材料力學(xué)復(fù)習(xí)筆記

1、 材 料 力 學(xué) （一） 軸向拉伸與壓縮【內(nèi)容提要】材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規(guī)律。為設(shè)計(jì)既安全可靠又經(jīng)濟(jì)合理的構(gòu)件，提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應(yīng)力的計(jì)算?！緝?nèi)容講解】一、基本概念強(qiáng)度構(gòu)件在外力作用下，抵抗破壞的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下，不會(huì)發(fā)生意外的斷裂或顯著塑性變形。剛度構(gòu)件在外力作用下，抵抗變形的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下不會(huì)產(chǎn)生過分的變形。穩(wěn)定性構(gòu)件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下，不會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。桿件一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大

2、于其它兩個(gè)方向的尺寸的構(gòu)件，稱為桿件或簡稱桿。根據(jù)軸線與橫截面的特征，桿件可分為直桿與曲桿，等截面桿與變截面桿。二、材料力學(xué)的基本假設(shè)工程實(shí)際中的構(gòu)件所用的材料多種多樣，為便于理論分析，根據(jù)它們的主要性質(zhì)對(duì)其作如下假設(shè)。(一)連續(xù)性假設(shè)假設(shè)在構(gòu)件所占有的空間內(nèi)均毫無空隙地充滿了物質(zhì)，即認(rèn)為是密實(shí)的。這樣，構(gòu)件內(nèi)的一些幾何量，力學(xué)量(如應(yīng)力、位移)均可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)表示，并可采用無限小的數(shù)學(xué)分析方法。(二)均勻性假設(shè)很設(shè)材料的力學(xué)性能與其在構(gòu)件中的位置無關(guān)。按此假設(shè)通過試樣所測(cè)得的材料性能，可用于構(gòu)件內(nèi)的任何部位(包括單元體)。(三)各向同性假設(shè)沿各個(gè)方向均具有相同力學(xué)性能。具有該性質(zhì)的材料，

3、稱為各向同性材料。 綜上所述，在材料力學(xué)中，一般將實(shí)際材料構(gòu)件，看作是連續(xù)、均勻和各向同性的可變形固體。三、外力 內(nèi)力與截面法(一)外力對(duì)于所研究的對(duì)象來說，其它構(gòu)件和物體作用于其上的力均為外力，例如載荷與約束力。外力可分為：表面力與體積力；分布力與集中力；靜載荷與動(dòng)載荷等。當(dāng)構(gòu)件(桿件)承受一般載荷作用時(shí)，可將載荷向三個(gè)坐標(biāo)平面(三個(gè)平面均通過桿的軸線，其中兩個(gè)平面為形心主慣性平面)內(nèi)分解，使之變?yōu)閮蓚€(gè)平面載荷和一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶作用情況。在小變形的情況下，三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的力互相獨(dú)立，即一個(gè)坐標(biāo)平面的載荷只引起這一坐標(biāo)平面內(nèi)的內(nèi)力分量，而不會(huì)引起另一坐標(biāo)平面內(nèi)的內(nèi)力分量。此即小變形條件的疊加法。

4、(二)內(nèi)力與截面法內(nèi)力在外力作用下，構(gòu)件發(fā)生變形，同時(shí)，構(gòu)件內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生相互作用力，由于外力作用，構(gòu)件內(nèi)部相連兩部分之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。截面法將構(gòu)件假想地截(切)開以顯示內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系或由部分外力確定內(nèi)力的方法，稱為截面法。由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開面截面上的連續(xù)分布力。稱連續(xù)分布內(nèi)力。將連續(xù)分布內(nèi)力向橫截面的形心C簡化，得主矢與主矩。為了分析內(nèi)力，沿截面軸線建立 軸，在所切橫截面內(nèi)建立 軸和 軸，并將主矢與主矩沿x、y、z三軸分解，得內(nèi)力分量 ，以及內(nèi)力偶矩分量 。這些內(nèi)力及內(nèi)力偶矩分量與作用在保留桿段上的部分外力，形成平衡力系，并由相

5、應(yīng)的平衡方程，建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系，或由部分外力確定內(nèi)力。內(nèi)力分量及內(nèi)力偶矩分量，統(tǒng)稱為內(nèi)力分量。(三)應(yīng)力正應(yīng)力與剪應(yīng)力為了描述內(nèi)力的分布情況，引入內(nèi)力分布集度即應(yīng)力的概念。平均應(yīng)力在截面mm上任一點(diǎn)K的周圍取一微面積A，設(shè)作用于該面積上的內(nèi)力為P，則A內(nèi)的平均應(yīng)力：單元體(微體)圍繞某點(diǎn)(如K)切取一無限小的六面體，稱為單元體(或微體)。為全面研究一點(diǎn)處在不同方位的截面上的應(yīng)力(稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài))而切取的研究對(duì)象之一。四、軸向拉伸與壓縮的力學(xué)模型軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。受力特征 作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對(duì)大小相等、矢向相反。變

6、形特征 受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長(縮短)即桿件任意兩橫截面沿桿件軸向方向產(chǎn)生相對(duì)的平行移動(dòng)。拉壓桿 以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向受力桿。作用線沿桿件軸向的載荷，稱為軸向載荷五、軸力 軸力圖 軸力拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸力。用N_表示。是拉壓桿橫截面上唯一的內(nèi)力分量。軸力N符號(hào)規(guī)定 拉力為正，壓力為負(fù)。根據(jù)截面法和軸力N正負(fù)號(hào)規(guī)定，可得計(jì)算拉壓桿軸力N的法則：橫截面上的軸力N，在數(shù)值上等于該截面的左側(cè)(或右側(cè))桿上所有軸向外力的代數(shù)和。無論左側(cè)或右側(cè)桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負(fù)值。 (二)軸力圖表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化

7、規(guī)律的圖線。稱為軸力圖或N圖。以x軸為橫坐標(biāo)平行于桿軸線，表示橫截面位置，以N軸為縱坐標(biāo)，表示相應(yīng)截面上的軸力值。六、拉壓桿橫截上、斜截面上的應(yīng)力(一)拉壓桿橫截上的應(yīng)力(二)拉壓桿斜截面上的應(yīng)力由拉壓桿橫截面上的應(yīng)力均勻分布，可推斷斜截面上的應(yīng)力 ，也為均勻分布，且其方向必與桿軸平行。斜截面上剪應(yīng)力符號(hào)規(guī)定：將截面外法線 ，沿順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)900，與該方向同向的剪應(yīng)力為正。七、材料拉壓時(shí)力學(xué)性能 強(qiáng)度條件 破壞(失效)許用應(yīng)力 由于脆性材料均勻性較差，且斷裂又是突然發(fā)生的，其達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)的危險(xiǎn)性要比塑性材料大的多，因此，在普通荷載作用下， 比 大，一般取 =1.52.0；對(duì)脆性材料規(guī)定取 =

8、2.53.0，甚至更大。 強(qiáng)度條件利用上述條件，可解決以下三類問題。1校核強(qiáng)度_當(dāng)已知拉壓桿所受外力，截面尺寸和許用應(yīng)力，通過比較工作應(yīng)力與許用應(yīng)力大小，以判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。2選擇截面尺寸 若已知拉壓桿所受外力和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件確定該桿所需截面面積。對(duì)于等截面拉壓桿，其所需橫截面面積為3確定承載能力 若已知拉壓桿截面尺寸和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為八、軸向拉壓變形軸向拉壓應(yīng)變能當(dāng)桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時(shí)，桿件因變形而貯存的能量，稱

9、為應(yīng)變能。(一)軸向變形與胡克定律試驗(yàn)表明：軸向拉伸時(shí)，軸向伸長，橫向尺寸減??；軸向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向尺寸增大，即橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變恒為異號(hào)。且在比例極限內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變成正比。比例系數(shù)用 表示，稱為泊松比。它是一個(gè)常數(shù)，其值隨材料而異，由試驗(yàn)測(cè)定。材料的彈性模量E、泊松比v與剪變模量G之間存在如下關(guān)系：當(dāng)已知任意兩個(gè)彈性常數(shù)，即可由上式確定第三個(gè)彈性常數(shù)，可見各向同性材料只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。(三)軸向拉壓應(yīng)變能應(yīng)變能在外力作用下，桿件發(fā)生變形，力在相應(yīng)的位移上作功，同時(shí)在桿內(nèi)貯存的能量稱為應(yīng)變能。用W表示外力功，用U表示相應(yīng)應(yīng)變能。在線彈性范圍內(nèi)，在靜載荷作用下，桿內(nèi)應(yīng)

10、變能等于外力功 軸向拉壓應(yīng)變能：【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖，其相應(yīng)軸力圖為（ ）。A. (A) B. (B) C. (C)D. (D) 答案:A【例題5】在相距2m的AB兩點(diǎn)之間，水平地懸掛一根直徑d=1mm的鋼型在中點(diǎn)C逐漸增加荷載P。設(shè)鋼絲在斷裂前服從虎克定律，E=2x 1O5MPa，在伸長率達(dá)到0.5%時(shí)拉斷，則斷裂時(shí)鋼絲內(nèi)的應(yīng)力和C點(diǎn)的位移分別為( )A26.5 B. 51 C. 63.6 D. 47.1 答案:B【例題8】低碳鋼拉伸經(jīng)過冷作硬化后，以下四種指標(biāo)中得到提高為在（ ）。A. 強(qiáng)度極限 B. 比例極限C. 斷面收縮率 D. 伸長率(延伸率)答案:B (二） 剪切 【內(nèi)

11、容提要】本講主要講連接件和被連接件的受力分析，區(qū)分剪切面與擠壓面的區(qū)別，剪切和擠壓的計(jì)算分析，剪力互等定理的意義及剪切虎克定律的應(yīng)用。 【重點(diǎn)、難點(diǎn)】本講的重點(diǎn)是剪切和擠壓的受力分析和破壞形式及其實(shí)用計(jì)算，難點(diǎn)是剪切面和擠壓面的區(qū)分，擠壓面積的計(jì)算。 一、實(shí)用(假定)計(jì)算法的概念 螺栓、銷釘、鉚釘?shù)裙こ躺铣Ｓ玫倪B接件及其被連接的構(gòu)件在連接處的受力與變形一般均較復(fù)雜，要精確分析其應(yīng)力比較困難，同時(shí)也不實(shí)用，因此，工程上通常采用簡化分析方法或稱為實(shí)用(假定)計(jì)算法。具體是： 1對(duì)連接件的受力與應(yīng)力分布進(jìn)行簡化假定，從而計(jì)算出各相關(guān)部分的“名義應(yīng)力”；2對(duì)同樣連接件進(jìn)行破壞實(shí)驗(yàn)，由破壞載荷采用同樣的

12、計(jì)算方法，確定材料的極限應(yīng)力。 然后，綜合根據(jù)上述兩方面，建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，作為連接件設(shè)計(jì)的依據(jù)。實(shí)踐表明，只要簡化假定合理，又有充分的試驗(yàn)依據(jù)，這種簡化分析方法是實(shí)用可靠的。 二、剪切與剪切強(qiáng)度條件 當(dāng)作為連接件的鉚釘、螺栓、銷釘、鍵等承受一對(duì)大小相等、方向相反、作用線互相平行且相距很近的力作用時(shí)，當(dāng)外力過大；其主要破壞形式之一是沿剪切面發(fā)生剪切破壞，如圖2-1所示的鉚釘連接中的鉚釘。因此必須考慮其剪切強(qiáng)度問題。 連接件(鉚釘)剪切面上剪應(yīng)力r：假定剪切面上的剪應(yīng)力均勻分布。于是，剪應(yīng)力與相應(yīng)剪應(yīng)力強(qiáng)度條件分別為 （2-1）（2-2）式中：為剪切面上內(nèi)力剪力；為剪切面的面積；為許用剪應(yīng)力，

13、其值等于連接件的剪切強(qiáng)度極限除以安全系數(shù)。如上所述，剪切強(qiáng)度極限值，也是按式(2-1)由剪切破壞載荷確定的。 需要注意，正確確定剪切面及相應(yīng)的剪力。例如圖2-1(a)中鉚釘只有一個(gè)剪切面，而圖2-1(b)中鉚釘則有兩個(gè)剪切面。相應(yīng)的剪力值均為P。 三、擠壓與擠壓強(qiáng)度條件 在承載的同時(shí)，連接件與其所連接的構(gòu)件在相互直接接觸面上發(fā)生擠壓，因而產(chǎn)生的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力。當(dāng)擠壓應(yīng)力過大時(shí)，將導(dǎo)致兩者接觸面的局部區(qū)域產(chǎn)生顯著塑性變形，因而影響它們的正常配合工作，連接松動(dòng)。為此必須考慮它們的擠壓強(qiáng)度問題。如圖22所示的鉚釘連接中的鉚釘與鋼板間的擠壓。 連接件與其所連接的構(gòu)件，擠壓面上擠壓應(yīng)力。：假定擠壓面上

14、的擠壓應(yīng)力均勻分布。于是；擠壓應(yīng)力，與相應(yīng)的擠壓強(qiáng)度條件分別為式中：Pc為擠壓面上總擠壓力；Ac為擠壓面的面積。當(dāng)擠壓面為半圓柱形曲面時(shí)取垂直擠壓力方向直徑投影面積。如圖22所示的取Ac=dt。為許用擠壓應(yīng)力其值等于擠壓極限應(yīng)力除以安全系數(shù)。在實(shí)用（假定）計(jì)算中的許用剪應(yīng)力、許用擠壓應(yīng)力，與許用拉應(yīng)力之間關(guān)系有：對(duì)于鋼材=（0.750.80） =（1.702.00） 四、純剪切與剪應(yīng)力互等定理 (一)純剪切：若單元體上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，稱為純剪切。如圖2-3(a)所示，是單元體受力最基本、最簡單的形式之一。 在剪應(yīng)力作用下相鄰棱邊所夾直角的改變量稱為剪應(yīng)變，用表示，其單位為rad。如圖

15、2-3(b)所示。 (二)剪應(yīng)力互等定理：在互相垂直的兩個(gè)平面上，垂直于兩平面交線的剪應(yīng)力，總是大小相等，而方向則均指向或離開該交線(圖2-3)，即證明：設(shè)單元體邊長分別為，單元體頂、底面剪應(yīng)力為，左、右側(cè)面的剪應(yīng)力為(圖2-4a)則由平衡方程 得同理可證，當(dāng)有正應(yīng)力作用時(shí)(圖2-3b)，剪應(yīng)力互等定理仍然成立五、剪切胡克定律 試驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)力不超過材料的剪應(yīng)力比例極限，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即 式中G稱為材料的剪變模量。上述關(guān)系稱為剪切胡克定律。 試驗(yàn)表明，對(duì)于各向同性材料，材料的三個(gè)彈性常數(shù)，有下列關(guān)系 上述關(guān)系式同樣可從純剪切時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系中導(dǎo)得。所以，當(dāng)知道任意兩個(gè)彈性

16、常數(shù)后，由上式可以確定第三個(gè)彈性常數(shù)。即E、G、v間只有兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)?！纠}1】如圖所示圓截面桿件，承受軸向拉力P作用，設(shè)拉桿的直徑為d，端部墩頭的直徑為D，厚度為，已知許用應(yīng)力=120MPa，許用剪應(yīng)力=90MPa，許用擠壓應(yīng)力=240MPa。試根據(jù)強(qiáng)度方面要求，則D，d，三者間的合理比值為（）。 A1：1：1B.1:1.223:0.335C.1.223:1:0.335D:0.335:1:1.223 答案:C 【例題2】如圖所示光圓鋼筋，一端置于混凝土中，另一端外伸端施加一拉力P。(稱鋼筋與混凝土之間抗拔力試驗(yàn))。已知鋼筋的直徑d=14mm，埋置長度=300mm,P=20kN，則鋼筋與混凝土

17、接觸面間平均剪應(yīng)力為。 A.B.C.D. 答案:D 【例題3】一外徑為250mm，壁厚為lOmm的鋼管柱，底部墊置直徑為d的圓鋼板，立于混凝土底座上(如圖所示)。已知混凝土的許用擠壓應(yīng)力為15MPa，鋼的許用擠壓應(yīng)力為150MPa，管柱能夠承受的最大荷載P及所需鋼板的最小直徑d分別為。A.1000310B.1130310 C.1200310D.1200300答案:B 【例題4】矩形截面的鋼板拉伸試件，如圖所示。為了使拉力P通過試件的軸線，在試件兩端部，開有圓孔，孔內(nèi)插入銷釘，作用于試件設(shè)試件與銷釘?shù)牟牧舷嗤?其許用剪應(yīng)力=1OOMPa，許用擠壓應(yīng)力c=300MPa，許用拉應(yīng)力=170MPa，試

18、件拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限=400MPa，為了使試件僅在中部被拉斷，則該試件端部，所需尺寸的大小為()。(試件中部橫截面尺寸為20mm5mm) A.164070B.274070 C.274074C.164080 答案:C 【例題5】如圖所示鉚釘連接，已知鉚釘?shù)闹睆絛=20mm，許用剪應(yīng)力=130MPa，許用擠壓應(yīng)力=300MPa，鋼板的許用拉應(yīng)力=170MPa，則該連接的許可荷載P為()。 A.180B.238C.245D.306 答案:A 【例題6】如圖所示對(duì)接式螺栓連接，主板厚=10mm，蓋板厚=6mm，板寬均為=250mm，已知螺栓直徑d=20mm，許用剪應(yīng)力=130MPa，設(shè)用擠壓應(yīng)力300M

19、Pa，鋼板的許用拉應(yīng)力=170MPa，承受軸向拉力P=300kN，螺栓排列每列最多為二個(gè)，則該連接每邊所需要的螺栓個(gè)數(shù)最少為()。 A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè) 答案:C 【例題7】如圖所示一橫截面邊長為200mm的正方形混凝土柱，豎立在邊長=1m的正方形混凝土基礎(chǔ)板上。柱頂上作用軸向壓力P=100kN，設(shè)地基對(duì)混凝土板的支承壓力為均勻分布，混凝土的許用抗剪應(yīng)力=1.5MPa，則柱不會(huì)穿過混凝土板，板應(yīng)有的最小厚度為()。 A.70B.75C.80D.85答案:C 【例題8】如圖所所示搖臂，承受P1和P2作用。已知載荷P1=50kN，軸銷D材料的許用剪應(yīng)力=100MPa，許用擠壓應(yīng)力=24

20、0MPa，則軸銷的最小直徑d為()。 A.14B.15C.16D.17答案:B 【例題9】一鋼桿，直徑為15mm，長度為5m，用直徑為15mm的螺栓連接，固定在兩墻之間。(沒有任何初應(yīng)力)，如圖所示，已知鋼的，E=200GPa，若螺栓內(nèi)產(chǎn)生的剪應(yīng)力=60MPa時(shí)的溫差T0為（）。 A30B.40C.50D.60 答案:C (三)扭轉(zhuǎn) 【內(nèi)容提要】扭轉(zhuǎn)是桿件的又一種基本變形形式，本節(jié)主要學(xué)習(xí)桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)的受力和變形特點(diǎn)，熟悉傳動(dòng)軸的外力偶矩計(jì)算，掌握求扭矩和作扭矩圖的方法。掌握橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律和剪應(yīng)力計(jì)算，了解斜截面上的應(yīng)力計(jì)算，掌握剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用。熟悉圓截面極慣性矩，抗扭截面系數(shù)

21、計(jì)算公式的應(yīng)用。熟悉圓截面桿扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算和剛度條件的應(yīng)用，了解受扭圓桿應(yīng)變能的計(jì)算。 【重點(diǎn)、難點(diǎn)】求扭矩和作扭矩圖的方法，橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律和剪應(yīng)力計(jì)算，剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。 【內(nèi)容講解】 一、扭轉(zhuǎn)的概念 受力特征：桿兩端承受一對(duì)力偶矩相等轉(zhuǎn)向相反作用面與桿軸線相垂直的外力偶作用。 變形特征：桿件各橫截面繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。 截面間軸線的相對(duì)角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角，用表示。桿件表面上的縱向線同時(shí)傾斜了一個(gè)角，即剪應(yīng)變。以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的直桿，簡稱為軸。 二、傳動(dòng)軸外力偶矩 傳動(dòng)軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間關(guān)系式中P為傳遞功率，常用單位為kW(千瓦)，為轉(zhuǎn)速，常用單位為rmin(轉(zhuǎn)每分)，

22、T為外力偶矩，常用單位為Nm(牛米)。 三、扭矩扭矩圖 扭矩:受扭桿件橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力，是一個(gè)在橫截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩稱為扭矩，用 表示。 扭矩正負(fù)號(hào)規(guī)定 扭矩 以右手法則表示扭矩矢量方向，若該矢量方向與截面外向法線方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。 扭矩計(jì)算 應(yīng)用截面法和扭矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定，可直接根據(jù)橫截面左側(cè)(或右側(cè))桿上作用的外力 偶矩，計(jì)算該橫截面上的扭矩法則：某橫截面上的扭矩 ，在數(shù)值上等于該截面的左側(cè)(或右側(cè))桿上所有外力偶矩的代數(shù)和，外力偶矩矢量方向(按右手法則離開該橫截面的均取正值，反之取負(fù)值。 扭矩圖 表示沿桿軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。以橫坐標(biāo)軸表示橫截面的位置縱坐標(biāo)表

23、示相應(yīng)橫截面上扭矩。 根據(jù)平面假設(shè)，應(yīng)用幾何、物理與靜力學(xué)三方面，可建立圓截面軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，變形公式。 四、圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與強(qiáng)度條件 (一)橫截面上的剪應(yīng)力 1剪應(yīng)力分布規(guī)律橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力，其值與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，方向垂直于該點(diǎn)所在的半徑。剪應(yīng)力沿截面半徑線性變化。如下圖所示。 2剪應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上距圓心為的任一點(diǎn)處剪應(yīng)力。橫截面上最大剪應(yīng)力，發(fā)生在橫截面邊緣各點(diǎn)處()，其值為上列兩式中：為所要求剪應(yīng)力的點(diǎn)所在橫截面上的扭矩，稱為截面的極慣性矩，稱為抗扭截面系數(shù)。 、是僅與橫截面尺寸有關(guān)的幾何量，分別為實(shí)心圓截面。(直徑為d) 空心圓截面(外徑為D內(nèi)徑為； (二)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度

24、條件 為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)工作時(shí)，不致因強(qiáng)度不夠而破壞，最大剪應(yīng)力不得超過材料的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力，即要求，強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸式中為扭轉(zhuǎn)(純剪切)許用剪應(yīng)力，其值與許用應(yīng)力之間存在下述關(guān)系： 對(duì)于塑性材料0.50.577 對(duì)于脆性材料，0.81.0式中，代表許用拉應(yīng)力。 由上述強(qiáng)度條件，可對(duì)受扭圓軸進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)以及許可載荷的確定等三類問題的計(jì)算。五、圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 (一)圓軸扭轉(zhuǎn)變形 單位長度的扭轉(zhuǎn)角，即扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率 對(duì)于在長度范圍內(nèi)，均為常量，則扭轉(zhuǎn)角上式表明，扭轉(zhuǎn)角與扭矩軸長成正比，與成反比。乘積表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)彈性變形的能力，稱為圓軸抗扭剛度。（二）圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條

25、件 剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)最大單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過某一規(guī)定的迕用值。即對(duì)于等截面均質(zhì)圓軸 上式中，代表單位長度許用扭轉(zhuǎn)角。對(duì)于一般傳動(dòng)軸，為對(duì)于精密機(jī)器與儀表的軸，值可根據(jù)有關(guān)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范確定。六、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能 圓軸因扭轉(zhuǎn)變形而貯存的能量，稱為扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能，用表示，其數(shù)值上等于外力偶矩在相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角位移上所作之功。在線彈性范圍內(nèi)扭矩與扭轉(zhuǎn)角成正比。于是，得扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能上式表明，應(yīng)變能是扭矩的二次函數(shù)。 單位體積應(yīng)變能，稱為比能用表示。圓軸扭轉(zhuǎn)單元體處于純剪狀態(tài)，在線彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，于是比能 【小結(jié)】本節(jié)推導(dǎo)公式的理論基礎(chǔ)是剪力互等定律和剪切虎克定律，其扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和變形的公式僅適用于圓

26、形截面的構(gòu)件，計(jì)算的基本公式是扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：，扭轉(zhuǎn)變形公式：及其強(qiáng)度條件：，剛度條件=。 (四)截面的幾何性質(zhì) 【內(nèi)容提要】本節(jié)主要了解靜矩和形心、極慣性矩和慣性積的概念，熟悉簡單圖形靜矩、形心、慣性矩和慣性積的計(jì)算，掌握其計(jì)算公式。掌握慣性矩和慣性積平行移軸公式的應(yīng)用，熟練掌握有一對(duì)稱軸的組合截面慣性矩的計(jì)算方法。準(zhǔn)確理解形心主軸和形心主慣性矩的概念，熟悉常見組合截面形心主慣性矩的計(jì)算步驟。 【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)掌握平行移軸公式的應(yīng)用，形心主軸概念的理解和有一對(duì)稱軸的組合截面慣性矩的計(jì)算步驟和方法 一、靜矩與形心 (一)定義設(shè)任意截面如圖4-1所示，其面積為A，為截面所在平面內(nèi)的任意直角坐標(biāo)

27、系。c為截面形心，其坐標(biāo)為，。則 截面對(duì)z軸的靜矩截面對(duì)軸的靜矩截面形心的位置 (二)特征 1靜矩是對(duì)一定的軸而言的，同一截面對(duì)不同軸的靜矩值不同。靜矩可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。 2靜矩的量綱為長度的三次方即。單位為或。3通過截面形心的坐標(biāo)稱為形心軸。截面對(duì)任一形心軸的靜矩為零；反之，若截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過截面之形心。 4若截面有對(duì)稱軸，則截面對(duì)于對(duì)稱軸的靜矩必為零，截面的形心一定在該對(duì)稱軸上。 5組合截面(由若干簡單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材截面所組成)對(duì)某一軸的靜矩，等于其組成部分對(duì)同一軸的靜矩之代數(shù)和(圖4-2)，即 合截面的形心坐標(biāo)為： 圖4-1圖4-2二、慣性矩慣性積 (一)

28、定義設(shè)任意截面如圖4-3所示，其面積為A，為截面所在平面內(nèi)任意直角坐標(biāo)系。則圖4-3截面對(duì)軸的慣性矩截面對(duì)y 軸的慣性矩截面對(duì)0點(diǎn)的極慣性矩截面對(duì)軸的慣性積(二)特征 1慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸而言的慣性積是對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸而言的，同一截面對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其數(shù)值不同。極慣性矩是對(duì)點(diǎn)(稱為極點(diǎn))而言的，同一截面對(duì)不同的點(diǎn)，其值也不相同。慣性矩。極慣性矩恒為正值，而慣性積可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。 2慣性矩、慣性積、極慣性矩的量綱均為長度的四次方，即。，單位為m4或mm4 3對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩恒等于以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任一對(duì)直角坐標(biāo)軸的慣性矩之和。即4慣性積是對(duì)某一對(duì)直角坐標(biāo)的若該對(duì)坐標(biāo)中有一軸為截面的

29、對(duì)稱軸，則截面對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積必為零；但截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對(duì)坐標(biāo)中不一定有截面的對(duì)稱軸。 5組合截面對(duì)某一軸的慣性矩等于其組成部分對(duì)同一軸的慣性矩之和。即 組合截面對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于其組成部分對(duì)同一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積之和，即組合截面對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩，等于其組成部分對(duì)同一點(diǎn)極慣性矩之和，即三、慣性半徑 (一)定義設(shè)任意截面，其面積為A，則 截面對(duì)z軸的慣件半徑截面對(duì)y軸的慣性半徑(二)特征 1慣性半徑是對(duì)某一定坐標(biāo)軸而言的。 2慣性半徑恒為正值。 3慣性半徑的量綱為長度一次方，即L，單位為m或mm四、慣性矩和慣性積的平行移軸公式 任意截面，面積為A，形心為C，如

30、圖4-3所示。設(shè)z軸與形心軸平行，相距為；y軸與形心軸平行，相距為，截面對(duì)z、y軸的慣性矩、慣性積分別為、；截面對(duì)形心軸、。的慣性矩，慣性積分別為，有如下結(jié)論 慣性矩的平行移軸公式慣性積的平行移軸公式分述如下： 截面對(duì)于任一軸的慣性矩等于對(duì)其平行形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。截面對(duì)于任一直角坐標(biāo)軸的慣性積等于該截面對(duì)于平行形心坐標(biāo)慣性積加上截面面積與其形心的坐標(biāo)之乘積。 常用截面幾何性質(zhì)如表下表所示 五、形心主慣性軸與形心主慣性矩 (一)定義通過截面形心C點(diǎn)的一對(duì)特殊坐標(biāo)軸()，其慣積()為零，則該對(duì)坐標(biāo)軸()稱為形心主慣性軸(簡稱形心主軸)。截面對(duì)該一對(duì)形心主軸的慣性矩稱

31、為形心主慣性矩(簡稱形心主慣矩)。 (二)特征 1通過截面形心C，至少具有一對(duì)形心主軸 2若截面只有一根對(duì)稱軸，則該軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過形心，并與上述對(duì)稱軸垂直的軸。 3若截面有兩根對(duì)稱軸，則該兩根軸即為形心主軸。 4若截面有三根(或以上)對(duì)稱軸時(shí)，則通過形心的任一根軸(所有軸)均為形心主軸，且形心主慣矩均相等。 5若截面沒有對(duì)稱軸，則可由定性判定法，即根據(jù)繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)軸，轉(zhuǎn)至截面積最靠近分布某一軸時(shí)，截面對(duì)該軸的慣性矩最小()，此軸即為形心主軸之一，另一根通過形心與之垂直的軸為另一根慣性矩最大()的形心主軸。 6形心主慣性矩是截面對(duì)通過同一形心C點(diǎn)，所有軸的慣性矩中的最大值(

32、)和最小值()。 截面對(duì)于通過同一形心C點(diǎn)的任意一對(duì)直角坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和恒為常數(shù)，即7若截面對(duì)通過形心C點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過形心c點(diǎn)的所有軸均為形心主軸，且所有形心主慣性矩均相等。 (五)講彎曲 【內(nèi)容提要】彎曲內(nèi)力部分應(yīng)掌握對(duì)稱截面梁平面彎曲的特征，梁的內(nèi)力的產(chǎn)生，彎矩、剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，作剪力圖和彎矩圖的方法；掌握、V、M之間的微分關(guān)系，熟練掌握各種受力情況下V、M圖的特征，掌握用簡便法計(jì)算指定截面上V、M的方法。彎曲應(yīng)力部分應(yīng)明確彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件，掌握橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，掌握中性軸為對(duì)稱軸時(shí)或?yàn)榉菍?duì)稱軸時(shí)正應(yīng)力強(qiáng)度的計(jì)算。熟悉常見截面剪應(yīng)力的分布規(guī)律，熟悉剪應(yīng)力

33、公式的應(yīng)用，掌握剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用。了解梁的合理截面形狀，熟悉提高梁強(qiáng)度的措施。了解彎曲中心的概念，熟悉常見開口薄壁桿件的彎曲中心。彎曲變形部分應(yīng)熟悉彎矩與曲率的關(guān)系、確定梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程的條件即撓曲線近似微分方程、邊界條件與連續(xù)條件。掌握積分法求梁的位移的步驟與方法，正確地寫出梁的邊界條件與連續(xù)條件，掌握求梁的位移的疊加法。熟悉梁的彎曲應(yīng)變能的計(jì)算和應(yīng)用卡氏第二定理求梁的位移?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】彎曲內(nèi)力部分要求能熟練的作圖；彎曲應(yīng)力部分重點(diǎn)掌握正應(yīng)力和剪應(yīng)力最大的危險(xiǎn)截面的確定，梁受拉側(cè)和受壓側(cè)的判斷，焊接工字型截面梁三類危險(xiǎn)點(diǎn)的確定；彎曲變形部分重點(diǎn)是給定梁的邊界條件和連續(xù)條件的正確寫

34、法和用疊加法求梁的位移的靈活運(yùn)用。 【內(nèi)容講解】 第一部分：彎曲內(nèi)力 一、平面彎曲的概念及受力、變形特征 受力特征外力平面(橫向外力或外力偶作用面組成的平面)與桿件的形心主慣性平面相重合或平行，橫向外力作用線必須通過橫截面的彎曲中心。 變形特征桿件的軸線，由直線變?yōu)樾涡闹鲬T性平面內(nèi)的一條平面曲線，稱為撓曲線或撓曲軸。 凡是以彎曲為主要變形的桿件，稱為梁。根據(jù)梁支座約束的特點(diǎn)，最常見的靜定梁有：簡支梁；懸臂梁；外伸梁等三種。 二、剪力方程與彎矩方程剪力圖與彎矩圖 (一)剪力與彎矩梁的橫截面上，一般存在兩種內(nèi)力分量：剪力V和彎矩M 剪力橫截面上切線分布內(nèi)力的合力，作用線平行于橫截面，稱為剪力，用V

35、表示。 彎矩橫截面上法線分布內(nèi)力所形成的合力矩，作用面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩，稱為彎矩，用M表示。 剪力與彎矩的正負(fù)號(hào)，規(guī)定如下：在所切橫截面的內(nèi)側(cè)切取微段，凡試圖使該微段沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)(錯(cuò)動(dòng))的剪力為正；使其彎曲呈凹形向上，上部受壓，下部受拉的彎矩為正。 剪力與彎矩的計(jì)算法則，根據(jù)截面法和正負(fù)號(hào)規(guī)定可得： 1橫截面上的剪力Q，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有橫向外力的代數(shù)和，即 （4-5-1）式中，對(duì)于截面左側(cè)梁上，向上的橫向外力(或截面右側(cè)梁上，向下的橫向外力)均取正值；反之取負(fù)值。 2橫截面上的彎矩M在數(shù)值上等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)該截面形心0的力矩的代數(shù)和，即

36、（4-5-2）式中對(duì)于作用在梁上的外力偶，無論在截面的左側(cè)或右側(cè)，凡使該截面處微段梁下部受拉的均取正值反之取負(fù)值 為了描寫剪力與彎矩沿梁軸的變化情況，有以下兩種重要方法解析關(guān)系式與圖示法。 (二)剪力方程與彎矩方程 剪力方程描寫沿梁軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程。即 彎矩方程描寫沿梁軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程。即(三)剪力圖與彎矩圖 剪力圖表示沿梁軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。 彎矩圖表示沿梁軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。 作圖時(shí)，以z為橫坐標(biāo)表示橫截面位置，以剪力V或彎矩M為縱坐標(biāo)。三、載荷集度與剪力、彎矩間

37、的微分關(guān)系 (一)q(x)與V(x)、M(x)間微分關(guān)系平衡微分方程 描述作用在梁上的外力與內(nèi)力之間的微分方程，稱為平衡微分方程。荷集度與剪力、彎矩間的微分關(guān)系式表明：剪力圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的載荷集度；彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面的剪力；而彎矩圖某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，則等于相應(yīng)截面處的載荷集度。 (二)利用荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系繪制、校核剪力圖、彎矩圖 1無分布荷載的梁段 剪力圖為水平直線；彎矩圖為直線，斜率隨常值而定。2均布載荷作用的梁段 =常數(shù)0 =常數(shù)0剪力圖為傾斜直線，斜率隨q常值而定，相應(yīng)彎矩圖為二次拋物線。 四、集中力、集中力偶作用處剪力、彎矩圖特征 (一

38、)在集中力作用處剪力圖有突變，突變值等于集中力的大小突變方向與集中力作用方向一致。彎矩M圖呈尖角 (二)在集中力偶作用處，剪力圖無變化。彎矩M圖有突變突變值等于該集中力偶矩值 【例題5】如圖所示多跨靜定梁的兩種受載情況(1)和(2)。下列結(jié)論中哪個(gè)是正確的為（）。 (A)兩者的V圖相同，M圖也相同；(B)兩者的V圖相同，M圖不同； (C)兩者V圖不同，M圖相同；(D)兩者的V圖不同，M圖也不同。 答案：(D) （六）應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 (七) 組合變形【內(nèi)容提要】組合變形的一般分析方法，斜彎曲的分析方法，掌握有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的截面(如矩形、工字形截面)最大正應(yīng)力的計(jì)算。掌握拉(壓)一彎組

39、合變形的分析方法，對(duì)于截面有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的桿，掌握其最大正應(yīng)力的計(jì)算。掌握偏心拉伸(或壓縮)的分析方法，偏心拉(壓)經(jīng)過簡化后，可歸結(jié)為拉伸(或壓縮)與彎曲的組合。掌握彎-扭組合變形下桿橫截面上的應(yīng)力計(jì)算，并用相應(yīng)的強(qiáng)度理論對(duì)危險(xiǎn)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。【重點(diǎn)、難點(diǎn)】(1)各種基本變形組合時(shí)的分析方法；(2)對(duì)于有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的截面桿，在斜彎曲、拉(壓)-彎曲、偏心拉(壓)時(shí)最大正應(yīng)力計(jì)算；(3)用強(qiáng)度理論解決彎-扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算問題。【內(nèi)容講解】一、組合變形的概念(一)基本變形 軸向拉伸(壓縮)；扭轉(zhuǎn)；平面彎曲稱為桿件的基本變形。前面已分別研究了它們的外力(外力偶)作用特征、內(nèi)力

40、、應(yīng)力及其分布規(guī)律、變形等及其相應(yīng)的計(jì)算公式，基本概念將是研究組合變形的重要基礎(chǔ)。此外，還將涉及到應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論等。 (二)組合變形 在外力作用下，構(gòu)件同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，稱為組合變形。例如斜彎曲，是相互垂直的兩個(gè)平面彎曲的組合；軸向拉伸(壓縮)與彎曲的組合；以及扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合等等。 (三)組合變形強(qiáng)度計(jì)算的 根據(jù)：材料符合胡克定律、圣文南原理，小變形條件下，應(yīng)的疊加原理，對(duì)組合變形構(gòu)件的強(qiáng)度分析計(jì)算方法，可概括為：分解簡明化按照基本算分析疊加法。具體是 1將外力分解或簡化為符合各基本變形外力作用條件的靜力等效力系。2按照各基本變形，計(jì)算出橫截面上內(nèi)力(圖)確定危險(xiǎn)截面位置及其內(nèi)力分量。根據(jù)應(yīng)力分布規(guī)律，確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置及其應(yīng)力分量。3分析疊加作出危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。由于受力方式的不同，組合變形在危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)處疊加后的應(yīng)力狀態(tài)分別有兩種情況；一種是仍處于單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)，可直接應(yīng)用拉伸(壓縮)的強(qiáng)度條件。如斜彎曲，拉伸(壓縮)和彎曲的組合(包括偏心拉、壓)等。另一類同時(shí)存在有正應(yīng)力和剪應(yīng)力作用處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，則須用強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條