常微分方程34奇解ppt課件

1、3.4 奇奇 解解 一、包絡和奇解一、包絡和奇解1 包絡的定義包絡的定義定義定義1：對于給定的一個單參數(shù)曲線族：對于給定的一個單參數(shù)曲線族： )23. 3(, 0),(cyx,),(,的連續(xù)可微函數(shù)是是參數(shù)其中cyxcyxc曲線族(3.23)的包絡是指這樣的曲線, 它本身不包含在曲線(3.23)中,但過這曲線的每一點有(3.23)中的一條曲線和它在這點相切.對于給定的一個單參數(shù)曲線族：對于給定的一個單參數(shù)曲線族： 0),(:cyxlc其中RIc為參數(shù). 若存在一條曲線, l滿足下列條件:(1) ;Iccll(2) 對任意的 ,00lyx存在唯一的,0Ic 使得000,clyx且l與0cl在有相

2、同的切線.則稱l為曲線族0),(:cyxlc的一條包絡線,簡稱為包絡.00,xy或定義：或定義：例如單參數(shù)曲線族：222)(Rycx（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)表示圓心為c,0而半徑等于R的一族圓. 如圖R從圖形可見,此曲線族的包絡顯然為:.RyRy和注:并不是每個曲線族都有包絡.例如: 單參數(shù)曲線族:222cyx(其中c為參數(shù))表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡.問題問題:對于給定的單參數(shù)曲線族對于給定的單參數(shù)曲線族: 0),(cyx.是參數(shù)其Ic如何判斷它是否有包絡如何判斷它是否有包絡? 如果有包絡如果有包絡, 如何求如何求?根據(jù)定義, 假設該單參數(shù)曲線族有包絡, l則對任意

3、的,lyx存在唯一的, Ic使得.,clyx于是得到對應關系:,:Ilc).,(),(yxcyx從而得到二元函數(shù)lyxyxcc),(),(使得.),(, 0),(,(lyxyxcyx假設l可用參數(shù)形式表示為:),(),(),(ttytx記),()(),(tcttcc那么),(, 0)(),(),(ttctt于是,. 0dtdcdtddtdcyxl上任取一個固定點M, 則M在某一條曲線cl上. 由于l與cl在M點有相同的切線, 而l與cl在M點的切線的斜率分別為dxdy與,yx所以, 有從而. 0dtdcc, 0dtddtdyx由于在l上不同的點也在不同的cl上,即, 0dtdc因而. 0c如今

4、因而, 包絡線l任意一點M不僅要滿足, 0),(cyx而且還要滿足. 0),(cyxc把聯(lián)立方程組:0),(0),(cyxcyxc中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線*l稱為曲線族 Iccl的c-判別曲線0),(0),(cyxcyxc的稱為曲線)23. 3(0),(yxF2 包絡的求法包絡的求法曲線族(3.23)的包絡包含在下列兩方程,0),(之中而得到的曲線消去參數(shù)yxFc.判別曲線c.還有其它曲線判別曲線有時除包絡外c注注:)23. 3(, 0),(cyx解解: 記, 0)(32)(),(32cxcycyx那么)31. 3(0)()()30. 3(0)(32)(232cxcy

5、cxcy得代入把為了消去)30. 3()31. 3(, c0)(32)(34cxcx即例例1:的包絡.求曲線族0)(32)(32cxcy032)()(3cxcx,不是包絡容易驗證xy 因此c-判別曲線包括兩條曲線(3.32)和(3.33),)32. 3(xy 得從0cx得從032cx)33. 3(92 xy032)()(3cxcx.92是包絡而直線 xyxyO例例2:求直線族:0sincospyx的包絡.這里是參數(shù),p是常數(shù).解解:記, 0sincos),(pyxyx那么. 0cossin, 0sincosyxpyx消去參數(shù),得.222pyx0sincospyx的c-判別曲線:經(jīng)驗證222py

6、x是曲線族0sincospyx的包絡. 如圖:Opxy3 奇解奇解定義定義2:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個解的每一點還有方程的另外一個解存在.注:一階微分方程的通解的包絡一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡.例如: 的解為方程2)(22xdxdyxdxdyy22,2xycxcc為參數(shù).42也是方程的解此外xy .,2422因此它為奇解的包絡是通解ccxxyxy4 奇解的求法奇解的求法)34. 3(, 0),(dxdyyxF方程的奇解包含在由方程組( , , )0(3.34)( , , )0pF x y pFx y p,0),(之中而得到的曲線消去參數(shù)yxp的此曲線

7、稱為)34. 3(.判別曲線p.,尚需進一步討論奇解判別曲線是否為方程的p注注:.,),(的連續(xù)可微函數(shù)是這里pyxpyxF例例3: 求微分方程0122ydxdy的奇解.解解:從. 02, 0122pyp消去p(實際上p=0), 得到p-判別曲線, 12y即. 1y為任常數(shù)ccxy),sin( .,1且正好是通解的包絡也是微分方程的解而y由于方程的通解為:.11是方程的奇解和兩曲線yy三、克萊羅三、克萊羅Clairaut方程方程1 定義3: 形如dxdyfdxdyxy的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.)(的連續(xù)可微函數(shù)是這里ppf為求它的解,令,dxdyp 得).(pfxpy即得代入

8、并以求導兩邊對,pdxdyx,)( dxdppfpdxdpxp經(jīng)化簡,得. 0)( pfxdxdp2 克萊羅(Clairaut)方程的求解dxdyfdxdyxy這是y已解出的一階微分方程.假如, 0dxdp則得到. cp . 0)( pfxdxdp于是, Clairaut方程的通解為:).(cfcxy假如, 0)( pfx它與等式)(pfxpy聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx其中c為參數(shù).消去參數(shù)p便得方程的一個解.結果結果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直線族, 此直線族的包絡)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對應的解是奇解.如果令, 0)(),(ycfxccyx那么, 0)( ),(cfxcyxc因而, 求得此解的過程正好與從通解中求包絡的手續(xù)一樣.易驗證, 此參數(shù)曲線恰為通解的包絡例例4:求解方程.1yxyy解解: 這是Clairaut方程, 因而它有通解:.1ccxy其