高等數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.1導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐3.5 拓展與提高拓展與提高 一一 知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分二二 教學(xué)基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分1教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求（1導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及平均變化率、瞬時(shí)變化率。（2求導(dǎo)基本公式。（3求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與隱函數(shù) 求導(dǎo)法則，掌握利用這些法則求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。（4高階導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。（5微分的概念，理解微分的法則，運(yùn)用微

2、分近似計(jì)算。（6導(dǎo)數(shù)關(guān)系描述邊際、彈性等概念，解決有關(guān)經(jīng)濟(jì)方面 的問題。2重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)（1重點(diǎn)重點(diǎn)計(jì)算各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。計(jì)算各種函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。 （2難點(diǎn)難點(diǎn)求復(fù)合函數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的求復(fù)合函數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的運(yùn)用如邊際分析，彈性分析等）運(yùn)用如邊際分析，彈性分析等）.二二 教學(xué)基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.1.1 兩個(gè)實(shí)例兩個(gè)實(shí)例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度 設(shè)s表示一物體從某一時(shí)刻開始到t時(shí)刻作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程，則s是時(shí)刻t的函數(shù)s=s(t) ?，F(xiàn)在

3、來確定物體在某一給定時(shí)刻t0的速度。3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 當(dāng)時(shí)間由t0改變到時(shí)間t0+t ，物體在t時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的距離為 )()(00tsttss因此在t這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為ttsttstsv)()(00現(xiàn)令 ，平均速度 的極限自然就是物體在t0時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，即0t vttsttstsvtt)()(limlim00003.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2. 切線問題切線問題 設(shè)割線M0M的傾角為 ，切線M0T的傾角為 ，從圖3-2上可以看出M0M的斜率為 xxfxxfxy)()(tan00當(dāng)x0時(shí)，割線的斜率 就無限地接近于切線的斜率，所以切線的斜率為 tanxxfxxfxyx

4、xx)()(limlimtanlimtan000003.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.1.2 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念1導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 定義定義3.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0及其附近有定及其附近有定義，當(dāng)自變量在義，當(dāng)自變量在x0處取得改變量處取得改變量x時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)取得相應(yīng)的改變量取得相應(yīng)的改變量y=f(x0 + x) - f(x0)，如如果極限果極限 存在，則稱這個(gè)極限值為存在，則稱這個(gè)極限值為f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。處的導(dǎo)數(shù)。xyx0lim3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) 00000000()()( )()()limlimlimxxxxf xxf xf

5、 xf xyfxxxxx 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 00000000()()( )()()limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx 假設(shè) 和 存在，則分別稱此兩極限為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。 xyx0limxyx0lim3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)，對(duì)于(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn) ，都有確定的導(dǎo)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2. 求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求導(dǎo)數(shù)有三個(gè)步驟：(1)求函數(shù)的改變量 ；y(

6、2)求比值 （注意化簡(jiǎn)比值）；xy(3)求極限 xyx0lim3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。( )log0,1af xx aa解：解：(1) logloglog1aaaxyxxxx 11(2)log1log1xxaayxxxxxxx011(3) limlog elnaxyxxxa 1(log)lnaxxa3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.1.3 可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù) 定理定理3.1 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在在x0處可導(dǎo)，則它在處可導(dǎo)，則它在x0處一定連續(xù)。處一定連續(xù)。例例2 設(shè)設(shè)f(x)=|x| ，問，問f(x)在在x=0處是否可導(dǎo)？處是否可導(dǎo)？1lim00

7、lim)(lim000 xxxxxxfxxx1lim00lim)(lim000 xxxxxxfxxxxxfxxfxx)(lim)(lim003.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.1.4 求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.1.5 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在x處可導(dǎo)，則其和、差、積、商在x處也可導(dǎo)，且有法則法則 1 )(vuvu法則法則 2 )(uvvuuv)()(xCvxCv（C為任意常數(shù)） 法則法則 3 )0()(2vvuvvuvu3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念例例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。31( )s

8、inf xxx（）xxxxxxxfcos3cos3)(sin)()( 21332( )ecosxf xx（ ）( )(e )cose (cos )e cose sinxxxxfxxxxx3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3( )tanf xx（ ）)cossin()(tan)( xxxxfxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx2seccos123.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3.1.6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 一般地，如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù) 仍是x的函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù) 還可以對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，則稱 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作)(xfy )(xf)(xfy

9、)(xf22ddyx22ddfx或 或 或 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念把二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 求一個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，只要對(duì)函數(shù)一次次求導(dǎo)即可。 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念例例4 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 1arctanyxx（ ）21arctanarctanarctanxxxxxxxy2222221212111xxxyxxx 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念3121xxxyexx（ ）xxexxxxexxxyxx12112121221)121(xexxxexyxx321441)1221(xexxxexyxx 3.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第三章

10、第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 法則法則4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 均可導(dǎo)，那么均可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 也可導(dǎo)，且也可導(dǎo)，且 )(),(xuufy)(xfdydy dudxdu dxxuxyyu或 3.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例5 設(shè) xy2cosln，求 y解：把 xy2cosln看作是由 uylnvucosxv2 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2coslnxvuxvuxxvuvuyyxxxvu2tan22cos2sin22)sin(13.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例例6 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxy33cossinxxxy2sin81cossin881333)2(

11、sin2sin381)2(sin8123xxxyxxxxxx2sin2cos2sin283)2(2cos2sin832xx4sin2sin833.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.3.1 兩個(gè)實(shí)例兩個(gè)實(shí)例1面積改變量的近似值面積改變量的近似值 設(shè)正方形的面積為A，當(dāng)邊長(zhǎng)由x變到x+x時(shí)，面積A有相應(yīng)的改變量A 。由圖可知222)(2)()()(xxxxxxxAxxAA略去高階的無窮小2)( x即 xxA2由于 xxxA2)()(2所以有 xxAA)(3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用2路程改變量的近似值路程改變量的近似值 自由落體的

12、路程與時(shí)間的關(guān)系是 ，當(dāng)時(shí)間t從變到t+t時(shí)，路程s有相應(yīng)的改變量s，那么 221gts 222111222sg ttgtgt tgt 略去高階的無窮小2ttgtssgttss3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么 )( lim0 xfxyx根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系有)( xfxy( )yfxxx 由于 是當(dāng) 時(shí)的無窮小量，所以 ，從而0 x)( xxxxfy)( 函數(shù)y=f(x)改變量的近似值就稱為函數(shù)的微分。3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.3.2 微分的概念微分的概念1微分的定義微分的定義 定義定義3.2 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在在x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)

13、數(shù) ，那么那么 稱為函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)在在x處的微分，記作處的微分，記作dy或或df(x) ，即，即 ，此時(shí)稱函數(shù)，此時(shí)稱函數(shù)f(x)在在x處處可微?？晌?。 )( xfxxf)( dyfxx3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用2微分的幾何意義微分的幾何意義1NMy d( )tanyfxxMNNT 函數(shù)y=f(x)的微分的幾何意義就是曲線在點(diǎn)M處切線縱坐標(biāo)的改變量 。3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.3.3 微分公式微分公式1. 微分的基本公式微分的基本公式3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用2. 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù) 可微，那么( )( )uu xvv x，1d()dduvuv（

14、）2d()dduvu vuv （ ）d()dcucu（c為常數(shù)） 2dd3d( )0uv uu vvvv（ ） （）3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用例例7 設(shè)設(shè) ，求，求dy。112xy3222) 1(1) 1(221xxdxxxxdxdxxxddy111122解：解： 3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.3.4 復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分把復(fù)合函數(shù) 分解為 ，那么)(xfy)(),(xuufyd d( ) ( )d( )d ( )( )dxyyxfuxxfuxfuud( )dyfuu即，無論u是自變量還是中間變量，y=f(u)的微分dy總可以寫成的 方式。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。duu

15、fdy)( 3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用例例8 設(shè)設(shè) ，求，求dy。 xexfy)(ln解解1 利用一階微分形式的不變性利用一階微分形式的不變性)(lnxexfddy xxdexfxdfe)(ln)(lndxexfedxxfxxx)(ln)(ln11(ln )(ln )xefxfx dxx3.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用解解2 由于由于 dxydy xxxexfexfexfy)(ln)(ln)(lnxxexfxxfe)(lnln)(ln)(ln)(ln1xfxfxexdxxfxfxedyx)(ln)(ln13.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用3.3.5 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 由微分的定義可知，

16、當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) ，且 很小時(shí)，有 0)( 0 xfxxxfdyy)( 0 xxfxfxxf)( )()(000 xxfxfxxf)( )()(0003.3 微分及其應(yīng)用微分及其應(yīng)用 例例9 有一批半徑為有一批半徑為1cm的球，為了提高球表的球，為了提高球表面的光潔度，要鍍上一層厚度面的光潔度，要鍍上一層厚度0.01cm為的銅，已為的銅，已知銅的密度為知銅的密度為8.9g/ ，試估計(jì)一下每個(gè)球需用，試估計(jì)一下每個(gè)球需用多少克銅？多少克銅？3cm解解: : 因?yàn)榍蝮w積因?yàn)榍蝮w積 334RV324d()d4d3VRRRRcmR1d0.01RRcm 23d4 3.14 (1)0.0

17、10.13VVcmcm因此，鍍每個(gè)球大約需用銅 )(16. 19 . 813. 0g3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分3.4.1 運(yùn)用運(yùn)用1變化率變化率 在實(shí)際問題中常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率，由于，對(duì)于函數(shù)y=f(x)來說 xxfxxfxy表示自變量x每改變一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)y的平均變化量，所以 稱為函數(shù)的平均變化率；當(dāng)x0時(shí)，若y可導(dǎo)，那么 稱為函數(shù)的變化率 。xyx0lim/yx3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐2邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)當(dāng)總成本函數(shù)C(x)可導(dǎo)時(shí)，其變化率 00limlimxxC xxC xCMCCxxx 表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本，即邊際成本是總成本函

18、數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐 邊際收入定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的銷售總收入，即 )(xRdxdRMR)(xLdxdLML 邊際利潤(rùn)定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn) ，即 3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐 例例10 某商品產(chǎn)量為某商品產(chǎn)量為x(千升千升)時(shí)的成本函數(shù)為時(shí)的成本函數(shù)為 (千元千元)，其中，其中 。求。求x=1，4時(shí)時(shí)的邊際成本，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)解釋。的邊際成本，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)解釋。 43xxC05x解：邊際成本函數(shù)解：邊際成本函數(shù) 32MCCxx當(dāng)x=1時(shí)， MC=1.5 ；當(dāng)x=4時(shí)， MC=0.75 這表明在生產(chǎn)1千升基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)1升，需成本1.5元

19、；在生產(chǎn)4千升基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)1升，僅需成本0.75元，即產(chǎn)量越高，成本越低。 3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐 例例11 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤(rùn)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤(rùn)L(x)(元元)與產(chǎn)量與產(chǎn)量x(噸噸)之間的函數(shù)關(guān)系為之間的函數(shù)關(guān)系為 25250 xxxL求 時(shí)的邊際利潤(rùn)，并給以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)解釋。10 25 30 x ， ，解：邊際利潤(rùn)函數(shù)解：邊際利潤(rùn)函數(shù) xxLML1025010150L025 L5030L3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐最低平均成本與相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本相等。最低平均成本與相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本相等。 例例12 某商品產(chǎn)量為某商品產(chǎn)量為x時(shí)的成本函數(shù)為，時(shí)的成本函數(shù)為

20、， xxxxC3323求商品的邊際成本和平均成本函數(shù)。解：邊際成本函數(shù)解：邊際成本函數(shù) 2363MCCxxx平均成本函數(shù) 332xxxxCAC3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐3相對(duì)變化率或彈性相對(duì)變化率或彈性對(duì)于函數(shù)來y=f(x)說， 、 是絕對(duì)改變量。yx、 是函數(shù)、自變量的相對(duì)改變量。 yyxx當(dāng) 時(shí)，若y可導(dǎo)，且 ，那么0 x 0y00limlimxxyyy xxyxx yyx 稱其為函數(shù)的相對(duì)變化率或彈性，記作 ExEy3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐4需求彈性需求彈性 若Q表示某商品的需求量，p表示其市場(chǎng)價(jià)格，若需求函數(shù)可導(dǎo)，則稱 EQpQEpQ 為商品的需求價(jià)格彈性，簡(jiǎn)稱為需求彈性，常記為

21、 。 p3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐 需求彈性表示某商品的需求量對(duì)價(jià)格的變動(dòng)的反應(yīng)程度：當(dāng)商品的價(jià)格上漲(或下跌)1%時(shí)，其需求量將減少(或增加)約 。%p當(dāng) 時(shí)，稱為低彈性。 1p當(dāng) 時(shí)，稱為高彈性。 1p當(dāng) 時(shí)，稱為單位彈性 。1p3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐 例例13 某產(chǎn)品滯銷，準(zhǔn)備以降價(jià)擴(kuò)大銷路，如某產(chǎn)品滯銷，準(zhǔn)備以降價(jià)擴(kuò)大銷路，如果該產(chǎn)品的需求彈性在果該產(chǎn)品的需求彈性在1.7-2.1之間，試問當(dāng)降價(jià)之間，試問當(dāng)降價(jià)10%時(shí)，需求量時(shí)，需求量(銷售量銷售量)大約增加多少？大約增加多少？解解: 需求彈性為需求彈性為 ppdQ pQQdp Q ppdpQdQpQpQp 10%pp 1.7

22、17%pQQ2.121%pQQ3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐3.4.2 用用Mathematica作微分運(yùn)算作微分運(yùn)算1. 求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的命令格式為：D , f x x求函數(shù)f(x)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)。 D , ,nf xx求函數(shù)f(x)對(duì)x的n階導(dǎo)數(shù)。 3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐例例14 利用利用Mathematica系統(tǒng)，完成以下運(yùn)算。系統(tǒng)，完成以下運(yùn)算。(1)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。xysine(2)求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)。xxxfsin)(3)求函數(shù) 在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)值。3213xy解：解： In 1 : DExpSin , x x Sin Out 1eCos xx3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用

23、與實(shí)踐 In 2 : DSin , ,2 xxx Out 22Cos Sin xxx In 3 : D(3 2 1)(1/3), /.1xxx 1/31Out 32 In 4 : N% Out 40.7937013.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)用與實(shí)踐2. 計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的命令為 Dt , f x 例例15 求由方程求由方程 確定的確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。 )0( 122yyxy解：解： In 1 : Dt 221, xyx Out 122 Dt , 0 xyy x In 2 : Solve%,Dt , y x Out 2Dt , xy xy 3.4 應(yīng)用與實(shí)踐應(yīng)

24、用與實(shí)踐3.計(jì)算函數(shù)的微分計(jì)算函數(shù)的微分求函數(shù)微分的命令格式為 Dt f x例例16 221edxyxy，求。解：解： In 1 : Dt 2 E p21xxx 1+21+22Out 12eDt +2eDt xxxxxx3.5 拓展與提高拓展與提高第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分1. 導(dǎo)數(shù)的定義的等價(jià)形式導(dǎo)數(shù)的定義的等價(jià)形式 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么 xxfxxfxfx)()(lim)( 0000如果固定x0 ，令 ，則當(dāng) 時(shí)，有 ，故函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)也可表示為 0 xxx 0 x 0 xx000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx3.5 拓展與提高拓展與提高)2ln()1 ()(xxxxf(0)f 。例例17 ，求 解法一解法一 xxxxxfxffxx)2ln()1 (lim0)0()(lim)0(002ln)2ln()1 (lim0 xxx解法二解法二 (1)( )(1)ln(2)ln(2)2xxfxxxxxx(0)ln2f 3.5 拓展與提高拓展與提高2可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù), 可導(dǎo)的偶函可導(dǎo)的偶函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù) 例例18 若若f(x)為奇函數(shù)，且為奇函數(shù)，且 ，求，求 。1)(0 xf)(0 xf解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閒(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)所以 是偶函數(shù)，因此)(