微積分的發(fā)展史對(duì)新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的啟示

1、微積分的發(fā)展史對(duì)新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的啟示臺(tái)山培英中學(xué) 黃輝勝【內(nèi)容摘要】一般地，導(dǎo)數(shù)概念的起點(diǎn)是極限，即從數(shù)列數(shù)列的極限函數(shù)的極限導(dǎo)數(shù)，但對(duì)于高中的學(xué)生來說，極限是非常抽象和不容易理解的，而新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)并沒有介紹形式化的極限定義，改從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。本文就是從微積分的發(fā)展史來弄清為什么可以這樣引入導(dǎo)數(shù)的概念?！娟P(guān)鍵詞】流數(shù)；變化率；瞬時(shí)變化率；導(dǎo)數(shù) 一般地，導(dǎo)數(shù)概念的起點(diǎn)是極限，即從數(shù)列數(shù)列的極限函數(shù)的極限導(dǎo)數(shù)。這種概念建立方式有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但是也產(chǎn)生了一些問題：就高中學(xué)生的認(rèn)知水平而言，他們很難理解極限的形式化定義。由此產(chǎn)生的困難也影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解

2、。而新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)概念是怎樣講呢？教科書（人教版）沒有介紹形式化的極限定義及相關(guān)知識(shí)。而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。這種概念建立方式當(dāng)然就沒有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性了，有這種必要嗎？筆者從微積分的發(fā)展史找到答案。一、微積分的發(fā)展史簡介眾所周知，微積分是由伊薩克·牛頓（Isac Newton，16431727）與戈特弗里·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm，16461716）分別通過研究不同的問題而創(chuàng)立的。對(duì)牛頓的數(shù)學(xué)思想影響最深的要數(shù)笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1666年牛頓將其前兩

3、年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文流數(shù)簡論，這也是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。在簡論中，牛頓以運(yùn)動(dòng)學(xué)為背景提出了微積分的基本問題，發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分）；從確定面積的變化率入手通過反微分計(jì)算面積，又建立了“反流數(shù)術(shù)”；并將面積計(jì)算與求切線問題的互逆關(guān)系作為一般規(guī)律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎(chǔ)論述了“微積分基本定理”?！拔⒎e分基本定理”也稱為牛頓萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一定理。而萊布尼茨與牛頓的切入點(diǎn)不同，他創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了第一

4、篇微分學(xué)論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法（簡稱新方法），它包含了微分記號(hào)，以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號(hào)并給出了擺線方程：只是萊布尼茨對(duì)微積分學(xué)基礎(chǔ)無窮小量上的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，這引起了所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。而為了解決這次數(shù)學(xué)危機(jī)才有極限這個(gè)概念。由此可見，傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)只是按“公理演繹法”的形式來鋪陳數(shù)學(xué)，即只講述邏輯演繹系統(tǒng)，亡象而存玄珠，按“公理、定義、定理、證明”四部曲，干凈利

5、落地呈現(xiàn)。但是，對(duì)于提問題的藝術(shù)，一個(gè)概念的形成，一個(gè)公式、定理的發(fā)現(xiàn)，乃至一個(gè)理論的創(chuàng)造與生長過程，這些更有趣部分，幾乎都不談。換言之，將完整的探索過程去頭砍尾，即去掉人文與歷史土壤，再砍掉品味與欣賞，結(jié)果造成數(shù)學(xué)的無趣與面目可憎，迫使學(xué)生為了“分?jǐn)?shù)”或“升學(xué)”而走上痛苦之“背記”道路，美其名是為了邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，如此所付出的代價(jià)實(shí)在太大了全盤皆輸！二、新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的處理反觀新課標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的教學(xué)，沒有介紹形式化的極限定義及相關(guān)知識(shí)，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)。在一系列問題的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷從平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面理解導(dǎo)數(shù)的含義，一方

6、面，通過去瞬時(shí)速度方法而引入導(dǎo)數(shù)的概念，這是牛頓創(chuàng)立導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，另一方面，再講清導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率，這是萊布尼茨創(chuàng)立導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)。這樣一來，根據(jù)德國生物學(xué)家海克爾（E.Haeckel,18341919）說法：“個(gè)體的發(fā)生史重復(fù)種系的發(fā)生史?！鳖愅茟?yīng)用到學(xué)習(xí)上，這意指一個(gè)人要學(xué)習(xí)一門學(xué)問，重走一趟該門學(xué)問的發(fā)展過程，是比較容易且自然的一條道路。其一，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是自然的，不是強(qiáng)加給人的這一根本思想，避免學(xué)生認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)學(xué)習(xí)間的矛盾；其二，將更多精力用于導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上；其三，學(xué)生對(duì)逼近思想有了豐富的直觀理解，很自然使學(xué)生想到所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī)問題，讓學(xué)生體驗(yàn)歷史上發(fā)現(xiàn)微積分的過

7、程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，知道極限概念的必要性，有利于在大學(xué)的初級(jí)階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義。老實(shí)說，我們?cè)谝郧暗膫鹘y(tǒng)的教育下，在學(xué)習(xí)完微積分都感覺不到嚴(yán)格的極限定義的必要性，反而陷入極限定義的漩渦中，弄得暈頭轉(zhuǎn)向，但在新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法下，我們將很自然明白為什么需要這樣。三、導(dǎo)數(shù)教學(xué)體會(huì) （1）由氣球膨脹率與高臺(tái)跳水兩個(gè)例子引入變化率問題，進(jìn)一步引出平均變化率過程，使學(xué)生達(dá)到牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的基礎(chǔ)。（2）由高臺(tái)跳水的數(shù)學(xué)模型很自然得出我們要關(guān)心運(yùn)動(dòng)員某一時(shí)刻的速度瞬時(shí)速度，公式定義了運(yùn)動(dòng)員在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，它粗略地描述了這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的快慢?？梢韵胂螅绻浅７浅Ｐ?，就可以近似

8、地反映t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。一個(gè)自然的想法是，選取一個(gè)時(shí)刻，如t2秒，在具體數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)上，細(xì)致地觀察它附近的變化情況。確定思路后，如下表所示：<0時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi)>0時(shí)，在這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)時(shí)，13.051當(dāng)時(shí)，13.149當(dāng)時(shí)，13.0951當(dāng)時(shí)，13.1049當(dāng)時(shí)，13.09951當(dāng)時(shí)，13.10049當(dāng)時(shí)，13.099951當(dāng)時(shí)，13.100049當(dāng)時(shí)，13.0999951當(dāng)時(shí)，13.1000049 計(jì)算出t2兩側(cè)各時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)員的平均速度，觀察表格中的兩列數(shù)值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度趨向于一個(gè)定值，自然地，這個(gè)定值就是t2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。最后出于表述的方便，用簡潔的符號(hào)表

9、示上述思想，即用“”代替“當(dāng)趨近于0，趨于的定值”。于是，t2秒時(shí)的瞬時(shí)速度可以簡潔地表示為2秒時(shí)的瞬時(shí)速度13.1這一點(diǎn)避免提出復(fù)雜的極限定義，其實(shí)牛頓與萊布尼茲時(shí)代也是這樣來理解??！所以使學(xué)生感到非常自然，我們?yōu)槭裁粗v導(dǎo)數(shù)非要講極限的定義不可呢？這是一個(gè)從近似到準(zhǔn)確，量變到質(zhì)變的過程。（3）通過探究1：運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度怎樣表示？使求瞬時(shí)速度的方法更具一般性。通過探究2：函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率怎樣表示？進(jìn)一步舍棄高臺(tái)跳水的物理意義，完全抽象為數(shù)學(xué)問題。（4）引出導(dǎo)數(shù)概念，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率。通過上面的過程自然建立導(dǎo)數(shù)概念的過程，學(xué)生會(huì)對(duì)歷史上導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的一類問題

10、“根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度和加速度”有更深的體會(huì)，這其實(shí)就是牛頓創(chuàng)立微積分一個(gè)過程??！使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)掌握是水到渠成的，不是死記硬背的，還有哪種教法比這樣的教法好?。〔贿^，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)高臺(tái)跳水這個(gè)例子雖然很有興趣，但學(xué)生對(duì)這個(gè)例子感覺還是比較難的，容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣（本校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差），大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力都不是太強(qiáng)的，開始安排的例子要盡量簡單，然后在后面的應(yīng)用中逐漸拓展，這樣符合人類認(rèn)識(shí)事物的發(fā)展規(guī)律，不必一開始就這么難，筆者覺得這種現(xiàn)象在新課標(biāo)的教材中還是比較常見的，我們數(shù)學(xué)教學(xué)目的首先不是培養(yǎng)數(shù)學(xué)精英，是為了使每一位學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)，也即數(shù)學(xué)大眾化，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際作調(diào)整和補(bǔ)充?？傊?，從微積分的發(fā)展史可以看出，新課標(biāo)的