(完整word版)高中排列組合知識(shí)點(diǎn)匯總及典型例題(全)

1、一. 基本原理1. 加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2. 乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。 注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二. 排列：從n個(gè)不同元素中，任取m ( mW n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一 列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所 有排列的個(gè)數(shù)記為A；.1. 公式：1.Ann= nn1n2 n m 1 二二-(n m )2二【'，：1； 1 規(guī)定：0! =1(1) n! = n (n _1)!,( n 1) n! =(n 1)!(2) n n! =

2、(n 1)_1 n! = (n 1) n!_ n! = (n 1)!_ n!; n n 11 n 1111(n 十 1)! 一( n+1)! 一(n+1)!_(n+1)! 一 n! _(n+1)!三. 組合：從n個(gè)不同元素中任取 m(mWn)個(gè)元素并組成一組，叫做從 n個(gè)不同的m元素 中任取m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn。1.公式： C： £ =n nnm 1 工規(guī)定：C0 =1A mm!m!( n-m)2組合數(shù)性質(zhì)：cm f cm(晉二c：1, c° - cnc： =2n n -W ；：；-J - : ：-.； 注：C： +Cl+C：_p+mC2+Cnr =C：+C打 +C&

3、gt;+川C+Cn =C：*+Crl+|C2+Cn =cn* 若 CrT1 =C2則m<i=m2或m1 +m n四. 處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事(審題) 有序還是無(wú)序分步還是分類。2. 解排列、組合題的基本策略(1) 兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。 這是解決 排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。(2) 分類處理：當(dāng)問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不潰漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集?3) 分步處理：與分類處理類似，某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若

4、干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問(wèn)題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類， 后分步。(4) 兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3. 排列應(yīng)用題：(1) 窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來(lái)；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) .相鄰問(wèn)題：捆邦法:對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問(wèn)題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其 余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。(4) 、全不相鄰問(wèn)題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空 法.即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端 的空隙

5、之間插入。(5) 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列， 先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位 置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列， 則只有1種排法；若不要求，則 有2種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問(wèn)題一一采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其 余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問(wèn)題用“直

6、排法”把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）.數(shù)字問(wèn)題（組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能 被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是 4 的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是 0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25, 50, 75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4. 組合應(yīng)用題：（1）. “至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類法：（2）.“含”與“不含”用間接排除法或分類法：3. 分組問(wèn)題:均

7、勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。 非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4. 分配問(wèn)題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排， 注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5. 隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問(wèn)題例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首 尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.例3.6人排成一行，甲不排在最左

8、端，乙不排在最右端，共有多少種排法?例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到 咼排列，有多少種排法？1. 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)， 則不同的 取法共有2. 從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（ 1）如果4人中男生和女生各選2人, 有 種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1人在內(nèi)，有種選法；（4）如果4人中必須 既有男生又有女生，有 種選法1. 6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）A. 40B.

9、50C. 60D. 702.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有A. 36 種B. 48 種 C . 72 種D. 96 種3. 只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰 出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6 個(gè)B. 9 個(gè) C . 18 個(gè)D. 36 個(gè)4. 男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A. 2人或3人 B . 3人或4人 C . 3人 D . 4人5. 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有

10、（）A. 45 種B. 36 種 C . 28 種D. 25 種6. 某公司招聘來(lái)8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能 分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，貝S不同的分配方案共有（ ）A. 24 種B. 36 種 C . 38 種D. 108 種7. 已知集合A= 5 , B= 1,2 , C- 1,3,4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐 標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）8 .由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A. 72B. 96 C . 108D. 1449 .如果在一周

11、內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校, 要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 種B. 60 種 C . 120 種D. 210 種10 .安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安 排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 中.（用數(shù)字作答）11 .今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的排法.（用數(shù)字作答）12 .將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng) 館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）.14

12、. 將標(biāo)號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6的6張卡片放入3個(gè)不同的信圭寸中.若每個(gè)信圭寸放 2張，其 中標(biāo)號(hào)為1， 2的卡片放入同一信圭寸，則不同的方法共有（A） 12 種（B） 18 種（C） 36 種（D） 54 種15. 某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中 的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960種 C. 1008 種 D. 1108 種解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào) 共有2 a；a4a：種方法甲乙排中間,丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有4a；（a4+a；aX）種方法 故

13、共有1008種不同的排法排列組合二項(xiàng)式定理1,分類計(jì)數(shù)原理 完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2, 排列排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取 m（ m n）個(gè)元素（被取出的元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列。mAn公式Aik規(guī)定0! =13, 組合組合定義 從n個(gè)不同元素中，任取 m（ m n）個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中，任取 m （ m< n）個(gè)元素的所有組

14、合個(gè)數(shù)mCnm= n!Cn m!(n -m)!性質(zhì)c：=c：mmm4C n 1 - C nCn排列數(shù)定義；從n個(gè)不同元素中，任取 m（仃任n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)排列組合題型總結(jié)直接法1.特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù) 各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。Eg有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě) 0與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們?nèi)我?三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？Eg三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（1）女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2

15、）女生必須全分開(kāi) （插空法 須排的元素必須相鄰）（3）兩端不能排女生（4）兩端不能全排女生（5）如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二. 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種,2 ,某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一 所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀 2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法 有（c29 a29 ）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩