CH9多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用Word版

1、知識點(diǎn)十一 二元函數(shù)的極限方法： 1.可套用一元函數(shù)求極限的各種方法方法，但不能套用羅必達(dá)法則。 2.證明極限不存在時，需采用不同路徑逼近，一般采用直線方向，不同表示不同方向；需要時，也可沿其它曲線路徑。典型例題：1.求極限 解： 2. 求極限 解： 3求極限 解： 4求證函數(shù)當(dāng)時，極限不存在。 證明：沿直線方向考察， ， 其值隨 k 的不同而變化。所以極限不存在。5證明證明：，2 / 29而，根據(jù)夾逼準(zhǔn)則有典型練習(xí)1 23 45 67知識點(diǎn)十二 偏導(dǎo)數(shù)求法：求時，只要把之外的其他自變量暫時看成常量，對求導(dǎo)數(shù)即可。求時，只要把之外的其他自變量暫時看成常量，對求導(dǎo)數(shù)即可。其他類推。分片函數(shù)在分界

2、點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)： 嚴(yán)格用定義求。典型例題：1.求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù) 解：，。，2設(shè)，求證 解：對是冪函數(shù)，對是指數(shù)函數(shù)，所以， 3設(shè)，求。 解：先求，當(dāng)時，即且時，在點(diǎn)， 所以，同理 4驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯方程 證明：， 同樣可求， 所以典型練習(xí)（以教材中的練習(xí)為主） 1. 設(shè)，則 。 。2求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。 （1） （2）（3） （4） （5）. （6）3. 設(shè)，求證：4. 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 （1） （2）知識點(diǎn)十三 全微分內(nèi)容： 1.定義：如果函數(shù)在點(diǎn)的全增量可以表示為，其中不依賴于而僅與有關(guān)，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可微分， 稱為函數(shù) 在點(diǎn)的全微分，記為，即。 2.可微的必要條件： 如果函

3、數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必存在，且函數(shù)在點(diǎn)的全微分為，或。3.可微的充分條件：如果的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分。函數(shù)可微具有連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在4.可微、可導(dǎo)、連續(xù)的關(guān)系5全微分的求法：典型例題：1. 計算函數(shù) 在點(diǎn)處的全微分。解：， 所以，在處的全微分。2求函數(shù)，當(dāng)、，時的全微分。 解：， 3試證函數(shù)(1) 在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；(2) 在點(diǎn)不可微.證明：（1）因?yàn)?所以在點(diǎn)連續(xù)； ， ， 即，函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在。（2）如果考慮點(diǎn)沿著直線趨近于，則 即，所以在點(diǎn)不可微。典型練習(xí)（以教材中的練習(xí)為主）1設(shè)，則 。 2設(shè)，則 。3設(shè)討論在（1）.偏導(dǎo)數(shù)是否存在。（2）.

4、是否可微。知識點(diǎn)十四 多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式： 多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)公式根據(jù)復(fù)合過程的不同有不同的形式，關(guān)鍵在于搞清變量（函數(shù)、中間變量、自變量）間的關(guān)系，作出示意圖，根據(jù)口訣“連線相乘、分線相加”寫出公式。形式1：為函數(shù)，為中間變量，為自變量形式2：為函數(shù)，為中間變量，為自變量形式1：為函數(shù)，為中間變量，為自變量公式1： ， 公式2： ，（只有一個自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱為全導(dǎo)數(shù)）公式3： 特別注意：抽象的多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)的計算過程中，對復(fù)合函數(shù)，對中間變量（）的偏導(dǎo)數(shù)仍是以為中間變量的復(fù)合函數(shù)。典型例題：1設(shè) ，而 ， 求 和.解：2設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù).z t uvt解： 3設(shè)，而，求.z

5、uxyxy解： z uxy4，且具有一階導(dǎo)數(shù)，求。解：令，則w uvxyz5. 設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和。解：令，則，記，uvxyz ，而 ，所以典型練習(xí)（以教材中的練習(xí)為主）1求下列復(fù)合函數(shù)的各個一階偏導(dǎo)或全導(dǎo)數(shù)：（1），而 （2），而（3），而 （4），而2設(shè)為二元可微函數(shù)，則 32011（1）設(shè)函數(shù)，則 42009（1） 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 52005（1）設(shè)函數(shù), 其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有 【 】(A) ； （B）； (C) ； (D) 6求下列函數(shù)的各個二階偏導(dǎo)數(shù)（1）， （2）72011（1）設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值

6、，求知識點(diǎn)十五 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式：1一個二元方程情形：確定一個一元隱函數(shù)2一個三元方程情形：確定一個二元隱函數(shù)，3兩個四元方程情形：確定兩個二元隱函數(shù)，；，。對于此公式，不應(yīng)死記硬背。按照推導(dǎo)公式的過程求解：兩個方程兩邊對求偏導(dǎo)，得到的二元代數(shù)方程，解得；然后兩個方程兩邊對求偏導(dǎo)，得到的二元代數(shù)方程，解得。典型例題：1已知，求解：令，則 ， 所以。2設(shè)，求.解：令，則， 32010（1）函數(shù)由確定，可微，則(A) ； (B) ； (C) ； (D) 解：， ，故選(B)。4設(shè)，求解：兩個三元方程可確定兩個一元隱函數(shù)，在此是兩個方程兩邊對求偏導(dǎo)，得 典型練習(xí)（以教材中的練習(xí)為主）1由方程確定的

7、函數(shù)，在點(diǎn)處的全微分 。2設(shè)，則+= 。3設(shè)，其中可微，則= 。4，求 5設(shè)，求，；，知識點(diǎn)十六 空間曲線的切線方程與曲面的切平面方程內(nèi)容：（一）空間曲線的切線關(guān)鍵是方向向量： （1）曲線方程為參數(shù)方程，則在點(diǎn)，（2）曲線方程為一般方程，可確定兩個一元隱函數(shù)，曲線可表示為參數(shù)方程，則再點(diǎn)， （二）曲面的切線關(guān)鍵是法向量：（1）曲線方程為，則在點(diǎn)，。（2）曲線方程為，則在點(diǎn)，（3）若假定法向量的方向是向上的，則其方向余弦為下面這點(diǎn)很重要：曲面在點(diǎn)的切平面上面積為的一塊區(qū)域，在平面上的投影面積為：。典型例題：1. 求曲線，,在處的切線和法平面方程。 解：當(dāng)時，。，所以在處的切線的方向向量為。 切線

8、方程為，法平面方程為。2求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面方程。 解：將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項(xiàng)，得， ，在點(diǎn)切向量為切線方程為，法平面方程為，即。3求曲面在點(diǎn)處的切平面及法線方程。解：令，切平面方程為：，法線方程為：。4求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的切平面及法線方程。 解：，切平面方程為：法線方程為：典型練習(xí)（以教材中的練習(xí)為主）1.曲線在的點(diǎn)處切線方程為_ _；法平面方程為_ _。2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為_；法線方程為_.3.求出曲線上的點(diǎn),使在該點(diǎn)的切線平行于平面。4.求球面與拋物面的交線在處的切線方程。5.求橢球面上平行于平面的切平面方程。6.試證曲面上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于

9、知識點(diǎn)十七 方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容： 1. 方向?qū)?shù)是函數(shù)沿指定方向的變化率，二元函數(shù)沿任意方向（方向角為）方向?qū)?shù)存在的一個充分條件是：函數(shù)可微，且。同理，三元函數(shù)沿任意方向（方向角為）的方向?qū)?shù)為。 2函數(shù)的梯度是個向量，是函數(shù)方向?qū)?shù)最大（也即增長最快）的方向向量。若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)的梯度。梯度的方向?qū)?shù)就是它的模。典型例題： 1求函數(shù) 在點(diǎn) 處沿從點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向的方向?qū)?shù)。 解：， 方向?qū)?shù)2求函數(shù) 在點(diǎn) 處沿從點(diǎn) 到點(diǎn) 的方向的方向?qū)?shù)。解：， ， 方向?qū)?shù)3求函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度，并問在哪些點(diǎn)處梯度為零向量？ 解：所以，顯然在處梯度為零向量。典型練習(xí)（以教材中

10、的練習(xí)為主）1函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，它的方向與 ，而它的模為方向?qū)?shù)的 。2設(shè)，則 。3求在點(diǎn)處沿曲線的內(nèi)法向量的方向?qū)?shù)。4求函數(shù)在點(diǎn)處變化最快的方向，并求沿此方向的方向?qū)?shù)。知識點(diǎn)十八 多元函數(shù)的極值內(nèi)容：1.無條件極值的判定：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令，則(1) 時具有極值，且當(dāng)時有極大值， 當(dāng)時有極小值；(2) 時沒有極值；(3) 時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論。 2最值的一般求法：將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。3.條件極值：是對自變量有附加條

11、件的極值。利用拉格朗日乘數(shù)法解決。 （1）目標(biāo)函數(shù)，約束條件函數(shù) 先構(gòu)造函數(shù) ，其中為某一常數(shù)，可由解出，其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）拉格朗日乘數(shù)法可適合于多元函數(shù)，在多個約束條件下的極值，如： 目標(biāo)函數(shù)，約束條件函數(shù) 先構(gòu)造函數(shù)（其中均為常數(shù)） 求解方程組，解出，即得可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。典型例題：1. 2009（1）求二元函數(shù)的極值。解：，得駐點(diǎn)：。，在駐點(diǎn)， ，所以，在取得極小值，極小值為。2求 函數(shù) 的最大值和最小值。 解：， 得駐點(diǎn) 和 因?yàn)?，即邊界上的值為零。，所以最大值為，最小值為。3將正數(shù)12分成三個正數(shù)之和 使得 為最大。 解：令 則由（1），（2）得，由（1），（3）得，代入（4）得 解得：，即得唯一駐點(diǎn)，這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在這個可能的極值點(diǎn)處取得。最大值為：。典型練習(xí)（