關(guān)系式的恒等變換和均值不等式求出結(jié)果實(shí)數(shù)a，b滿足ab>0，則a24b24ab4，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，且ab時(shí)，等號(hào)成立，故選c2若a>0，b>0，且ab4，則下列不等式恒成立的是(d)ab1c2da2b28解析：4ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，即2，ab4，a，c不成立；1，b不成立；a2b2(ab)22ab162ab8.3若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是_25_m2_.解析：設(shè)矩形的一邊為x m，則另一邊