3差分方程Z變換

1、第3章 線性離散時間系統(tǒng)的描述及分析3.1差分方程及其時域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解遞推解古典解Z變換求解3.2Z變換3.2.1 Z變換的定義322 Z變換的性質(zhì)3.2.3 Z反變換長除法留數(shù)法部分分式法3.3離散時間系統(tǒng)的Z域分析3.3.1零輸入響應3.3.2零狀態(tài)響應3.3.3完全響應3.4Z傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z傳遞函數(shù)的定義3.4.2離散系統(tǒng)的運算3.4.3由G(s)求G(z)連續(xù)時間系統(tǒng)的離散化A對G(s)的討論對離散化方法的評價留數(shù)法直接代換法系統(tǒng)等效法I沖擊響應不變法;系統(tǒng)等效法n階躍響應不變法部分分式法 344離散化方法小結 3.5線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)

2、定性分析 3.5.1閉環(huán)極點與輸出特性之間的關系 3.5.2穩(wěn)定判據(jù) 3.6線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法 3.6.1線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性 3.6.2線性離散時間系統(tǒng)的頻率特性分析法第3章 線性離散系統(tǒng)的描述及分析3.1差分方程及其時域分析 3.1.1差分方程在線性離散時間動態(tài)系統(tǒng)中，輸入激勵序列u(k)與輸出響應序列y(k)之間的 動態(tài)關系在時域中用差分方程來描述，差分方程一般寫成升序方式y(tǒng)(k n) a1y(k n 1) K b0u(k m) b1u(k有始性：k 0 初始條件：y(0) 時間因果律：mm 1)y。，an 1y(k 1) any(k) Kbm 1U(k 1) bmU

3、(k)y(1) y1,y(n-1) yn-1(2.1)或寫成my(k n)biu(ki 0ni) ajy(k n j)j 1上式表明某一離散時間點上輸出值可能與當前時間點上的輸入值(當bo 0, m n)以及此前若干個輸入和輸出值有關。推論開來，當前的輸出值是 此前”全部激勵和內(nèi)部狀態(tài)共同作用的效應?？紤]實時控制系統(tǒng)的時間因果律，必須有 m<n。當m=n時，表明當前時刻的輸入會直接影響當前時刻的輸出，可稱為 直傳”;當m<n時，表明當前時刻的輸入不會直接影響當前時刻的輸出；當前時刻的輸入對輸出的影響會延時 n-m”拍。差分方程也可以寫成降序方式式(2.1)中各項序號均減ny(k)

4、aiy(k 1)bou(k) b1u(ka2y(k 2) K aniy(k n 1) any(k n)(2.2)1) K bm 1u(k m 1) bmu(k m)在降序方式中的n和m與升序方式中的n和m的含義不完全相同，因而對n和m并無限制。在降序方式中，當bo工0時，相當于升序方式中 m=n的情況。此時當前時刻的響應與當前時刻的輸入有關”。升序意味著超前，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的微分相對應；當用Z變換法求解差分方程時，升序方式便于考慮初始條件。降序意味著滯后，與連續(xù)時間系統(tǒng)中的積分相對應；當用Z變換法求解差分方程時，降序方式無法考慮初始條件。3.1.2差分方程的解5 1例：已知差分方程 x(k

5、2) -x(k 1) -x(k) r(k+1)+0.5r(k),其中6 6r(k)=1, k>0 x(0)=1, x(1)=2試由迭代法求其全解的前5項;分別由古典法求其零輸入解yzi(k)、零狀態(tài)解yzs(k)，以及全解y(k)。給定一個差分方程，根據(jù)特定的輸入時間序列u(k)和初始條件，來求得其輸出序列y(k), 一般有三種方法。A.遞推解(迭代解)對式(2.1)差分方程可以寫成mny(k n)biu(k m i) aj y(k n j)i 0j 1顯然給定初始條件后，就可依次求出各點值。但是，式(2.1)差分方程中的n個初始條件x(0),x(10),x(n-1)僅僅是指“零輸入初始

6、條件”，進行遞推求解時的初始條件應該是“全解初始條件”；因而應該先求出其“零狀態(tài)初始條件”，“全解初始條件”是“零輸入初始條件”與“零狀態(tài)初始條件”之和。上例已知零狀態(tài)初始條件，由此可遞推求得零輸入解yzi(k)；可求零輸入初始條件，由此可遞推求得零狀態(tài)解yzs(k)；以上初始條件之和為全解初始條件，由此遞推即可直接求得全解 y(k)=yzi(k)+yzs(k)oB. 古典解法1)零輸入解在式(2.1)中令輸入為零，即u(k)=0, k為，則得齊次方程y(k n) aiy(k n 1) . an iy(k1) any(k) 0(2.3)類似于在解線性常微分方程時定義的微分算子P,對差分方程定義

7、一個移序(增序)算子d即dny(k) d ny(k)y(k n)y(k n)(2.4)于是式(2.3)可以表示成(dn+ ad 1. an 1d an)y(k)A(d)y(k) 0以多項式A(d)存在n個單根為例，即則有零輸入解yzi(k)的yzi(k)C1d1k(d di) , di 0,“通解”式為C2d2k . Cndnk1,2,., nnCidik, k 0i 1(2.5)其中Ci, C2, ., Cn是由n個(另輸入)初始條件決定的n個待定常數(shù)。設給定初始條件為y(i)=yi,i=0, 1，n-1，分別代人上式可得y。%y21d1d121d2d221dndn2GC2C3(2.6)yn

8、 1n n 1d1n n 1d2dnnCn可簡記為矩陣方式Y) D*C以n個單根為例，矩陣D一定可逆。于是可得待定常數(shù)為C D 1Yo當A(d)存在重根時，亦可得相應結果，不再贅述。上例求得零輸入解yzi (k)。2) 零狀態(tài)解當“零輸入初始狀態(tài)”為零時，為求得式(2.1)在任意輸入u(k)激勵下的“零狀態(tài)響應” yzs(k)，首先考慮單位脈沖激勵u(k)= (k)的特殊情況，此時的系統(tǒng)響 應為單位脈沖響應，記為h(k),式(2.1)成為h(k n) a1h(k nb。(k m)1)b1(kan 1h(k m 1)1) anh(k)bm 1 (k 1) bm (k)可寫成如下形式mh(k n)

9、bi (ki 0i)najh(kj 0n j), m n(2.7)上式中依次令k=-n , -n +1,-2，-1, 0，可求得前面n+1個點的結果,h(0)h(1)ho hi，當 mvn 時，h(O)=ho=Oh(n h(n)1)hnhn 1當k>0時，在式(2.7)中恒有k+m-i>0,即恒有(k+m-i)=O,此時式(2.7)又成為一個齊次方程，等價為h(k n)a1h(kn 1)h(1) hi，h(2) h2，,h(n)an 1h(k 1) anh(k) 0 k 0(2.8)hn上式按差分方程的零輸入解法求解，并考慮h(0)=0,即可得到式(2.1)的單位脈沖響應序列h(k

10、), k初。對于一個一般的輸入序列u(k)= u(0), u(1), u(2),，可以寫成u(k) u(i) (k i) u(0) (k)u(1) (k 1)i 0按照線性系統(tǒng)的迭加原理，(k-1)所激勵的響應為h(k-i)1(k-i), i=0, 1,于是可得u(k)激勵下的響應為y(k) u(0)h(k)1(k)ku(i)h(k i)i 0= u(k) h(k),稱為u(k)和h(k)的卷和”u(1)h(k1)1(k1)ku(k i)h(i)i 0k 0u(k)h(O)(2.9)顯然，卷和的定義與連續(xù)時間函數(shù)的卷積具有類似的形式。卷和計算例上例求得零狀態(tài)解yzsi(k)。3)全解1)和2)

11、二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z變換解法一一后面再講3.2 Z變換3.2.1 Z變換的定義Z變換是對離散序列定義的，設有y(k) y(0),y(1),y(0) (k)y(i) (k 1) y(2) (k 2)則y(k)的z變換定義為Y(z) y(0)y(1)z 1y(i)z ii 0(2.10)zZ變換域變量d增序算子兩者在數(shù)字上具有完全相同的表現(xiàn)形式，但意義卻不同，不能混淆。就像s S變換域(拉氏變換)變量P微分算子二者表現(xiàn)形式相同，但意義截然不同為什么要定義Z變換？Z變換把離散(等距時間點上)數(shù)值序列變換成有理分式;L變換把連續(xù)時間信號變換成有理分式;便于利用

12、代數(shù)學的某些結論進行簡單處理。Z變換的另一種“定義”對于時域信號y(t)=f(t)，采樣得離散信號y(t)記得第1章中討論過y(t)和y(k)的(沖量的)等價性,f (t)f(0) (t)f(T) (tT)f(2T) (T 2T)f(kT)k 0(t kT)取其拉氏變換，得F*(s)L f *(t)f (kT)e kTs0(2.11)再令Tse(2.12)即得,F(z)Zf *(t)f(kT)z kk 0二者的結果是一致的。但是，二者有兩點區(qū)別, 前者是對y(k)定義的，后者是對y*(t)定義的。在離散時間系統(tǒng)中使用前者更符合工程實際。但是，對于首先熟悉了Lap lace變換的工程技術人員而言

13、, 后者更容易理解。 前者在數(shù)學上是嚴格的；而后者中的式（2.11）容易使得誤解z和s之間的 關系。實時上z和s之間并沒有式（2.11）所示的關系，僅僅是有時同一個被控對 象的Z變換傳遞函數(shù)和L變換傳遞函數(shù)的特征根具有那個關系。3.2.2 Z變換的性質(zhì)A.在簡單的情況下，可直接按定義求得y（k）的Z變換Y（z）。(k)(i)zii 0(2.13)Z 1(k)1(i)zi0(2.14)-7 kT Z eiTe zi 0(e Tz)i 0(2.15)做為線性離散系統(tǒng)的Z變換，它有許多與L變換類似的性質(zhì)，不同的是按照Z變換的定義，這些性質(zhì)更容易被證明一些。已知 Zf1(k)B.線性迭加性質(zhì):F1（z

14、）,Z f2（k） F2（z）,a,b R，下同。按定義可得,(2.16)Zaf1(k) bf2 (k) Zaf1(k) Zbf2(k)aZf1(k) bZf2(k) aF1(z) bF2(z)C.增序性質(zhì):（對應于L變換的微分性質(zhì)）設 g(k)=f(k+n)，k>0為什么?Zf(k n)=Zg(k) g(k)z kk 0f(j n)zj 0f(i)zizni nf(jj 0n 1(f(i)zi 0n 1n)z (j n)znf(i)zizn)0(2.17)注意兩點:znf(i)zii 0znF(z)i 0zn f (0)f(i)zniZn 1f (1).(令 i二j+n )2z f(n

15、 2) zf(n 1)是為什么要減去前面幾項？因為按照定義g(k)中沒有這幾項!二是與L變換的微分性質(zhì)相比，形式上多了一個“ Z”。D. 減序性質(zhì)：(對應于L變換的積分性質(zhì))設 g(k)=f(k-n), k>0為什么?Zf(k n) f(i n)zii 01zn f(j)zj j nznF (z)n r /、(i n)z f (in)zi 0Zn f(j)Zj 0(令 i -n =j)(2.18)為什么第一項沒啦？因為按照定義f(k)中的這幾項為零!E. 卷和性質(zhì)：(對應于L變換的卷積性質(zhì))Zfi(h)* f2(h) Fi(z)F2(z)F. 初值性質(zhì):f (0) lim f(k) li

16、m F (z)k 0z(2.19)(2.20)證明：一一按照Z變換的定義。G. 終值性質(zhì):(2.21)f ( ) lim f (k) lim(1 z-1)F(z) lim(z 1)F(z)當f(k)不收斂(F(z)中有單位圓外極點)時，終值性質(zhì)不能使用!證明:Z f(k+1)-f(k)zF(z) f(0) F(z) (z-1)F(z)zf(0)Z f(k+1)-f (k)f(i+1)-f(i)zii 0同令ZT1得,izmi( z-1)F (z)=f (0) + f(1H (0)f()f(2)-f(1) . f(k)-f(k 1).其它略3.2.3 Z反變換已知F(z)有理分式，求f(k)使得

17、 Z f(k) F(z)，記為f(k) Z 1F(z)(2.22)A.長除法一一羅朗級數(shù)展開如果F(z)是有理分式，必可展開為羅朗級數(shù),如果F(z)是真有理分式，必可展開為(單邊)羅朗級數(shù)(有始函數(shù)),即有f(k), k>0如果F(z)是嚴格真有理分式，則一定有f(0)=0。例,B.留數(shù)法在實時離散控制系統(tǒng)中有f(k), kQ則一定有F(z) f (O) z 0 f (1)z 1+. f(k)z kk 0按照復變函數(shù)的留數(shù)理論，考慮如下圍線(逆時針包圍含全部極點)積分,CF( z)zk 1dz C f(i)zizk1dzC i Of (O) f (1)z 1. f (k 1)z k 1

18、f (k)z k f (k 1)z k 1+.zk 1dzCCf(O)zk1 f(1)zk2.f (k 1) f (k)z 1 f (k 1)z2+.dzCf(k)z1dz 2 jf(k)留數(shù)是如何定義的?f(k)2CF(z)zk1dz稱為F(z)zk 1的留數(shù)于是有n(2.23)f (k) Z-1F(z) ResF(z)zk 1ResF(z)zk 1i 1 z即f (k)為F(z)zk 1在其所有極點Zi, i=1, 2,，n,處的留數(shù)之和。按照留數(shù)計算規(guī)則，若Z)是F(z)的單重極點則有Res F(z)zk 1zolim( z Zo)F(z)zk1z zo若zo是F(z)的m重極點,則有R

19、es F(z)zk 1zo1 dm 1(mdzKz zo)mF(z)zk1C.部分分式法留數(shù)法的特例般都是直接查表部分分式法是應用留數(shù)法得到的一些易于實際應用的特例情況，設F(z)有n 個單重根zi,，zn，則可以寫成部分分式形式n(2.24)F(z) A 丄i 1 z z按照迭加原理，我們可以求得其中每一項的Z反變換，即f(k)1Z F(z)1At1. KAzi按式(2.23)有,f(k) =nResF(z)zk 1i 1n A lim(i 1 z zi z ZinAzki 1A Res(zk 1)i 1召 Z Zizk1(2.25)正是所希望的結果。3.3離散時間系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換求

20、解差分方程。3.3.1零輸入響應對式(2.1 )所示差分方程,當輸入u(k)=O, kAO時，成為齊次方程，yzi(k n) aiyzi(kn 1).an iyzi(k 1) anyzi(k)0y(O)=yo, y(1)=y1, .,y(n-1)=yn-1應用Z變換的增序性質(zhì)，并注意給定的零輸入初始條件，得zni(z) zn y0a1zn 1i (z)n 1z y1n 1zzyn 1 y0 u zyn 2an 1zYi (z)zy。 anYzi (z)0整理可得B(y0,y1,., yn 2,% 1)an 1z ann 1a1Z于是可得式（2.1）的零輸入響應為yzi (k)Z 譏(z)3.3

21、.2零狀態(tài)響應設式（2.1）所示系統(tǒng)在沒有輸入激勵時，其內(nèi)部初始能量積累為零，即所謂零狀態(tài)，此時不考慮初始條件對式2.1的兩邊同時進行Z變換，可得定義Yzs(z)b。zQz. bm 1zbm U (z)n mU (z)za1z. an 1z anboZmb1Zm 1.bm 1ZbmG(z) zn 豪1an 1z an(2.26)稱為離散動態(tài)系統(tǒng)式（2.1）的Z傳遞函數(shù)，則上式可寫成Yzs(z)G(z)U (z)則有yzs(k)Z 1Yzs(z) = Z 1G(z)U(z)按照卷和定理kyzs(k)g(k)*u(k) g(k i)u(i), k 0i 0其中g(k) Z 1G(z)g(k)是什么

22、，以及如何求得g(k)?設u(k)=迭)是一個單位脈沖函數(shù),已知，U(z)=Z迭)=1，即可得系統(tǒng)對u(k)= <k)的零狀態(tài)響應，稱為單位脈 沖響應，并記為h(k), k>0并有h(k) z1G(z) g(k)現(xiàn)在，如欲解析求解式(2.1)所示的差分方程的零狀態(tài)響應，主要有兩種 方法。Z 域法：yzs(k) Z 1G(z)U(z)時域法：yzs(k)h(k)* u(k)333完全響應對式(2.1)求Z變換時，同時考慮初始條件，即可得系統(tǒng)的完全響應，與 分別求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即:Y(z)B(yo,yi,.,yn 2,齊 i)nn 1G(z)U (2.27

23、)zai z. a* 1 z a*=Yzi(z) Yzs(z)yk) = yzi (k)yzs(k)幾點說明:在求零狀態(tài)響應時，顯然零狀態(tài)解 yzs(k)的初始n個值并不一定為零，零狀 態(tài)僅僅是說當輸入為零時，系統(tǒng)初值為零。求零狀態(tài)響應時，對式(2.1)兩邊求Z變換時，此時的yzs(k)與u(k)都是有初 值的，因此亦應考慮增序性質(zhì)時的初值，但是在整理時兩邊的初值正好相互抵 消，因此在求零狀態(tài)響應時的 Z變換時，可以不考慮初值。在求完全響應時，由u(k)引起的yzs(k)中的那一部分初值效應必然由u(k)的 初值效應所抵消，因此只考慮系統(tǒng)的零輸入初值。5 1例：已知差分方程 x(k 2) -x

24、(k 1) -x(k) r(k+1)+0.5r(k),其中6 6r(k)=1, k>0 x(0)=1, x(1)=2。試由Z變換法求其全解。3.4 Z傳遞函數(shù)及其求法 341 Z傳遞函數(shù)的定義定義一個離散時間被控對象的動態(tài)特性，或連續(xù)時間對象的離散控制 動態(tài)特性。由輸入-輸出序列Z變換之比來定義。傳遞函數(shù)描述一個動態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)態(tài)傳遞特性(穩(wěn)態(tài)的含義是 不包含初始條件的影響)。A對于離散時間系統(tǒng)u(k)離散時間系統(tǒng)y(k)G(z)U(z)G鵲VY(z)圖2.1離散時間被控對象傳遞函數(shù)比如這個離散時間系統(tǒng)原來是由差分方程描述的。對于式(2.1)描述的差分方程,y(k n) a1y(k

25、n 1) . a. 1y(k 1) any(k) bou(km) b1u(k m 1)k 0,1,2,., my(0)yo, y(1). bm 1U(k 1) nbmU(k)(2.1)根據(jù)Z變換的性質(zhì)，兩邊求Z變換yi,y(n-1)yn-1(不考慮初始條件),并化簡可得Y (z)b0Zm b1Zm1G(Z) U(z) z arbm1Zbm(2.28)an 1 Z an如果差分方程是由式2.2描述的,y(k) aW 1) b0u(k)b1u(ka2y(k1).2).bm iu(kan 1y(km 1)n 1) bmu(kany(km)n)(2.2)則同理可得b0Zn. n 1biZn (m 1)

26、zY(z)U(z)Znm(b0Zm bzm. bm1Z bm)an 1 Z an.bm 1- n mbmZnn 1z QZ1an 1Z an(2.29)nn 1z az當n= m時，與式(2.28)相同注意:2) 為什么上二式求Z變換時不考慮初始條件?傳遞函數(shù)只描述穩(wěn)態(tài)特性，與初始條件無關!3)式(2.28)和(2.29)稱為有理分式;n<m時稱為（假）有理分式，反時間因果律，離散時間系統(tǒng)中不存在;n= m時稱為真有理分式，輸入-輸出有直通分量;n>m時稱為嚴格真有理分式，輸入-輸出至少延時一拍。B對于一個連續(xù)時間的采樣控制系統(tǒng)對于一個連續(xù)時間系統(tǒng)，對其進行離散時間控制時前面必須加

27、一個零階保G（s） 丫（S）/ U u(k)離散時間系統(tǒng)G（z）Y(z)> y(k)圖2采樣控制的連續(xù)時間系統(tǒng)的離散時間傳遞函數(shù)持器（ZOH）。只有對其輸入和輸出采樣得到響應的輸入-輸出離散時間序列時, 才能對其定義Z傳遞函數(shù)。342離散系統(tǒng)的運算流圖化簡，與連續(xù)時間系統(tǒng)完全相同。A串聯(lián)Y(z)* G(z) 丫(z)B并聯(lián)nG(z) Gi(z)i 1圖3 離散時間系統(tǒng)的串聯(lián)。U(z)>G(z)z)nG(z) Gi(z)i 1圖4 離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)C反饋系統(tǒng)u(G(z)Gi(z)1 Gi(z)G2(z)圖5 離散時間反饋系統(tǒng)對于任意的復雜系統(tǒng)，可由梅森公式求得。343 由 G(s)

28、求 G(z)連續(xù)時間系統(tǒng)(或信號)的離散化A 對G的討論般來說，G(s)的含義可能有以下三種情況:1)G(s)為時域信號g(t )的Lap lace變換此時，應該由G(s)求的g(t)，對g(t)離散化得g(k)，最后再求G(z)。2)G(s)為控制器的傳遞函數(shù)一一它只是一個數(shù)字模型G(s)既可以由連續(xù)時間系統(tǒng)(模擬)實現(xiàn)，輸入輸出為連續(xù)時間變量;G(s)也可以由離散時間系統(tǒng)(數(shù)字)實現(xiàn)、輸入輸出為離散時間變量;此時，對G(s)直接離散化即可，不需要 ZOH。3)G(s)是一個(連續(xù)時間)被控對象離散化后的輸入時離散時間的，但是 G(s)只能接受連續(xù)時間激勵信號,因此必須在輸入端需增設一個保持

29、器(例如零階保持器 ZOH)，將離散序列轉化為連續(xù)時間函數(shù)。G(s)的輸出一定是連續(xù)時間函數(shù)，需對其進行采樣。G(二)=可£對連續(xù)時間被控對象的離散化B 對離散化方法的評價離散化方法不是唯一的,它們各有其特點和適用范圍。因而需要對離散化方法建立評價指標體系。對信號的離散化結果應該是唯一的，嚴格的。就是說在采樣點上的取值嚴 格等于原函數(shù)。對調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)G(s)的離散化結果G(z),應與G(s)的頻率特相一致。這 時會因所用方法的不同而有差異。對被控對象傳遞函數(shù)G(s)的離散化結果G(z),在不同情況下有不同的要求,后面會詳細討論。這時也會因方法的不同而有差異。評價一個離散化方法，大概

30、有如下 5項指標。但是在不同的應用場合有不同的要求。1)易操作性。2)從S平面到Z平面的映射關系。包括映射的單值性和 穩(wěn)定性的遺傳性。3)頻率特性畸變。指G(z)的頻率特性與G(s)的頻率特的一致性。4)穩(wěn)態(tài)增益畸變。指G(z)的穩(wěn)態(tài)增益與G(s)的穩(wěn)態(tài)增益的一致性。5)時域(采樣點)響應的一致性。指在采樣點上G(z)和G(s)取值的一致性。C 留數(shù)法適用于G(s)為時域信號g(t)的Lap lace變換的情況。這時，G(z)和G(s)在采樣點上的取值是完全一致的G(z)k 0g(k)zkg(t) zk0t kT按定義:G(s)eskTds z帶入g(t)G(s) (eskTzk 0k)ds交

31、換求和求積分的順序G(s)1 esTz1ds級數(shù)和的閉式按留數(shù)定理即可得,G( Z)m1Res Gg sr-ri1- e z(2.30)i=1S z映射關系：單值對應D 直接代換法操作簡單，但卻有誤差。直接代換法既適用于對控制器的離散化，亦適用于對被控對象的離散化。但是不適用于對信號的離散化（在采樣點上取值不嚴格）。使用直接代換法對被控對象離散化時，一方面物理上需要引入ZOH，兩一 方面代換是并不包括ZOH。直接代換法有很多種，下面介紹常用的幾種。1）后向差分法設連續(xù)時間描述為:J u, G(s) 4 dtU (s)用差分代替微分，采樣周期取為 T,X(k 1) X(k) u(k 1),G(z

32、)X(z)U(z)Tzz 1（為什么叫“后向”差分？ ？）比較G（s）和G（z），可得代換式,(2.31)1TzS平面上左半平面穩(wěn)定域Z平面上單位圓內(nèi)正實軸上小圓G(s)穩(wěn)定G(z)穩(wěn)定C()b /1s Tss1.丄bs 一 Tszj異)c0S平面z平面圖7 后向差分法的穩(wěn)定性遺傳顯然穩(wěn)定性的遺傳不是可逆的，但 S穩(wěn)定”“z穩(wěn)定”，因此常被采用。(S平面上除了 aef小圓外，所有的s映射到Z平面都是穩(wěn)定的) 頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變。即:G(s)|s0G(z) |z不能保證時域(采樣點)響應的一致性。2) 前向差分法連續(xù)時間系統(tǒng)描述為G(s)dx u, dt用差分代替微分x(k B x(k

33、)u(k),G(z)(為什么叫“后向”差分？)(2.32)比較G(s)和G(z),可得代換式，z sT 1S到z映射關系：單值對應。事實上就是一個平移。Z平面a圖8前向差分法的穩(wěn)定性遺傳G(s)穩(wěn)定U二G穩(wěn)定 顯然，G(s)穩(wěn)定很難保證G是穩(wěn)定的，固很少采用。頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無畸變，即：G(s) |s 0 G(z) |Z1不能保證時域(采樣點)響應的一致性。3)雙線性變換法(Tustin法)連續(xù)時間系統(tǒng)描述為dG(s)-s用差分代替微分，x(k 1) x(k)u(k 1) u(k)G(z)比較的代換式,x u, dt(2.33)2 z 1sT z 1(為什么叫“雙線性變換?圖9雙線性變換

34、法的穩(wěn)定性遺傳s到z的映射關系：單值 對應;S平面上左半平面穩(wěn)定域Z平面上單位圓內(nèi)穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定G(z)穩(wěn)定當T足夠小時(即當足夠大時)頻軸畸變很小;c穩(wěn)態(tài)增益無畸變;顯然，在直接代換法中，雙線性變換是最好的。事實上在程序化處理的G(s) 到G(z)變換中都采用雙線性變換法，應用最為廣泛。E 系統(tǒng)等效法I沖激響應不變法提法：設有(被控對象)G(s)和G(z),若G(s)在 吐)的激勵下的響應g(t)在kT處的采樣值g(kT)與G(z)在S (k)的激勵下所得之響應相等，即稱G(z)和G(s) 是沖擊響應不變(等價)的。但是，事實上 迭)和 我)并不等價。原因是，吐)的沖量為1,而(加上零階

35、保持器之后)迭)的沖量為“ T”二者差一個系數(shù)“ T”使得G(z)的穩(wěn)態(tài)增益隨著T大幅變化，這是不允許的。為什么還要講這種方法？按定義，在 址)激勵下，有沖激響應g(t)g(t) L 1G(s):G(s)estds按采樣周期T采樣即得g(k) g(kT)亠” 、 skT ,G(s)e ds按照輸入輸出等效原則，在單位脈沖輸入迭)的激勵下，應有輸出g(k)如上式所示。根據(jù)Z變換的定義，即有對上式求Z變換G(z) g(k)zkk 0-1k 0 2:G(s)eskTdszk交換和積順序G(s)(eskTz k)ds求級數(shù)和的閉式G(s)1 esTz1ds按留數(shù)定理G( z)m1昭齊)“1i=1(2.

36、34)G(s)求其G(z)時是因此，沖擊響應等效法也是留數(shù)計算法。顯然，此式與式(2.30)的留數(shù)法相同。此式用來對信號的嚴格正確的，但是，用來對被控對象的G(s)求其G(z)時卻是不對的。此代換不易操作，特別是不易計算機實現(xiàn)。S到z的映射關系分析如下若G(s)有一個極點Sj( i2呼)，則G(z)定有一個極點iTej(其中rieiT1,di顯然，s平面z平面,單值映射z平面s平面,多值映射-T圖10沖擊響應等效法的穩(wěn)疋性遺傳如果只考慮S平面的主值域，即i(T，T，則有對應的關系。在主值域內(nèi)有 dii ,因此，頻軸無畸變。求式(2.34)的穩(wěn)態(tài)增益斬。G (z) |z 1可見G(z)的穩(wěn)態(tài)增益

37、受采樣周期T響應很大。因此，穩(wěn)態(tài)增益畸變嚴重 使得本法很少使用。當T足夠小時，一定可使所有S域極點均落在主域之內(nèi)，此時的映射可相對應的。主域整個Z平面;左半平面單位圓內(nèi)；右半平面單位圓外；虛軸單位圓；9(t)就成為等容易理解，如果在 <k)的激勵下也引入零階保持器時，/k)和價的了(為什么？)，于是式(2.34)成為,G( Z)-Ts 1G(s)L s1- e1 m 1(1 z ) ReJG(s)i=1 i sm1- ei=1 RessT -1Z1st1- e(2.35)由下式可以證明穩(wěn)態(tài)增益無畸變G(Z) |z11 m 1(1 z)i1Req?G(s)1-e z(2.36)1Ag(s)

38、1 z(1 Z1)G(s)R e S / / sT 1 s0 s(1 e z )G(s)F 系統(tǒng)等效法n階躍響應不變法提法：設有G(s)和G(z)，若G(s)在1(t)的激勵下的響應e(t)在kT處的采樣值e(kT)與G(z)在1(k)的激勵下所得之響應相等，即稱G(z)和G(s)是階躍響應不變(等價)的。在階躍輸入的特殊情況下，在1(t)的后面有無零階保持器是無區(qū)別的(?)。有1 1Z G(Z)1 1L G(S) It kT s兩邊求Z變換，得1G(z) rvG(z) (1 z1)i 11RessG(s)i-sT 1e z(2-37)1 1 ZL G(s)|tkT s1 1 Res-G(s)

39、Si s 1 e z可得,S到z的映射關系與沖激響應不變法相同;從變換關系式可知，無頻軸畸變。由下式可知，無增益畸變G(z) |zi1 1z 11 m 1(1 z)i1ResG(s)1 esTz嚴tG(s)G(s)(1 Zl) Rses s(l eT)G(s)式(2.36)對比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零階保持器時的沖激響應等效法 與不引入零階保持器時的階躍響應等效法 式(2.37)二者是等價的。G 部分分式法事實上，部分分式法是留數(shù)計算法的一個變形，也是留數(shù)法的一種使用形 式。一般教科書中都給出相應的表格以供查照。344離散化方法小結1)對于表示信號的G(s)的離散化必須直接使

40、用留數(shù)法(部分分式法)。2)在物理上，表示調(diào)節(jié)器的G(s)不需要ZOH，表示被控對象的G(s)必需要加 ZOH。3) 無論對于表示調(diào)節(jié)器還是表示被控對象的G(s)的離散化，都可以使用直接代換法，也可以使用留數(shù)法(部分分式法)。但是在數(shù)學上，使用直 接代換法時不需要ZOH，使用留數(shù)法(部分分式法)時需要先加上ZOH。3.5線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點(特征值)與系統(tǒng)輸出特性的關系設線性離散時間系統(tǒng)G(z)，G(z) kAg(z Pi)i 1其中Am(z)為m階首一多項式，并設Pi為單實根或單共軛復根的情況，且設G(z)中沒有z=1的極點，即有Pi工1當存在復根或z=1

41、的極點時，如下各項分析結論仍然成立。當存在一對共軛復根時，有pPij ire i , Pi 1 re當輸入為單位階躍序列，即、R(z)z ，此時輸出為z 1zPi)z 1n(zi 1A (z)Y (z) G (z) R(z) k 八丿由上一節(jié)討論可知，求上式的Z反變換,可得y(k) k0 Prkr( Pr)kPsks(ejs k jk ss eejsskejks)ko Prkr( Pr)kkssk(ej(k s s)Psj(k s s ) e )ko( Pr)k2ksrsk cos(kPss)上式中，ko為與階躍輸入相對應的穩(wěn)態(tài)響應項Pr為單重實根極點，kr為與Pr相對應的輸出項系數(shù)Ps為單重

42、共軛復極點，其中rs為其幅值,ks為與極點Ps相對應的輸出項的系數(shù)幅值,s為其幅角為其相位角s由上式可知,如果|p 如果|p1，則隨著1，則隨著（共軛復根），臨界穩(wěn)定。，Pi的對應輸出項發(fā)散,不穩(wěn)定，Pi的對應輸出項為恒值（實根）或等幅振蕩如果0,Pi的對應項收斂，穩(wěn)定。再考察共軛復根對應輸出項的相角特性（周期振蕩），令k則一個振蕩周期對應的周期數(shù)為.2kds（考慮共軛復數(shù)）。顯然，越接近零，kd越大，即振蕩周期越長，當時,kd2，輸出正負交替。震蕩周期為兩個采樣周期。圖例:P1對應輸出，發(fā)散,s 22.5, kd 16P8對應輸出，穩(wěn)定,s 15 ,kd 24穩(wěn)定，s180,kd2穩(wěn)定，s0 ,kd臨界穩(wěn)定，s135,kd臨界穩(wěn)定，s45,kd臨界穩(wěn)定，s90,kdP6對應輸出,P7對應輸出,P4對應輸出,2.7P2對應輸出,8P3對應輸出,4試分別畫出與上述各特征根對應的輸