例析函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

1、例析函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)列是一類定義在正整數(shù)集或它的有限子集1,2,3，,n上的特殊函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值；數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f（n）是數(shù)歹U的第n項(xiàng)an與自變量n之間的函數(shù)解析式;數(shù)列的圖像是橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列的離散的點(diǎn)。一、用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式的作用在于反映an及Sn與n之間的函數(shù)關(guān)系式。等差數(shù)列和等比數(shù)列式兩類特殊的數(shù)列,它們的特殊性在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征中有充分體現(xiàn),同時(shí)在兩公式的相互關(guān)聯(lián)上也有所反映。對(duì)于等差數(shù)列an,它的通項(xiàng)公式an=,an可以看作關(guān)于n的一次函數(shù)（特殊地,公差為0時(shí)是常數(shù)

2、函數(shù)）圖像上的離散點(diǎn);當(dāng)d0時(shí)，前n項(xiàng)和Sn可以看成為關(guān)于n的二次函數(shù)的圖像上的離散點(diǎn)（特殊地，當(dāng)公差為。時(shí),Sn可看成為關(guān)于n的正比例函數(shù)或常數(shù)函數(shù)0的圖像上的離散點(diǎn)）。對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式n,前n項(xiàng)和公式的圖像是類似于指數(shù)函數(shù)圖像上的離散點(diǎn)。在教學(xué)中充分注意到等差、等比數(shù)列的這些圖像特征,對(duì)于理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)有很大幫助,同時(shí)也為解決等差、等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題提供簡(jiǎn)捷、有效的方法。二、用函數(shù)的方法解決數(shù)列問(wèn)題1.用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題例1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Sn且S10=100,S100=10試求S110O分析:由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式可變形為當(dāng)dw0時(shí),Sn是

3、n的二次式，所以當(dāng)d0時(shí)，可看成為n的一次函數(shù)圖象上的離散點(diǎn),因此也是等差數(shù)列。解:已知是等差數(shù)列,所以點(diǎn)(10,),(100,),及(110,)三點(diǎn)共線,-110。例2.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，公差dw0,a10,若SK=Sl(Kwl,K,L6N),求:(1)SK+l的值;(2)Sn取最值時(shí),n的值。分析:由于公差不為0的等差數(shù)列的前n的項(xiàng)和可看成為關(guān)于n的且常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上的離散點(diǎn),因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且,可判斷其圖象開(kāi)口向下,所以可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求由SK+i的值和Sn取最值時(shí)n的值。解:由題意知，可設(shè)an的前n項(xiàng)和，其相應(yīng)的二次函數(shù)f(n)=的圖像的對(duì)稱軸是,所以,當(dāng)k+

4、l為偶數(shù)時(shí)，時(shí),Sn取最大值，當(dāng)k+l為奇數(shù)時(shí)，時(shí),Sn取最小值。2 .用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值問(wèn)題單調(diào)性和最大(小)值是數(shù)列教學(xué)的重要內(nèi)容,分析和解決這一類問(wèn)題,更需要利用函數(shù)的思想方法。大部分學(xué)生在理解和接受上有一定障礙,因此在教學(xué)中一定要循序漸進(jìn),不斷滲透。由于數(shù)列自變量n的取值為自然數(shù),自然數(shù)本身是有序的,因此數(shù)列單調(diào)性的確定與實(shí)數(shù)集上的函數(shù)合乎單調(diào)性的確定雖然在實(shí)質(zhì)上是一致的,但也有一定區(qū)別,只需對(duì)任意的自然數(shù)n,確定相鄰兩項(xiàng)an與an+1的大小即可。例3.已知2門二中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。分析:此題直接求an最值很困難,可聯(lián)系到函數(shù),利用f(x)圖像的單調(diào)性則可直觀順利地解決本

5、例。解:因?yàn)?而上是減函數(shù)，又因?yàn)?，an是f(x)圖像上的一些孤立點(diǎn)，所以,a8、a9分別是an的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。例4.已知數(shù)列an,若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:因?yàn)?-()所以,是遞增數(shù)列,所以,的最小值是,由題意知:,所以,即為所求的a的取值范圍。3 .用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列的周期函數(shù)的周期性是函數(shù)的一種重要性質(zhì),對(duì)于任意的定義域)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T恒有，則稱T為f(x)的一個(gè)周期,f(x)也就是以T為周期的周期函數(shù)。同樣對(duì)數(shù)列an來(lái)說(shuō)，如果對(duì)于任意自然數(shù)n,存在一個(gè)常數(shù)，恒有，則稱an是以T為周期的周期數(shù)列。例5.設(shè)數(shù)列an中,，且對(duì),=,()成立，試求該數(shù)列前100項(xiàng)和S100。分析:從遞推式不易求出通項(xiàng),觀察前若干項(xiàng)a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1，可猜想它是以4為周期的周期數(shù)列。解:由已知條件,對(duì)任何自然數(shù)N,=,=。兩式相減得:因?yàn)閍n+1+an+2+an+3K1,所以，an+4=an(n6N)所以,an是以4為周期數(shù)列，又a1+a2+a3+a4=8所以，s100=25X8=200。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),與