麥克斯韋電磁理論與電磁波

1、8.1 8.1 位移電流位移電流由庫侖定律和場的疊加原理可得出關(guān)于靜電場的兩條由庫侖定律和場的疊加原理可得出關(guān)于靜電場的兩條重要定理：重要定理：（1 1）電場的高斯定理）電場的高斯定理0( )SD dSq（2 2）靜電場的環(huán)路定理）靜電場的環(huán)路定理( )0LE dl由畢奧由畢奧薩伐爾定律可得出穩(wěn)恒磁場的兩條重要定理：薩伐爾定律可得出穩(wěn)恒磁場的兩條重要定理：（3 3）磁場的高斯定理）磁場的高斯定理0( )LH dlI( )0SB dS（4 4）安培環(huán)路定理）安培環(huán)路定理（5 5）法拉第電磁感應(yīng)定律）法拉第電磁感應(yīng)定律ddt 麥克斯韋在前人工作的基礎(chǔ)上，全面系統(tǒng)地考察了麥克斯韋在前人工作的基礎(chǔ)上，

2、全面系統(tǒng)地考察了這些規(guī)律，并試圖把這些規(guī)律推廣到非穩(wěn)恒的情況。正這些規(guī)律，并試圖把這些規(guī)律推廣到非穩(wěn)恒的情況。正如第五章所提到的那樣，麥克斯韋首先把電場的環(huán)路定如第五章所提到的那樣，麥克斯韋首先把電場的環(huán)路定理加以推廣。他認(rèn)為感生電動勢現(xiàn)象實際上預(yù)示著變化理加以推廣。他認(rèn)為感生電動勢現(xiàn)象實際上預(yù)示著變化的磁場周圍產(chǎn)生渦旋電場，因此電場的環(huán)路定理在普遍的磁場周圍產(chǎn)生渦旋電場，因此電場的環(huán)路定理在普遍情況下應(yīng)是：情況下應(yīng)是：()()LSBEdldSt 靜電場的環(huán)路定理不過是其特例而已。靜電場的環(huán)路定理不過是其特例而已。 對于電場的高斯定理和磁場的高斯定理，當(dāng)推廣到普對于電場的高斯定理和磁場的高斯定

3、理，當(dāng)推廣到普遍情況時，則沒有發(fā)現(xiàn)不合理之處，麥克斯韋假定它們對于遍情況時，則沒有發(fā)現(xiàn)不合理之處，麥克斯韋假定它們對于變化的電場仍然適用。但是，將安培環(huán)路定理推廣到一般情變化的電場仍然適用。但是，將安培環(huán)路定理推廣到一般情況時，麥克斯韋遇到了困難。典型的例子是電容器充放電的況時，麥克斯韋遇到了困難。典型的例子是電容器充放電的情況。我們?nèi)∫画h(huán)路情況。我們?nèi)∫画h(huán)路L，而，而 和和 都是以都是以L為周界的曲為周界的曲面。對于曲面面。對于曲面 它與導(dǎo)線相交，因此它與導(dǎo)線相交，因此2S1S1S100()SjdSI但是對于曲面但是對于曲面 ，它穿過電，它穿過電容器兩極板之間，故有容器兩極板之間，故有2S2

4、0()0SjdS這就是說，對同一個閉合回路這就是說，對同一個閉合回路L， 的值不定，的值不定，這表示非穩(wěn)恒情況下，我們在前面寫出來的安培環(huán)路這表示非穩(wěn)恒情況下，我們在前面寫出來的安培環(huán)路定理不再適用。定理不再適用。如果再與穩(wěn)恒情況相比，我們很容易看出，通過以如果再與穩(wěn)恒情況相比，我們很容易看出，通過以L為周界的任一曲面上的電流強度是相等的，因為根據(jù)為周界的任一曲面上的電流強度是相等的，因為根據(jù)電流的穩(wěn)恒條件，對于由電流的穩(wěn)恒條件，對于由 構(gòu)成的閉合曲面構(gòu)成的閉合曲面H dl12,S S210( )00()()0SSSjdSjdSjdS 綜合以上分析可以看出穩(wěn)恒情況下安培環(huán)路定理綜合以上分析可以

5、看出穩(wěn)恒情況下安培環(huán)路定理成立是因為此時電流是連續(xù)的；而在電容的例子中安成立是因為此時電流是連續(xù)的；而在電容的例子中安培環(huán)路定理之所以引出矛盾的結(jié)果，其根源在于傳導(dǎo)培環(huán)路定理之所以引出矛盾的結(jié)果，其根源在于傳導(dǎo)電流在電容器極板間的中斷，即在非穩(wěn)恒的情況下傳電流在電容器極板間的中斷，即在非穩(wěn)恒的情況下傳導(dǎo)電流具有不連續(xù)性。導(dǎo)電流具有不連續(xù)性。 對于非穩(wěn)恒情況，電流的穩(wěn)恒條件雖不成立，但對于非穩(wěn)恒情況，電流的穩(wěn)恒條件雖不成立，但是根據(jù)電荷守恒定律：是根據(jù)電荷守恒定律：00( )SdqjdSdt 而而0( )SqD dS0( )( )SSDjdSdSt 0( )0SDjdSt因此可得出因此可得出因為

6、是對同一閉合曲面求積分，移項后得因為是對同一閉合曲面求積分，移項后得由上式可知，在非穩(wěn)恒情況下傳導(dǎo)電流不連續(xù)。但是由上式可知，在非穩(wěn)恒情況下傳導(dǎo)電流不連續(xù)。但是 這個量永遠是連續(xù)的，只要邊界這個量永遠是連續(xù)的，只要邊界L相同，相同，它在不同曲面它在不同曲面 上的面積分相等。上的面積分相等。0Djt12,S S令令( )DSD dS( )DSdDdSdttDddt代表通過某一曲面的電位移通量代表通過某一曲面的電位移通量則有則有麥克斯韋把麥克斯韋把 這個量叫做這個量叫做位移電流位移電流(displacement current)， 是是位移電流密度位移電流密度。Dt傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流 與位移電流合在

7、一起與位移電流合在一起稱為稱為全電流全電流。全電流在任何情況下都是連續(xù)的。全電流在任何情況下都是連續(xù)的。00IjdS麥克斯韋還假定在產(chǎn)生磁效應(yīng)上，位移電流麥克斯韋還假定在產(chǎn)生磁效應(yīng)上，位移電流 與傳導(dǎo)電流與傳導(dǎo)電流 等效。在非穩(wěn)恒情況下，磁場環(huán)路等效。在非穩(wěn)恒情況下，磁場環(huán)路定理右面定理右面 應(yīng)由應(yīng)由 代替，即：代替，即：Dddt0I0I0DdIdt0( )DLdH dlIdt或者寫成或者寫成0( )( )LSDH dljdSt這里這里S是以是以L為周界的任意界面。為周界的任意界面。以上便是麥克斯韋以上便是麥克斯韋的位移電流假說。的位移電流假說。(1)在電介質(zhì)中在電介質(zhì)中 位移電流為位移電流為

8、0DEP0DdDEPdSdSdSdttttpql在上式中，第二項是極化強度矢量的時間變化率。在上式中，第二項是極化強度矢量的時間變化率。如果單位體積的介質(zhì)中有如果單位體積的介質(zhì)中有n個偶極子，每一個偶極子個偶極子，每一個偶極子為為 ，那么當(dāng)場強變化時，偶極子間的距離，那么當(dāng)場強變化時，偶極子間的距離也將隨之改變，所以也將隨之改變，所以Plnqnqvtt式中式中v是束縛電荷規(guī)則運動引起的，由此可知是束縛電荷規(guī)則運動引起的，由此可知 正是極化電流密度。正是極化電流密度。Pt(2)(2)式右端第一項是與電場的時間變化率式右端第一項是與電場的時間變化率 相聯(lián)系相聯(lián)系的，在真空中的，在真空中 ，在位移電

9、流中就只剩，在位移電流中就只剩這一項了。因此，這一項是位移電流的基本組成部分，這一項了。因此，這一項是位移電流的基本組成部分，但是，它與但是，它與“電荷的流動電荷的流動”無關(guān)，它僅僅是變化著的無關(guān)，它僅僅是變化著的電場，即電場，即位移電流是由變化的電場產(chǎn)生的位移電流是由變化的電場產(chǎn)生的。Et0,0PPt如果把如果把(1)式應(yīng)用于沒有傳導(dǎo)電流的情形中，則得式應(yīng)用于沒有傳導(dǎo)電流的情形中，則得( )( )LSDH dldSt它表示不僅傳導(dǎo)電流可能激發(fā)磁場，變化的電場也能它表示不僅傳導(dǎo)電流可能激發(fā)磁場，變化的電場也能激發(fā)渦旋磁場。激發(fā)渦旋磁場。8.2 8.2 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 麥克斯韋在引

10、入渦旋電場和位移電流兩個重要概念麥克斯韋在引入渦旋電場和位移電流兩個重要概念之后得到了在普遍情況下電磁場必須滿足的方程組之后得到了在普遍情況下電磁場必須滿足的方程組 一般情況下，式中一般情況下，式中有關(guān)各量是空間坐標(biāo)和有關(guān)各量是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)時間的函數(shù) 這便是麥克斯韋方程組這便是麥克斯韋方程組(Maxwell equations)的積分形式，的積分形式，在實際應(yīng)用中，更重要的是麥克斯韋方程組的微分形式。在實際應(yīng)用中，更重要的是麥克斯韋方程組的微分形式。0( )( )( )( )0( )( )0SLSSLSD dSqBE dldStB dSDH dlIdSt 首先推導(dǎo)高斯定理的微分形式。假

11、定自由電荷是體分首先推導(dǎo)高斯定理的微分形式。假定自由電荷是體分布的，電荷的體密度為布的，電荷的體密度為 ，則高斯定理可寫成，則高斯定理可寫成0e0( )()eSVD dSdV0()()eVVDdVdV式中式中V是高斯面是高斯面S所包圍的體積所包圍的體積 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面積利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面積分化為體積分：分化為體積分：上式對任何體積都成立，被積函數(shù)本身應(yīng)處處相等，故有上式對任何體積都成立，被積函數(shù)本身應(yīng)處處相等，故有0eD這就是高斯定理的微分形式。同樣可得磁場中的高斯定理這就是高斯定理的微分形式。同樣可得磁場中的高斯定理的微分形式的微分形式0B

12、 對于安培環(huán)路定理，我們也假定電流是體分布的，對于安培環(huán)路定理，我們也假定電流是體分布的，其密度為其密度為 則有：則有：0( )( )()LSDH dljdSt0( )( )()SSDH dSjdSt0DHjt利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的，把上式左端的線積分化為面積分：線積分化為面積分：因為上式中積分范圍可以任意，被積函數(shù)必須相等，因為上式中積分范圍可以任意，被積函數(shù)必須相等，故得故得0j對于麥克斯韋方程組積分形式的第二個方程，也可以對于麥克斯韋方程組積分形式的第二個方程，也可以進行類似以上的處理，最后我們得到如下四式：進行類似以上的處理，最后

13、我們得到如下四式：000eDBEtBDHjt 以上是麥克斯韋方程組的微分形式。通常所說的麥克斯以上是麥克斯韋方程組的微分形式。通常所說的麥克斯韋方程組，大都是指它的微分形式。韋方程組，大都是指它的微分形式。 散度散度(divergence)旋度旋度(curl)() 將麥克斯韋方程組再加上將麥克斯韋方程組再加上三個物質(zhì)性質(zhì)的方程三個物質(zhì)性質(zhì)的方程就就構(gòu)成了一組完整的說明電磁場性質(zhì)的方程組，對于各構(gòu)成了一組完整的說明電磁場性質(zhì)的方程組，對于各向同性介質(zhì)來說這三個方程：向同性介質(zhì)來說這三個方程：000rrDEBHjE ()()和和()式是宏觀電動力學(xué)的基本方程組，應(yīng)用以上式是宏觀電動力學(xué)的基本方程組

14、，應(yīng)用以上方程，加上方程，加上 場量應(yīng)滿足的邊界條件以及它們的起始條場量應(yīng)滿足的邊界條件以及它們的起始條件，就可以定量地得出有關(guān)電磁場問題的解。件，就可以定量地得出有關(guān)電磁場問題的解。8.3 8.3 電磁波電磁波 由麥克斯韋方程組可以看出，變化的磁場激發(fā)渦旋由麥克斯韋方程組可以看出，變化的磁場激發(fā)渦旋電場，變化的電場（位移電流）激發(fā)渦旋磁場。因此空間電場，變化的電場（位移電流）激發(fā)渦旋磁場。因此空間某一區(qū)域存在一變化電場，它將在周圍空間產(chǎn)生變化磁場，某一區(qū)域存在一變化電場，它將在周圍空間產(chǎn)生變化磁場，這變化磁場又在較遠處產(chǎn)生一變化電場，這樣變化的電場這變化磁場又在較遠處產(chǎn)生一變化電場，這樣變化

15、的電場和磁場相互激發(fā)，閉合的電力線與磁力線就像鏈條那樣一和磁場相互激發(fā)，閉合的電力線與磁力線就像鏈條那樣一環(huán)套一環(huán)，由近及遠向外傳播，從而形成電磁波。環(huán)套一環(huán)，由近及遠向外傳播，從而形成電磁波。需要媒需要媒介電磁介電磁波不波不 1. 1.電磁波電磁波2.2.電磁波的產(chǎn)生電磁波的產(chǎn)生（1）偶極振子）偶極振子 要產(chǎn)生一個電磁波必須有一個電磁振蕩源。在第要產(chǎn)生一個電磁波必須有一個電磁振蕩源。在第五章中我們討論過的五章中我們討論過的LCR電路中的電容器充電后，電路中的電容器充電后，電荷滿足微分方程：電荷滿足微分方程：220d qdqqLRdtdtC00cos()tqq et2RL在電阻在電阻R較小時，

16、它的解具有阻尼振蕩的形式：較小時，它的解具有阻尼振蕩的形式：這里這里01LC00122fLC 當(dāng)把當(dāng)把LCR電路接在電子管或者晶體管上組成振蕩器電路接在電子管或者晶體管上組成振蕩器之后，由直流電源不斷補充能量，就可以產(chǎn)生持續(xù)的電之后，由直流電源不斷補充能量，就可以產(chǎn)生持續(xù)的電磁振蕩。對于這種電路，由于電場和電能都集中在電容磁振蕩。對于這種電路，由于電場和電能都集中在電容元件中，磁場和磁能都集中在自感線圈中，而且振蕩的元件中，磁場和磁能都集中在自感線圈中，而且振蕩的頻率不夠高，難于有效地把能量發(fā)射出去。頻率不夠高，難于有效地把能量發(fā)射出去。 產(chǎn)生電磁波的條件：產(chǎn)生電磁波的條件： （1）電磁場盡量

17、分布于整個空間）電磁場盡量分布于整個空間 （2） 大大0f 按圖中按圖中a、b、c、d順序改造順序改造LC振蕩電路，使電容器振蕩電路，使電容器的極板面積越來越小，間隔越來越大，同時使自感線圈的的極板面積越來越小，間隔越來越大，同時使自感線圈的匝數(shù)越來越少，固有振蕩頻率越來越大；另外，電路也越匝數(shù)越來越少，固有振蕩頻率越來越大；另外，電路也越來越開放，使電場和磁場分布于空間中去。最后振蕩電路來越開放，使電場和磁場分布于空間中去。最后振蕩電路逐步演化為一根直導(dǎo)線（逐步演化為一根直導(dǎo)線（d），電流在其中往復(fù)振蕩，兩），電流在其中往復(fù)振蕩，兩端出現(xiàn)正負(fù)交替的等量異號電荷。這樣的電路叫做振蕩偶端出現(xiàn)正負(fù)

18、交替的等量異號電荷。這樣的電路叫做振蕩偶極子（偶極振子極子（偶極振子(dipole oscillator)），可以有效地向外發(fā)），可以有效地向外發(fā)射電磁波。廣播電臺或者電視臺的天線都可以看做這類偶射電磁波。廣播電臺或者電視臺的天線都可以看做這類偶極振子。極振子。bacd(2)赫茲實驗赫茲實驗(Hertz experiment) 圖圖a是赫茲的實驗裝置，當(dāng)充電到一定程度后，間隙間是赫茲的實驗裝置，當(dāng)充電到一定程度后，間隙間產(chǎn)生火花放電產(chǎn)生火花放電(spark discharge)，振子間就有來回的振蕩電，振子間就有來回的振蕩電流通過，經(jīng)過多次振蕩后振幅逐漸減小。這種振子的振蕩流通過，經(jīng)過多次振蕩

19、后振幅逐漸減小。這種振子的振蕩頻率很高，當(dāng)火花接通的瞬間，振蕩已經(jīng)進行了幾百萬次，頻率很高，當(dāng)火花接通的瞬間，振蕩已經(jīng)進行了幾百萬次，振動已衰減得非常之小了。感應(yīng)圈以振動已衰減得非常之小了。感應(yīng)圈以10100Hz的頻率的頻率對振子充電，從而造就一種間歇性的阻尼振蕩（圖對振子充電，從而造就一種間歇性的阻尼振蕩（圖b）。）。ab 振子發(fā)射出來的電磁波可以用諧振器接受，如圖振子發(fā)射出來的電磁波可以用諧振器接受，如圖a中中的圓形銅環(huán)就是赫茲用過的一種諧振器，間隙間的距離的圓形銅環(huán)就是赫茲用過的一種諧振器，間隙間的距離可利用螺旋做微小調(diào)節(jié)。將諧振器放在距振子一定的距可利用螺旋做微小調(diào)節(jié)。將諧振器放在距振

20、子一定的距離之外，適當(dāng)?shù)剡x擇其方位，赫茲觀察到發(fā)射振子的間離之外，適當(dāng)?shù)剡x擇其方位，赫茲觀察到發(fā)射振子的間隙有火花跳過的同時，諧振器的間隙也有火花跳過。赫隙有火花跳過的同時，諧振器的間隙也有火花跳過。赫茲的實驗證明了電磁波確能在空間中傳播。茲的實驗證明了電磁波確能在空間中傳播。 赫茲利用這種實驗裝置還觀察到了電磁波與金屬面赫茲利用這種實驗裝置還觀察到了電磁波與金屬面反射回來的電磁波疊加而產(chǎn)生的駐波現(xiàn)象，并測定了波反射回來的電磁波疊加而產(chǎn)生的駐波現(xiàn)象，并測定了波長，證明了這種電磁波與光波一樣具有偏振特性，能產(chǎn)長，證明了這種電磁波與光波一樣具有偏振特性，能產(chǎn)生折射、反射、干涉、衍射等現(xiàn)象。赫茲不但

21、令人信服生折射、反射、干涉、衍射等現(xiàn)象。赫茲不但令人信服地證明了電磁波的存在，而且初步證實了光波本質(zhì)上也地證明了電磁波的存在，而且初步證實了光波本質(zhì)上也是電磁波。是電磁波。8.4 8.4 偶極振子發(fā)射的電磁波偶極振子發(fā)射的電磁波下圖是一偶極振子，假定振子中的電流作正弦變化并設(shè)：下圖是一偶極振子，假定振子中的電流作正弦變化并設(shè)：00( )sin(90 )i tIt00( )( )sinsinIq ti t dttKqtK0(sin)pq lqtl 則在兩端積累的電荷則在兩端積累的電荷q為為式中式中K為積分常數(shù)。在非穩(wěn)恒情況下可以不考慮與時間為積分常數(shù)。在非穩(wěn)恒情況下可以不考慮與時間無關(guān)的常量，因

22、此可以令無關(guān)的常量，因此可以令K=0=0。這樣電偶極矩為。這樣電偶極矩為ll( )i t( )q t( )q tr0r00qq如果坐標(biāo)系如圖所示，可以分兩如果坐標(biāo)系如圖所示，可以分兩個區(qū)域給出電場和磁場的表達式個區(qū)域給出電場和磁場的表達式 （1）離振子中心點的距離）離振子中心點的距離r遠遠小于波長遠遠小于波長 的區(qū)域稱為似穩(wěn)的區(qū)域稱為似穩(wěn)區(qū)或近區(qū)，這里場量的各分量可區(qū)或近區(qū)，這里場量的各分量可表示為：表示為：20( , )sin4rHHi lHr tr30302( , )cos4( , )sin4( , )0rq lE r trq lE r trEr tab由式子由式子a可以看出，可以看出，

23、的表達式與畢奧的表達式與畢奧-薩伐爾定律薩伐爾定律給出的電流元產(chǎn)生的磁場強度相同；而式子給出的電流元產(chǎn)生的磁場強度相同；而式子b給出了給出了場強與電偶極矩為場強與電偶極矩為 的電偶極子產(chǎn)生的場強相同。的電偶極子產(chǎn)生的場強相同。q lHr （2） 的區(qū)域通常稱為輻射區(qū)或者遠區(qū)。的區(qū)域通常稱為輻射區(qū)或者遠區(qū)。這一區(qū)域內(nèi)場強的各分量可表示為：這一區(qū)域內(nèi)場強的各分量可表示為：00( , )sinsin()4rHHIlrHr ttrv 2000( , )sinsin()40rEIlrE r ttrvE 12上式中上式中v是電磁波傳播的速度，是電磁波傳播的速度， 稱為稱為相位常數(shù)相位常數(shù)。由上式可以看出，

24、在輻射區(qū)，場強的位相滯后于激勵源由上式可以看出，在輻射區(qū)，場強的位相滯后于激勵源的電源位相，這是由于電磁波以有限的速度傳播所表現(xiàn)的電源位相，這是由于電磁波以有限的速度傳播所表現(xiàn)出來的推遲效應(yīng)。在輻射區(qū)中磁場強度出來的推遲效應(yīng)。在輻射區(qū)中磁場強度 位于與赤道位于與赤道面平行的平面內(nèi)而電場強度面平行的平面內(nèi)而電場強度 位于子午面內(nèi)，二者位于子午面內(nèi)，二者相互垂直，且都垂直于半徑相互垂直，且都垂直于半徑r（如下圖）。（如下圖）。vHE上圖中描繪了某一瞬間上圖中描繪了某一瞬間 線在空間的分布。不管線在空間的分布。不管在遠區(qū)還是在近區(qū)，在遠區(qū)還是在近區(qū)， 線的分布都具有軸對稱線的分布都具有軸對稱性，在垂

25、直于振子的平面內(nèi)，性，在垂直于振子的平面內(nèi)， 線圍繞著振子軸線圍繞著振子軸線旋轉(zhuǎn)而成閉合曲線，它們和傳導(dǎo)電流及位移電流線旋轉(zhuǎn)而成閉合曲線，它們和傳導(dǎo)電流及位移電流相互交鏈且成右手螺旋關(guān)系。每隔半個波長，相互交鏈且成右手螺旋關(guān)系。每隔半個波長， 線的方向變動一次，隨著電磁波的向前推移，線的方向變動一次，隨著電磁波的向前推移， 線的半徑越來越大。線的半徑越來越大。HHHHH圖中表示以振子為軸圖中表示以振子為軸的子午面上的電場分的子午面上的電場分布。在近區(qū)，布。在近區(qū)， 線可線可從正電荷出發(fā)終止于從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷；在遠區(qū)，電負(fù)電荷；在遠區(qū)，電場由變化的磁場產(chǎn)生，場由變化的磁場產(chǎn)生， 線成為閉

26、合曲線，它線成為閉合曲線，它和該處的和該處的 線交鏈。線交鏈。圖中的圖中的“.”和和“+”分別分別表示穿入紙面的表示穿入紙面的 線。由于電場的大小線。由于電場的大小和和 成正比，所成正比，所以在與振子垂直的平以在與振子垂直的平面上，面上， 線最密集，線最密集，而在振子軸線方向上而在振子軸線方向上無無 線。線。EEEHHsinE8.5 8.5 平面電磁波平面電磁波討論在自由空間傳播的均勻平面電磁波討論在自由空間傳播的均勻平面電磁波(plane electromagnetic wave)。所謂。所謂自由空間自由空間是指空間中既沒有自由電荷，也沒有傳是指空間中既沒有自由電荷，也沒有傳導(dǎo)電流，而且空間

27、無限大，可以不考慮邊界的影響。空間可以導(dǎo)電流，而且空間無限大，可以不考慮邊界的影響?？臻g可以是真空，也可以充滿均勻介質(zhì)。是真空，也可以充滿均勻介質(zhì)。均勻平面波均勻平面波系指等相位面是平系指等相位面是平面，且等相面上各點的場強都相等的電磁波。面，且等相面上各點的場強都相等的電磁波。自由空間的麥克斯韋方程組可寫為：自由空間的麥克斯韋方程組可寫為：0000rrEHEtHEHt xyzxyz(ijk )xyzEE iE jE kHH iH jH k 它們在直角坐標(biāo)系中的分量形式為：它們在直角坐標(biāo)系中的分量形式為：0000yxzyxzryxzryxzrEEExyzEHEyztHEEzxtEEHxyt x

28、yz0000yxzyxzryxzryxzrHHHxyzHEHyztEHHzxtHHExyt xyz設(shè)平面波沿設(shè)平面波沿+z軸傳播，則波面垂直于軸傳播，則波面垂直于z軸，由于均勻軸，由于均勻平面波的原因，場強與平面波的原因，場強與x,y無關(guān)，上式中所有對無關(guān)，上式中所有對x和和y的偏微商全部等于零，于是的偏微商全部等于零，于是，Z，Z四式四式化簡為化簡為0zEz0zHz0zHt0zEt這說明電場矢量和磁場矢量沿波傳播方向的分量這說明電場矢量和磁場矢量沿波傳播方向的分量 和和 是與任何的空間變量無關(guān)的常量。在波動問是與任何的空間變量無關(guān)的常量。在波動問題中常數(shù)沒有意義，因此可令題中常數(shù)沒有意義，因

29、此可令 ?？梢娋鶆蚱矫娌ㄖ械碾妶龊痛艌龆紱]有和波傳播方可見均勻平面波中的電場和磁場都沒有和波傳播方向平行的分量，因此都和傳播方向垂直，即對傳播向平行的分量，因此都和傳播方向垂直，即對傳播方向來說，他們都是橫向的，即方向來說，他們都是橫向的，即這種電磁波為橫波這種電磁波為橫波。zEzH0,0zzEH其余四式簡化后變?yōu)椋浩溆嗨氖胶喕笞優(yōu)椋?000yxryxryxryxrEHztHEztHEztEHzt xyxy如果我們考慮的是平面偏振波，電矢量的方向始終在如果我們考慮的是平面偏振波，電矢量的方向始終在xz平平面內(nèi)，可取面內(nèi)，可取x軸沿軸沿E矢量的方向，則矢量的方向，則E只剩下只剩下 一個分量，一

30、個分量，而而 。這樣一來上式中的。這樣一來上式中的x ，y兩式給出：兩式給出：0 xHt0 xHz0rEHzt 即即 分量也是一與電磁波無關(guān)的常量，仍可設(shè)分量也是一與電磁波無關(guān)的常量，仍可設(shè) ，于是于是H矢量也只剩下一個矢量也只剩下一個 分量了。由此可見若分量了。由此可見若E矢矢量沿量沿x方向，方向，H矢量沿矢量沿y方向，他們彼此垂直。如果用方向，他們彼此垂直。如果用 代表電磁波傳播方向的單位矢量，那么電矢量代表電磁波傳播方向的單位矢量，那么電矢量E，磁矢，磁矢量量H和傳播方向和傳播方向 三者兩兩垂直。三者兩兩垂直。經(jīng)過化簡最后只剩經(jīng)過化簡最后只剩y ，x兩個方程式了，略去下標(biāo)得：兩個方程式了

31、，略去下標(biāo)得：0rHEzt 1xE0yE xH0 xH yHkk我們將一個式子對我們將一個式子對z取偏微分，另一個式子對取偏微分，另一個式子對t取偏微取偏微分，便可把一個場變量消去。消去分，便可把一個場變量消去。消去H的方程為：的方程為：2200220rrHHzt 2200220rrEEzt ()0()0jtkzjtkzEE eHH e2同理，消去同理，消去E的方程式為：的方程式為：3式式2，3是是E和和H所遵守的波動方程所遵守的波動方程。如果考慮沿。如果考慮沿z方向方向傳播的簡諧波，我們可將其用復(fù)數(shù)形式表示：傳播的簡諧波，我們可將其用復(fù)數(shù)形式表示：其中其中 和和 是角頻率和波數(shù)，他們與周期是

32、角頻率和波數(shù)，他們與周期T和波長和波長 的關(guān)系為的關(guān)系為k2T2k4波的傳播速度（相速）為：波的傳播速度（相速）為：vTk00EjEE e00HjHH e4式中式中 和和 是復(fù)振幅，它們分別為：是復(fù)振幅，它們分別為： 分別是分別是E，H的振幅和初位相?，F(xiàn)將的振幅和初位相?，F(xiàn)將試探解試探解4式分別代入波動方程式分別代入波動方程2，3式可得出，只要式可得出，只要 和和 滿足如下關(guān)系：滿足如下關(guān)系：2200rrk 得出波速為得出波速為：001rrvk 真空中波速真空中波速：80013.010 m /sc 0E0H0E0HEHk將將4式帶入到式帶入到1式中可以得到復(fù)振幅間的關(guān)系：式中可以得到復(fù)振幅間的

33、關(guān)系：0000rrEH 0000rrEH 由此可得：由此可得：這說明均勻電磁波的電矢量這說明均勻電磁波的電矢量E和磁矢量和磁矢量H同位相，同位相，其振幅成比例。其振幅成比例。EHy(Hy)HE(Ex)xSzO由于我們是按照右旋坐標(biāo)系來標(biāo)定由于我們是按照右旋坐標(biāo)系來標(biāo)定E，H，k三個三個矢量的取向，矢量的取向， 表示表示E和和H永遠同號，這樣永遠同號，這樣在任何時刻，任何地點，三個矢量都成右旋系在任何時刻，任何地點，三個矢量都成右旋系EH8.6 8.6 波印亭矢量波印亭矢量麥克斯韋認(rèn)為，電磁場的能量也是定域于場中的，其能量麥克斯韋認(rèn)為，電磁場的能量也是定域于場中的，其能量密度等于電場的能量密度與

34、磁場的能量密度之和，即：密度等于電場的能量密度與磁場的能量密度之和，即：1122wD EB HBEt 0DHjt由麥克斯韋方程組知由麥克斯韋方程組知分別利用分別利用H和和E點乘以上兩式，并將所得兩式相減，得：點乘以上兩式，并將所得兩式相減，得：0()()BDHEEHHE jEtt 1考慮到下列關(guān)系：考慮到下列關(guān)系：1()2BHB Htt1()2DED Ett再應(yīng)用矢量分析中的恒等式：再應(yīng)用矢量分析中的恒等式：()()()HEEHEH 式子式子1可以寫成：可以寫成：011()()22EHB HD EE jt 2容易看出上式右端第一項剛好是電磁場能量密度對時容易看出上式右端第一項剛好是電磁場能量密

35、度對時間的變化率的負(fù)值，即間的變化率的負(fù)值，即 。我們再把有非靜電。我們再把有非靜電力力K的情況下歐姆定律的微分形式的情況下歐姆定律的微分形式wt0()jEK應(yīng)用于右端第二項，可得：應(yīng)用于右端第二項，可得：200000()jjE jKjKj式子式子2可變形為：可變形為：200()jwEHK jt 現(xiàn)在我們在空間任取一體積現(xiàn)在我們在空間任取一體積V，表面為，表面為，將上式兩邊，將上式兩邊對體積對體積V積分：積分：200()()()()()VVVVjwEH dVdVdVK j dVt 由矢量高斯定理可知：由矢量高斯定理可知：()()()VEH dVEHd 上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋?00( )()()(

36、)VVVjwEHddVdVK j dVt 式子式子3右端第二項中右端第二項中 是熱功率密度，因此這一是熱功率密度，因此這一項的意義是體積項的意義是體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流而損耗的熱功率。內(nèi)由于傳導(dǎo)電流而損耗的熱功率。320j為了弄清楚式子為了弄清楚式子3中右端第三項的物理意義，我門不妨先中右端第三項的物理意義，我門不妨先考慮一小的電流管的情況，在考慮一小的電流管的情況，在V內(nèi)取一小電流管，其截面內(nèi)取一小電流管，其截面積為積為，長為，長為l，則：，則：00()ooK j dVj KljK lI 小流管 是單位時間內(nèi)電流管中的電源所做的功。因此式子是單位時間內(nèi)電流管中的電源所做的功。因此式子3右端第三

37、項的意義應(yīng)該是體積右端第三項的意義應(yīng)該是體積V內(nèi)電源所做功的功率。內(nèi)電源所做功的功率。0I 這樣一來我們便有條件討論式子這樣一來我們便有條件討論式子3的物理意義了。它的物理意義了。它的右端第一項表示的是單位時間體積的右端第一項表示的是單位時間體積V內(nèi)電磁場能量的減內(nèi)電磁場能量的減少，第二項是體積少，第二項是體積V單位時間內(nèi)焦耳熱的損耗，第三項則單位時間內(nèi)焦耳熱的損耗，第三項則是體積是體積V內(nèi)電源所做功的功率。因此，根據(jù)能量守恒定律，內(nèi)電源所做功的功率。因此，根據(jù)能量守恒定律，式子式子3左端表示的是單位時間內(nèi)通過體積左端表示的是單位時間內(nèi)通過體積V的表面的表面向外向外流出的電磁能量。如果體積流出

38、的電磁能量。如果體積V內(nèi)有運流電流存在，式子內(nèi)有運流電流存在，式子3右端還應(yīng)加上電磁場對運動電荷做功的功率。右端還應(yīng)加上電磁場對運動電荷做功的功率?，F(xiàn)在引入新的矢量現(xiàn)在引入新的矢量S，其定義如下：，其定義如下：SE H 它的大小表示單位時間內(nèi)流過與之垂直的單位面積它的大小表示單位時間內(nèi)流過與之垂直的單位面積的電磁能量，它的方向代表電磁能傳遞的方向。的電磁能量，它的方向代表電磁能傳遞的方向。S稱作波印亭矢量稱作波印亭矢量(Poynting vector)，它就是電磁能，它就是電磁能流密度矢量。流密度矢量。4由前面對平面電磁波的討論可知，由前面對平面電磁波的討論可知， 是沿著是沿著電磁波傳播方向電

39、磁波傳播方向k，即能量總是向前傳播的。電磁波，即能量總是向前傳播的。電磁波中中E和和H都隨時間迅速變化，式子都隨時間迅速變化，式子4給出的是電磁波的給出的是電磁波的瞬時能流密度瞬時能流密度(energy-flux density)。在實際中重要的。在實際中重要的是它在一個周期內(nèi)的平均值，即是它在一個周期內(nèi)的平均值，即平均能流密度平均能流密度。EH對于簡諧波來說，如同計算交流電的平均功率那樣容易對于簡諧波來說，如同計算交流電的平均功率那樣容易得出：得出：0012SE H式中式中 是是E和和H的振幅，由于的振幅，由于 和和 之間之間存在比例關(guān)系：存在比例關(guān)系：00,EH0E0H0000rrEH 故：故：2200SEH或這說明電磁波的能流密度正比于電場或者磁場振幅的平方。這說明電磁波的能流密度正比于電場或者磁場振幅的平方。下面我們回頭看一下偶極振子的情況。在輻射區(qū)里，下面我們回頭看一下偶極振子的情況。在輻射區(qū)里，S的表達式為：的表達式為：24220000(