九章算術(shù)與幾何原本思想方法特點和意義的比較

1、九章算術(shù)與幾何原本思想方法特點和意義的比較一、思想方法特點九章算術(shù)內(nèi)容極為豐富，是從春秋至秦漢千年時間內(nèi)社會生產(chǎn)發(fā)展過程中各方面積累的數(shù)學(xué)知識的總匯集。全書246題，包含有方田、黍米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章，基本上包含當(dāng)時所有數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容，涉及了相當(dāng)多的社會問題，舉凡算術(shù)、代數(shù)、幾何以及某些數(shù)論知識全包括在內(nèi)，近乎是那個時代的數(shù)學(xué)百科全書。其中算術(shù)和代數(shù)水平最高，幾何方面的水平也不低，特別是有些復(fù)雜的體積計算法則是幾何原本中所沒有的，如對一些楔形體體積的計算。但在數(shù)論方面水平不如幾何原本高，不過內(nèi)容也有涉及幾何原本主要講幾何問題，但其中七、八、九三卷講數(shù)論問題，如求

2、兩數(shù)的最大公約數(shù)的方法、素數(shù)的個數(shù)為無限的證法等。此外也講到了比例理論、正方形的對角線和一邊不可公度等。值得一提的是，在九章算術(shù)中，幾何方面也頗有建樹，但其解決方法與幾何原本的截然不同。前者是幾何代數(shù)化，即用計算的方式解決幾何方面的問題，這或許就是代數(shù)法解幾何問題的先例，筆者以為這一點對笛卡爾創(chuàng)建解析幾何或許產(chǎn)生了一定的影響，或是不同文化背景下的殊途同歸；后者是代數(shù)幾何化，其中的數(shù)論題都是通過嚴格的邏輯得以解決，幾何問題更是如此。整體上看，兩書各有長短。九章算術(shù)以實用性、計算性和豐富性優(yōu)于幾何原本，而幾何原本則以幾何、數(shù)論和邏輯性超過九章算術(shù)。九章算術(shù)與幾何原本互為長短。這既是兩書的特點，也大

3、體代表了古代東西方數(shù)學(xué)的特色。二、意義 1.數(shù)學(xué)教育觀 數(shù)學(xué)教育觀是對數(shù)學(xué)教育整體的、系統(tǒng)化的看法，分為數(shù)學(xué)觀和教育觀。其中數(shù)學(xué)觀又有動態(tài)和靜態(tài)之分，教育觀也是如此。動態(tài)的數(shù)學(xué)觀認為數(shù)學(xué)是一項人類活動，是一個有內(nèi)部聯(lián)系的、動態(tài)發(fā)展的學(xué)科；靜態(tài)的數(shù)學(xué)觀認為數(shù)學(xué)是定理、公式的靜態(tài)積累，是一個永恒不變的學(xué)科；動態(tài)的教育觀認為學(xué)生不是空著腦袋進教室的，教學(xué)活動的開展要建直在學(xué)生原有認知發(fā)展水平及已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，學(xué)生主體，教師主導(dǎo)，筆者認為，這實際L是建構(gòu)主義教育觀；靜態(tài)的教育觀認為教學(xué)活動是一種程序化的過程即概念一定理一例題一練習(xí)，學(xué)生被動地接受教師傳授的知識，是一種傳統(tǒng)的教

4、育觀。執(zhí)此以19世紀以前的中同的數(shù)學(xué)教育觀，其深受九章算術(shù)的影響，認為數(shù)學(xué)是來源于生活實際并服務(wù)于生產(chǎn)發(fā)展的，具有濃厚的實用及功利色彩。九章算術(shù)雖然邏輯性不強，但是其內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴謹，層次分明，各數(shù)學(xué)知識之間緊密聯(lián)系。從隋時期，一直為我國學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教材之一。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為解決生活實際中碰到的問題，學(xué)生能將所學(xué)知識運用到實踐中去，數(shù)學(xué)教育實際上成為一種技術(shù)教育，在調(diào)動學(xué)生的積極性方面表現(xiàn)一定的作用，因而此時的數(shù)學(xué)教育呈現(xiàn)出動態(tài)的數(shù)學(xué)教育觀。然而，到了19世紀，幾何原本開始傳人我國，并在相當(dāng)長的時間里占據(jù)我國課堂，我們開始接觸片逐漸深入學(xué)習(xí)演繹式的數(shù)學(xué)知識體系，九章算術(shù)動態(tài)式的數(shù)學(xué)教育觀被

5、逐漸淡化，以至于在學(xué)習(xí)幾何原本時，過分地追求形式化，忽視數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)，只是將現(xiàn)成的公式、定理等灌輸給學(xué)生，致使大多學(xué)生、教師認為數(shù)學(xué)是一些公式、定理等的堆積，數(shù)學(xué)是一成小變的，靜態(tài)的數(shù)學(xué)教育觀慢慢地占據(jù)了統(tǒng)治地位。所以，筆者認為，我們應(yīng)該樹立動態(tài)的數(shù)學(xué)教育觀，但這并非意味著簡單回歸19世紀以前的數(shù)學(xué)教育，而是對其進行理性地超越。我們不僅要認識到數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，更要認識到數(shù)學(xué)并非是從現(xiàn)實中提煉的數(shù)學(xué)知識的簡單積累，而是一個內(nèi)部聯(lián)系緊密，邏輯性很強的學(xué)科。所以在教學(xué)數(shù)學(xué)時，我們應(yīng)該教授學(xué)生有聯(lián)系的數(shù)學(xué)，應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗的現(xiàn)實之間尋找這種聯(lián)系，實現(xiàn)基于學(xué)生現(xiàn)實情境的數(shù)學(xué)化。

6、0;2.數(shù)學(xué)教育目的 基于以上對兩書的分析，我們不難看出九章算術(shù)注重數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)以外的世界的聯(lián)系，折射出的中國古代數(shù)學(xué)教育注重現(xiàn)實性及功利性，注重數(shù)學(xué)教育與生產(chǎn)實踐的緊密結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)解決實際問題的意識和能力，彰顯數(shù)學(xué)服務(wù)于實踐的本質(zhì)。這種數(shù)學(xué)教育是一種實用技術(shù)育，雖有利于數(shù)學(xué)與實踐的緊密聯(lián)系，但卻阻礙自然科學(xué)在古代中同的發(fā)展，理性精神也因此沒有發(fā)展起來。幾何原本極度關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，具有高度的嚴密性和抽象性，由此而反映出的占希臘數(shù)學(xué)教育注重培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性、嚴密性和表達方式的簡潔性；培養(yǎng)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的眼光看問題、抽象問題；將數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系起來，通過數(shù)學(xué)理解

7、世界的本質(zhì)。受幾何原本的影響，19世紀以來，我國的數(shù)學(xué)教育由注重實用性轉(zhuǎn)向過多地強調(diào)空間想象能力、基本運算能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)，忽視了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力的培養(yǎng)。我們知道，對整個科學(xué)技術(shù)(尤其是高新科技)水平的推進與提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤，對經(jīng)濟建設(shè)的繁榮，對全體人民的科學(xué)思維與文化素質(zhì)的哺育，數(shù)學(xué)都發(fā)揮著不可替代的作朋。然而，數(shù)學(xué)教育有別于應(yīng)用數(shù)學(xué)及基礎(chǔ)數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)科，它不能像應(yīng)用數(shù)學(xué)或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)那樣對社會產(chǎn)生直接的效益。對此，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該何為?普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)中指出“數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達清晰

8、、思考有條理，使學(xué)生具有實事求足的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認識世界”。顯然，九章算術(shù)與幾何原本的精神已滲透其中，而且學(xué)生態(tài)度等非認知因素也得到了重視，我國的數(shù)學(xué)教育逐漸趨于完善。然而，筆者認為，在某些方面仍有不足之處。幾何原本折射出的古希臘數(shù)學(xué)教育將數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系起來，通過數(shù)學(xué)理解世界的本質(zhì)。我國的數(shù)學(xué)教育雖然提到了“用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認識世界”，但充其量只是將數(shù)學(xué)當(dāng)作認識和手段。德國哲學(xué)家海德格爾曾說過“語言是存在的家”，把語言從一種手段提升到一種目的，實現(xiàn)了從手段論到本體論的飛躍。數(shù)學(xué)也是一種語言，不僅是一種服務(wù)于生活實際的工具，更應(yīng)是立足于現(xiàn)實生

9、活的一種存在，筆者認為在某種意義上數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)與哲學(xué)聯(lián)系的橋梁。基于此，筆者認為，我同的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該當(dāng)作數(shù)學(xué)語言的使用，但不能僅局限于使用數(shù)學(xué)交流，當(dāng)然這也不是指對單個數(shù)學(xué)詞語的理解和使用，而是通過數(shù)學(xué)教會一個人：如何正確掌握數(shù)學(xué)的含義，如何避免循環(huán)定義，如何正確運用語言構(gòu)造命題。 3. 數(shù)學(xué)教材 九章算術(shù)不僅是作為一部數(shù)學(xué)專著在長久的歷史時期中成了中國數(shù)學(xué)家著書立說的典范，而且在數(shù)學(xué)教育方面還是一部重要的教科書。自我國隋唐時期數(shù)學(xué)教育制度建立以來，九章算術(shù)就成為國家統(tǒng)一審定的數(shù)學(xué)課程之一，并形成了以九章算術(shù)為中心的古代數(shù)學(xué)課程體系。直到19世紀，幾何原本作為傳

10、播初等幾何的教科書逐漸進入中同課堂，逐漸打破九章算術(shù)式的課程體系，致使我國的數(shù)學(xué)課程過分地追求形式化，忽視數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)與實際問題相脫節(jié)。值得一提的是，多次數(shù)學(xué)課程改荸都在平面幾何方面大做文章，曾認為關(guān)于幾何知識的實用價值不大而建議削弱甚至取消幾何課程。幾何是集知識形態(tài)與理性思維于一身的，所以幾何課程是不可能被取消的，只能是從處理方式上加以完善，以適合中小學(xué)的教學(xué)。我們已經(jīng)意識到這種數(shù)學(xué)課程的缺陷，并由此進行一輪又一輪的課程改革。數(shù)學(xué)課程改革是一個循序漸進的過程，我們要避免一刀切。在教材的編寫上，一方面我們要借簽幾何原本的邏輯體系，以其彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)；另一方

11、面，我們應(yīng)該反思本土文化，認真解讀九章算術(shù)的編寫精神，把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活有機地聯(lián)系起來，這并非是將數(shù)學(xué)簡單地同歸現(xiàn)實生活，而是超越、引導(dǎo)現(xiàn)實生活，結(jié)合學(xué)生的心理特點以及各數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，某些數(shù)學(xué)內(nèi)容要適時地、有選擇性地反映數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，通過觀察、分析、歸納、最終概括出抽象的結(jié)論，正確把握教材中形式化與非形式化的辯證關(guān)系。不管是作為教材的九章算術(shù)，還是作為傳播初等幾何教科書的幾何原本，其本身都是不完全的，是有缺陷的，但絕非是過時的。我們應(yīng)該對其認真分析，相互借鑒，取其成功之處，來指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程的改革。正如各國數(shù)學(xué)教育不是孰優(yōu)孰劣的問題，而是相互借鑒，取長補短的問題。只有這樣，我們的數(shù)

12、學(xué)課程乃至數(shù)學(xué)教育才能立于不敗之地。 4. 數(shù)學(xué)文化 九章算術(shù)與幾何原本的差異之所以如此之大，筆者認為，根本原因是由于中西方文化的不同，尤其是傳統(tǒng)文化的不同而形成的數(shù)學(xué)文化的不同。數(shù)學(xué)文化是在一定歷史發(fā)展階段，由數(shù)學(xué)共同體在從事數(shù)學(xué)實踐活動過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和。物質(zhì)財富以物質(zhì)形式存在，如數(shù)學(xué)教學(xué)的教具、數(shù)學(xué)實驗設(shè)備等；精神財富以精神形式存在，如數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)家的探索精神、理性精神等。在精神財富層面上，九章算術(shù)體現(xiàn)的是觀察一實驗一歸納一分析一概括的數(shù)學(xué)研究方式，形成了以歸納體系為主的數(shù)學(xué)思想方法體系，這樣勢必形成技藝實用而非理性思辨的數(shù)學(xué)文化觀

13、念。幾何原本呈現(xiàn)定義一公理一定理一例題的數(shù)學(xué)研究方式，形成了數(shù)學(xué)知識的演繹體系，這就孕育了西方數(shù)學(xué)純理性的特征。在物質(zhì)財富層面上，由于中暇方在人類文明發(fā)展的進程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富有一定的相似性，有時由于技術(shù)條件的限制，出現(xiàn)的時間不同而已。鑒于此，筆者認為，兩書的差異主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)文化的精神層面。普通高巾數(shù)學(xué)課程標準(實驗稿)明確指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值?！边@說明對數(shù)學(xué)文化的重視已成為數(shù)學(xué)教育作者的共識。在新課程中也設(shè)有有關(guān)數(shù)學(xué)文化的選題及其相關(guān)的要求和教學(xué)建議，增強數(shù)學(xué)文化教學(xué)的可操作性。然而，筆者基于對九章算術(shù)與幾何原本的比較，認為數(shù)學(xué)文化選題在內(nèi)容

14、上比較單一，而且有所偏重，選題內(nèi)容大多是西方數(shù)學(xué)的成就，很少涉及我國在數(shù)學(xué)上的成就，如九章算術(shù)與幾何原本幾乎是同時代的數(shù)學(xué)典范，選題卻只涉及幾何原本及其公理化思想；平面解析幾何、微積分、非歐幾何等都是西方數(shù)學(xué)的成就。鑒于此，筆者認為，應(yīng)該增加我國在數(shù)學(xué)上的成就以及我國一些數(shù)學(xué)家的精神和思想，尤其是九章算術(shù)及其歸納一概括思想。此外，筆者還發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化教學(xué)存在這樣的現(xiàn)象：只在教學(xué)過程中加入數(shù)學(xué)史的一些小故事或在數(shù)學(xué)內(nèi)容上硬加一些一般性的思想方法，僅立足于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的提高。教師對數(shù)學(xué)文化的教學(xué)自覺性不高。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是數(shù)學(xué)文化的教育，數(shù)學(xué)不僅是學(xué)科，更是一種文化形態(tài)。數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)是潛移默化、耳濡目染的過程。所以筆者認為，我們應(yīng)該重視教師自身的感染力量和示范作用，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生盡力去體驗和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本身所具有的文化底蘊，在過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)精神等的教育，欣賞數(shù)學(xué)形式和實質(zhì)的美，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的無窮魅力。參考文獻  1吳文俊九章箅術(shù)與劉徽M北京：北京師范大學(xué)出版社，