2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教B版必修第一冊學案：2.2.4 第2課時　均值不等式的應用 Word版含解析

1、第2課時均值不等式的應用關鍵能力·攻重難類型用均值不等式證明不等式典例剖析_1無附加條件的不等式的證明典例1已知a，b，c>0，求證：abc.思路探究：由條件中a，b，c>0及待證不等式的結構特征知，先用均值不等式證b2a，c2b，a2c，再進行證明即可解析：a，b，c>0，利用均值不等式可得b2a，c2b，a2c，abc2a2b2c，故abc，當且僅當abc時，等號成立歸納提升：利用均值不等式證明不等式的注意點：(1)多次使用均值不等式時，要注意等號能否成立(2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用(3)對不能直接使用均值不等式的證明可重新組合

2、，達到使用均值不等式的條件2有附加條件的不等式的證明典例2已知a>0，b>0，ab1，求證：(1)(1)9.思路探究：本題的關鍵是把分子的“1”換成ab，由均值不等式即可證明解析：方法一：因為a>0，b>0，ab1，所以112.同理12.故(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9，當且僅當ab時取等號方法二：(1)(1)111，因為a，b為正數(shù)，所以ab()2，所以4，8.因此(1)(1)189，當且僅當ab時等號成立歸納提升：利用均值不等式證明不等式的兩種題型(1)無附加條件的不等式的證明其解題思路：觀察待證不等式的結構形式，若不能直接使用均值不等式

3、，則結合左、右兩邊的結構特征，進行拆項、變形、配湊等，使之達到使用均值不等式的條件(2)有附加條件的不等式的證明觀察已知條件與待證不等式之間的關系，恰當?shù)厥褂靡阎獥l件，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形對點訓練_1已知x>0，y>0，z>0，求證：()()()8.證明：x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0，當且僅當xyz時，以上三式等號同時成立()()()8，當且僅當xyz時等號成立類型利用均值不等式解決實際問題典例剖析_典例3如圖所示，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原來的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成(1)現(xiàn)有36 m長的鋼筋

4、網(wǎng)，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。克悸诽骄浚涸O每間虎籠長為x m，寬為y m，則問題(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而問題(2)是在xy24的前提下求4x6y的最小值，因此可用均值不等式來解決解析：設每間虎籠長為x m，寬為y m，每間虎籠的面積為s m2.(1)由條件知4x6y36，即2x3y18，sxy.方法一：由2x3y22，得218，解得xy，s，當且僅當2x3y時，等號成立由解得故每間虎籠長為 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大方法二：由

5、2x3y18，得x9y.x>0，0<y<6，sxy(9y)y(6y)·y.0<y<6，6y>0.s·2.當且僅當6yy，即y3時，等號成立，此時x4.5，故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使每間虎籠面積最大(2)由條件知sxy24.設鋼筋網(wǎng)總長為l m，則l4x6y.方法一：2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，當且僅2x3y時等號成立由解得故每間虎籠長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小方法二：由xy24，得x.l4x6y6y6(y)6×248.當且僅當y，即y4時，等號成立，此時x6.故每間虎籠長為6

6、 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小歸納提升：求實際問題中最值的一般思路1讀懂題意，設出變量，列出函數(shù)關系式2把實際問題轉化為求函數(shù)的最大值或最小值問題3在定義域內，求函數(shù)的最大值或最小值時，一般先考慮用均值不等式，當用均值不等式求最值的條件不具備時，再考慮利用第三章要學習的函數(shù)的單調性求解4正確地寫出答案對點訓練_2某公司計劃建一面長為a米的玻璃幕墻，先等距安裝x根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃一根立柱的造價為6 400元，一塊長為m米的玻璃造價為(50m100m2)元假設所有立柱的粗細都忽略不計，且不考慮其他因素，記總造價為y元(總造價立柱造價玻璃造價)(1

7、)求y關于x的函數(shù)關系式；(2)當a56時，怎樣設計能使總造價最低？解析：(1)依題意可知x1，所以m，y6 400x(x1)6 400x50a(xn，且x2)(2)y6 400x50a10050a6 400.xn，且x2，x1>0.y20050a6 4001 650a6 400，當且僅當64(x1)，即x1時，等號成立又a56，當x8時，ymin98 800.所以，安裝8根立柱時，總造價最低易混易錯警示忽略等號成立的條件典例剖析_典例4求函數(shù)yx(1x)，x，1)的最大值錯因探究：由x<1，易知1x>0，從而錯解為yx(1x)2.而x1x在x時才能取“”，但x<1，因

8、而不等式取不到等號，從而最大值為是錯誤的解析：yx(1x)x2x(x)2，當x時，ymax×(1).誤區(qū)警示：利用均值不等式求最值時，等號必須取得到才能求出最值，若題設條件中的限制條件使等號不能成立，則要轉換到另一種形式解答學科核心素養(yǎng)與不等式有關的恒成立問題典例剖析_不等式恒成立問題的實質是已知不等式的解集求不等式中參數(shù)的取值范圍對于求不等式成立時參數(shù)的范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決常見求解策略是將不等式恒成立問題轉化為求最值問題，即ym恒成立ym

9、inm；ym恒成立ymaxm.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數(shù)法典例5已知函數(shù)y，若y2x0在(0，)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_(，0)，)_.解析：y2x0在(0，)上恒成立，即2x0在(0，)上恒成立，2(x)在(0，)上恒成立當a<0時，不等式恒成立；當a>0時，2(x)4，當且僅當x1時，等號成立，0<4，解得a.a<0或a.課堂檢測·固雙基1若實數(shù)a，b滿足ab>0，則a24b2的最小值為(c)a8b6c4d2解析：直接利用關系式的恒等變換和均值不等式求出結果實數(shù)a，b滿足ab>0，則a24b24ab4，當且僅當a2b，且ab時，等號成立，故選c2若a>0，b>0，且ab4，則下列不等式恒成立的是(d)ab1c2da2b28解析：4ab2(當且僅當ab時，等號成立)，即2，ab4，a，c不成立；1，b不成立；a2b2(ab)22ab162ab8.3若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_25_m2_.解析：設矩形的一邊為x m，則另一邊