實(shí)對稱矩陣的相似對角化課件

1、實(shí)對稱矩陣的相似對角化實(shí)對稱矩陣的相似對角化實(shí)對稱矩陣的相似對角化一、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：一、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：,),(,)(21TnnnijaaaaATAAAA為實(shí)對稱陣，故由于性質(zhì)性質(zhì)1：實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。,的特征值階實(shí)對稱矩陣是設(shè)An（1）兩端取轉(zhuǎn)置，得：TTTA兩端同時(shí)右乘TT02T 性質(zhì)性質(zhì)2：實(shí)對稱矩陣的相異特征值所對應(yīng)的特征向量必定正交。對一般矩陣，只能保證相異特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。Tnaaa),(21，即是對應(yīng)的特征向量A,兩邊取共軛，得：) 1 (ATTATTA0)(T實(shí)對稱矩陣的相似對角化的特征向量。的屬于特征值征向量，

2、求的特的屬于特征值是），（），（個(gè)特征值，的是三階實(shí)對稱方陣，例：設(shè)11122,111311121AAATT,13213TxxxA），（的特征向量為的屬于特征值設(shè)正交，與213,0220321321xxxxxx122111A1001111000110312xxxT），（01130,2313）（）（實(shí)對稱矩陣的相似對角化性質(zhì)性質(zhì)3：實(shí)對稱矩陣A的k重特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量恰有k個(gè)。由此推出：實(shí)對稱矩陣A一定與對角矩陣相似。二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化：二、實(shí)對稱矩陣的相似對角化：定理定理1：實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A一定與對角矩陣相似。一定與對角矩陣相似。為對角陣。，使求正交陣為對角陣。，使

3、求可逆陣，：設(shè)例AQQQAPPPA11)2() 1 (2424222211242422221EA2)2)(7(定理定理2：實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣A一定與對角矩陣正交相似。一定與對角矩陣正交相似。實(shí)對稱矩陣的相似對角化. 2, 7321TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(32.)221 (711T，的特征向量為的線性無關(guān)的特為屬于特征值2.征向量102012221321P2271APP.323231)221 (11TT），（單位化，得：，將正交化，得：將TT) 1 , 0 , 2(,)0 , 1 , 2(32再單位化，得：TT)535,534,532()0 ,51,52(32，TT

4、)5 , 4 , 2(51)0 , 1 , 2(222233322），（），（，實(shí)對稱矩陣的相似對角化53503253451325325231321Q2271AQQ用正交陣將實(shí)對稱矩陣用正交陣將實(shí)對稱矩陣A化為對角陣的步驟：化為對角陣的步驟：實(shí)對稱矩陣的相似對角化的特征向量。它們?nèi)詾閷儆?，；先正交化再單位化為；個(gè)線性無關(guān)的特征向量所對應(yīng)的每一個(gè)重特征值用施密特正交化方法將iiriiiriiiimimiriiiii), 2 , 1(,), 2 , 1(,)(2121.), 2 , 1(,)(121nrmiriimiiiriiiii由性質(zhì)知；征向量個(gè)線性無關(guān)的特，求出對應(yīng)的對每一個(gè)重特征值;,)(

5、21mAi的所有相異的特征值求出為對角陣。此時(shí)即為所求的正交方陣。，則階方陣一個(gè)向量作為列向量，排成將上面求得的正交單位AQQAQQQQnivT1)(實(shí)對稱矩陣的相似對角化為對角陣。，使求正交陣為對角陣。，使求可逆陣，特征值為設(shè)AQQQAPPPAEX11)2() 1 (412020212022:12221222131),(321Q122212221),(321P實(shí)對稱矩陣的相似對角化。，使及正交陣求，正交相似于設(shè)210,21011111:1AQQQlkllkkAEXlkA , 0.101010101A2102101021021Q. 0, 0.lkEA實(shí)對稱矩陣的相似對角化三者的互求及或QPA,

6、.PAAA似變換矩陣及相在相似時(shí)求出對角陣能否與對角陣相似，并判斷從而可以的特征值及特征向量，可以求出已知的特征向量。為APPPPPnn,),(11APP1的特征值；為Ann,11. APAA，也可以求出矩陣與量，也就是已知的特征值及特征向與對角陣相似且已知反之，若1PPA實(shí)對稱矩陣的相似對角化.,)2 , 1, 2(,) 1 , 2, 2(,)2 , 2 , 1 (. 3 , 2 , 1,1321AiiAATTTii求滿足：設(shè)三階方陣?yán)? 3 , 2 , 1, iiAii的特征向量。的屬于特征值是3 , 2 , 1,321A且與對角陣相似。212122221),(321P3211PPA62225020731212122221911P實(shí)對稱矩陣的相似對角化.1122,1113111221AAATT特征向量，求的的屬于特征值是），（），（個(gè)特征值，的是三階實(shí)對稱方陣，：設(shè)例011121121),(321P0212112121221211P1111PPA100001010實(shí)對稱矩陣的相似對角化三、矩陣的合同三、矩陣的合同BABABAPPPnnBAT合同，記為與，則稱矩陣使得，階可逆陣階矩陣，若有為兩個(gè)，定義：設(shè).合同矩陣具有自