直線和圓錐曲線常見題型

1、題型五：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。2x例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M : 92yuuu uuu1于P、Q兩點(diǎn)，且DP = l DQ，求實(shí)數(shù)4l的取值范圍。分析：uuu由DP =uuul DQ可以得到l x23 + l將P(xi,yi),Q(X2,y2),代人曲線方程，解出3)點(diǎn)的坐標(biāo)，用I表示出來。解：設(shè) P(xi,yi),Q(x 2,y2),uuu uuu Q DP = l DQ(xi ,yi-3)= l (x2,y2-3)2Xi = l X2即了3)yi = 3 + l (y

2、2 -方法一：方程組消元法2 2又Q P、Q是橢圓 + =i上的點(diǎn)94+2空2y2一 4+2yz-fk3+2 y z-fk2 22又 Q 2 £y2 £2 ,方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為:y kx 3,k0,由y 2奴3 消y整理后，得4x2 9y236(4 9k2 )x2 54kx 450Q P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)(54k)24 45(49k2) = 144k2800即 9k25由韋達(dá)定理得:即54k49k2，XX2454 9 k2%x2X2 wX122、254 k(1)245(4 9k )369k24,1Xjx2Q * X2)25(1)29k4

3、9k2-2 £ 131 - 5 £ 2611解之得：551則實(shí)數(shù)1的取值范圍是,5。5由得021，代入，整理得9k251亠9，5(1)5解之得15當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即 x 0時(shí)，易知1總之實(shí)數(shù)I的取值范圍是,5 。5方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計(jì)算量較大， 計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。1

4、 2 練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y x的4焦點(diǎn)，離心率為3 .5(1 )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線I交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若MA 1 AF ,MB 2 BF，求12的值.例八如圖，已知點(diǎn)F (1 , 0)，直線I: x =- 1 ,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線I的垂線,umr LUUT uuu UULT垂足為點(diǎn)Q,且錯(cuò)誤！未找到引用源。QP QF FP FQ(I)求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡C的方程；(n)過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線I于點(diǎn)M，已知錯(cuò)誤！未找到引用UUU UUU UUU UUU源。MA ,AF,A

5、F 2BF錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。i 2的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力滿分14分解法卜尸邑M0/uuu uur uuu uuu(I)設(shè)點(diǎn) P(x, y)，則 Q( 1, y)，由 QPgQF FPgFQ 得:4x .(x 1,0)g2, y) (x 1, y)g( 2, y)，化簡得 C: y2(n)設(shè)直線AB的方程為:x my 1(m0).2 設(shè) A(x“ yj , B(X2, y2)，又 M 1,m聯(lián)立方程組4x,my1,消去x得:4my(4m)212* y24m,ym4.uu

6、urUUTUJITuuu由MA1AF ,MB2BF 得:22Y1_1Y1,Y22 y2，整理得mm221 121my1my22丄丄m y1y2myiy22 4mmt解法二:UUUUULTUUU UUlUI)由QPgQFFPgFQ 得:UUUUUUUULTUULT(PQPF)gPQPF) 0，UUU 2UUU2PQPF0，UULTUUlUPQPF所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線,UUU UUUFQg(PQUUUPF) 0，由題意,軌跡C的方程為：寸 4x.(n)由已知iuuriuurMA 1AF，uurMBUUU2BF，得 ig 2 0.UULTMA 則：-uturMB1UUU AF2UUUBF過點(diǎn)A,

7、 B分別作準(zhǔn)線I的垂線，垂足分別為Ai，Bi，則有:UULTMAulutMBUULT|aa|UULTBBUUU AF uur . BF1UJU AF2UUU BF由得:UUU AFtUUT BF，即 120.2 2X y練習(xí)1 :設(shè)橢圓C :二1 (a 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fl、F2, A是橢圓C上的一a 2 1點(diǎn)，且AF2 F1F2 0，坐標(biāo)原點(diǎn)O至煩線AFi的距離為- |OFi |.3(1)求橢圓C的方程；(2 )設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過 Q的直線I交x軸于點(diǎn)P( 1, 0)，較y軸于點(diǎn)M，若MQ 2QP，求直線I的方程.2 2y= . 3x為C的一條漸近線。練習(xí)2:雙曲線c與橢圓X

8、y 1有相同的焦點(diǎn)，直線84(I)求雙曲線C的方程;(II)過點(diǎn)P(0,4)的直線l，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)。iuruurruuu8當(dāng) PQ 1QA 2QB，且 12時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。3練習(xí)3 :已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x 4y的2曲焦點(diǎn)，離心率等于5(1 )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2 )點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦PA、PB分別過焦點(diǎn) Fi、F2, ( PA、PB都不與x軸垂直，其點(diǎn)uuur2 F2 B，求12的值。uuur uuur uurnP的縱坐標(biāo)不為0），若PFii F1APF2題型六：面積問題2 2例題9、已知橢圓

9、C：篤爲(wèi)a b1 (a> b > 0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦3點(diǎn)的距離為3。(I)求橢圓C的方程;設(shè)直線I與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),：. 3坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線I的距離為 ，求MOB2面積的最大值。c 、6解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為 c，依題意 a 3a V3,2x2b 1, 所求橢圓方程為y 1。3(n)設(shè) A(為，yi), B(X2, y2)。(1 )當(dāng)AB丄x軸時(shí)，AB J3。(2 )當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y kx m。3 2由已知4(k 1。kx m代入橢圓方程，整理得2 2 2(3k1)x 6kmx 3m 30，XiX26 km，3k 13(m23k2

10、AB(1 k2)(X2xj2(1 k2)36k2 m2(3k2 1)2212(m1)3k2 112(k21)(3k21 m2)(3k21)23(k2 1)(9k21)(3k2 1)212k2429k 6k 1129kk2-(k6122 3 6當(dāng)且僅當(dāng)9k2 丄，即kk2時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)k 0 時(shí)，AB 43,綜上所述ABmaX2。1當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值SABmax2x練習(xí)1、如圖，直線y kx b與橢圓y2 1交于A、B兩點(diǎn)，記 ABC的面積為S。4(i)求在k0,(n)當(dāng)AB 2,S 1時(shí)，求直線AB的方程。練習(xí)2、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所

11、組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。(I)求橢圓的方程；(n )直線I過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，當(dāng) A0B面積取得最大值時(shí)，求直線I的方程。練習(xí)3、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓的離心率為，F(xiàn)1, F2為其焦點(diǎn)，一直線2過點(diǎn)Fi與橢圓相交于 A,B兩點(diǎn)，且 F?AB的最大面積為、.2，求橢圓的方程。題型七：弦或弦長為定值問題例題10、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過定點(diǎn)C (0 , p )作直線與拋物線 x2=2py (p>0 )相交于A、B兩點(diǎn)。(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O的對(duì)稱點(diǎn)，求 ANB面積的最小值；(H)是否存在垂直于 y軸的直線I，使得I被以

12、AC為直徑的圓截得弦長恒為定值?若存在，求出I的方程；若不存在，說明理由。(此題不要求在答題卡上畫圖)本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行 推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力(I)依題意，點(diǎn) N的坐標(biāo)為解法1:N (0,-p )，可設(shè) A (xi,yi) ,B (X2,y2),直線 AB 的方程2ox為y=kx+p,與x2=2py 聯(lián)立得y2py消去 y 得 x2-2pkx-2p 2=0. kx p.由韋達(dá)定理得xi+x2=2pk,x ix2=-2p 2.是 S ABNS BCN S ACN=p|xX2Ix2)2 4xix2=p 4p2k2 8p22p2

13、 k22.當(dāng) k0時(shí)，(Sabn2 2 p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線 l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為O ,t與AC為直 徑的圓相交于點(diǎn)P、Q ,PQ的中點(diǎn)為H，則OH PQ, O點(diǎn)的坐標(biāo)為(AC2<x2 (yi p)2=2' yiyi22a yi p,PHOPOH12 2 1 2= 4(y1p)尹 y1p)y a(p a),2PQ(2 PH)2=4 (a #)y2 a(p a).p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為令a衛(wèi) 0,得a 衛(wèi),此時(shí)PQ2 2py i，即拋物線的通徑所在的直線解法2 :(I)前同解法1，再由弦長公式得ABk x1x2k2 . (x1 x2)2

14、 4x1x2. 1 k2,4p2k2 8p2=2pd k2 k22.又由點(diǎn)到直線的距離公式得2p_1 k2從而，S abn2p2p2、k22,當(dāng)k 0時(shí),(S abn) max2 2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為(x 0)(x Xi) (y p)(y yj 0,將直線方程y=a代入得2XXiX (a p)(a yi) 0,則二Xi2 4(a p)(a yi) 4 (a 號(hào))yi a(p a).設(shè)直線I與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為 P (X2,y2),Q (X4,y4),則有PQX3X4? (a f)yi a(p a)a).令a p 0,得a2p2 £