隱函數(shù)微分法ppt課件

1、9.5 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法教學要求：會求隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)；了解隱教學要求：會求隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)；了解隱函數(shù)存在定理的條件與結(jié)論函數(shù)存在定理的條件與結(jié)論. .0),(. 1 yxF一、一個方程的情形一、一個方程的情形隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設函數(shù)設函數(shù)),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)導數(shù)的函數(shù))(xfy

2、 ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式將將 y = f (x) 代入方程得：代入方程得：0 )(, xfxFFxyx)(,xfxFxddxdxdxF xdydyF 0 yFxFxdyd xF xdydyF 0),(. 1 yxF解解 令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF例例驗驗證證方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xfy ，并并求

3、求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導導數(shù)數(shù)在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yFyxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy 0 xexyy例例2：設：設xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxF,1 yeyFyex 1xdydyxFF ,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 0 xexyy例例2：設：設xexyy

4、xFy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設函數(shù)設函數(shù)),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)

5、的函數(shù)定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF由方程由方程0),( zyxF所確定的二元函數(shù)所確定的二元函數(shù) z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,Fxzyxy),(,yxfyxFx xdxdxF xzzF 0 zFxFxz zFyFyz 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例4 設設求求),(

6、xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解 令令, zyxu ,xyzv 那么那么),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得xz xzxyyzfxzfvu1xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得0 yxyzxzfyxfvu1例例4 設設求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得0 yxyzxzfyxfvu1yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得

7、1 zyxzxyfzyfvu1例例4 設設求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導數(shù)得求偏導數(shù)得1 zyxzxyfzyfvu1zy .1vuvuxzffxyff 例例5 設設, 0),( xzzyyxF延續(xù)偏導數(shù)延續(xù)偏導數(shù), ,且且, 032 FF求證求證. 1 yzxz證證由題意知方程確定函數(shù)由題意知方程確定函數(shù)).,(yxzz 在題設在題設方程兩邊取微分方程兩邊取微分, , 得得),(xzzyyxdF 0

8、d , 0 即有即有. 0)()()(321 xzdFzydFyxdF. 0)()()(321 dxdzFdzdyFdydxF其中其中F具有具有合并得合并得,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 例例5 設設, 0),( xzzyyxF延續(xù)偏導數(shù)延續(xù)偏導數(shù), ,且且, 032 FF求證求證. 1 yzxz證證其中其中F具有具有,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 從而從而xz ,3231FFFF yz ,3212FFFF 于是于是yzxz 3232FFFF

9、. 1 .4dzyxzyzzx的的函函數(shù)數(shù)，求求全全微微分分、為為確確定定：設設例例 xyzyxzzfzxfyzx :),(522證證明明有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，其其中中：設設例例例例5 知知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde確定確定 z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(22 xF2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yF0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyx

10、sin 2)(coszyxzx zF00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(222)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy xF xzzxFF 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyFF 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xFyFzF 0),(0),

11、(vuyxGvuyxF二、方程組的情形二、方程組的情形(不要求不要求).,cossin6yvxvyuxuvueyvuexuu 求求：設設例例分以下幾種情況分以下幾種情況隱函數(shù)的求導法那么隱函數(shù)的求導法那么0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié)三、小結(jié)作業(yè)：習題作業(yè)：習題9-5: 1, 6, 8一一、 填填空空題題: :1 1、 設設xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、設設zxyz , ,則則 xz

12、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _, , yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 設設,32)32sin(2zyxzyx 證證明明：. 1 yzxz練練 習習 題題三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關關 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程 ),(zyx

13、kfzfzyfyxfx . .四四、設設.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導導數(shù)數(shù)或或偏偏導導數(shù)數(shù): :1 1、 設設 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 設設 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf ,具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)）六、六、 設函數(shù)設函數(shù))(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 設設),(txfy 而而t是由方

14、程是由方程0),( tyxF所確定的所確定的yx,的函數(shù)的函數(shù), ,求求.dxdy八、八、 設設),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . .一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .練習題答案練習題答案六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf . . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy