高中數(shù)學(xué)必修1-5錯解分析第4-5章修改稿

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 第四章 數(shù)列§4.1等差數(shù)列的通項與求和一、知識導(dǎo)學(xué)1.數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，第n項，.3.通項公式：一般地，如果數(shù)列an的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.4. 有窮數(shù)列:項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.5. 無窮數(shù)列:項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項（或前幾項）及相鄰兩項（或幾項）間關(guān)系可以用一個公式來表示，則這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式是

2、給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a1,a2,然后用遞推關(guān)系逐一寫出數(shù)列中的項.7.等差數(shù)列:一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示 8.等差中項:如果，這三個數(shù)成等差數(shù)列，那么我們把叫做和的等差中項 二、疑難知識導(dǎo)析1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個定義域為正整數(shù)集或其有限子集(1，2，3，n)的函數(shù).2.一個數(shù)列的通項公式通常不是唯一的.3.數(shù)

3、列an的前n項的和Sn與an之間的關(guān)系：若a1適合an(n>2),則不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點（n,）均勻排列在一條直線上，由兩點確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項可以確定一個等差數(shù)列.5、對等差數(shù)列的前n項之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項之和公式可變形為，若令A(yù)，Ba1，則An2+Bn.6、在解決等差數(shù)列問題時，如已知，a1，an，d，n中任意三個，可求其余兩個。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知數(shù)列1，4，7，10，3n+

4、7,其中后一項比前一項大3.（1）指出這個數(shù)列的通項公式；（2）指出1+4+（3n5）是該數(shù)列的前幾項之和.錯解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是該數(shù)列的前n項之和.錯因：誤把最后一項（含n的代數(shù)式）看成了數(shù)列的通項.（1）若令n=1,a1=101,顯然3n+7不是它的通項.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是該數(shù)列的前n1項的和. 例2 已知數(shù)列的前n項之和為 求數(shù)列的通項公式。錯解： 錯因：在對數(shù)列概念的理解上，僅注意了anSnSn-1與的關(guān)系，沒注意a1=S1.正解： 當時， 當時， 經(jīng)檢驗 時 也適合， 當時， 當時， 例3 已知等差數(shù)列的前n項之和

5、記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于 。錯解：S30= S10·2d. d30， S40= S30+d =100.錯因：將等差數(shù)列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等差數(shù)列.正解：由題意：得代入得S40 。例4等差數(shù)列、的前n項和為Sn、Tn.若求；錯解：因為等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1;bn=4n+27.錯因：誤認為正解：例5已知一個等差數(shù)列的通項公式an=255n，求數(shù)列的前n項和；錯解：由an0得n5前5項為非負，從第6項起為負，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)當n

6、6時，Sn=a6+a7+a8+an Sn=錯因：一、把n5理解為n=5，二、把“前n項和”誤認為“從n6起”的和.正解： 例6已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前項和的公式嗎？解：理由如下：由題設(shè)： 得： 例7已知： （） （1） 問前多少項之和為最 大？（2）前多少項之和的絕對值最?。?解：（1） （2） 當近于0時其和絕對值最小 令： 即 1024+ 得： 例8項數(shù)是的等差數(shù)列，中間兩項為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程 的根。 （） 證明：依題意 （獲證）。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知，求及。2設(shè)，求證：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成

7、等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.6.在等差數(shù)列中， ，則 （       ）。A72B60C48D367. 已知是等差數(shù)列，且滿足，則等于_。8.已知數(shù)列成等差數(shù)列，且，求的值。§4.2等比數(shù)列的通項與求和一、知識導(dǎo)學(xué)1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比都等于 同 一 個 常 數(shù)，那 么 這 個 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中項：若，成等比數(shù)列，則稱 為 和 的等比中項3.等比數(shù)列的前n項和公式： 二、疑難知識導(dǎo)析1.由于等比數(shù)列

8、的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不為0.2.對于公比q，要注意它是每一項與它前一項的比，防止把相鄰兩項的比的次序顛倒.3.“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時應(yīng)注意如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時可以說此數(shù)列從. 第2項或第3項起是一個等比數(shù)列.4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項.5.在已知等比數(shù)列中任意兩項的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項.6.等比數(shù)列an的通項公式an=a1qn-1可改寫為.當q>0，且

9、q1時，y=qx是一個指數(shù)函數(shù)，而是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點.7在解決等比數(shù)列問題時，如已知，a1，an，d，n中任意三個，可求其余兩個。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知數(shù)列的前n項之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（）。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列錯解：（常數(shù)）為等比數(shù)列，即B。錯因：忽略了中隱含條件n1.正解：當n1時，a1=S1aq;當n>1時，（常數(shù)）但既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。例2 已知等比數(shù)列的前n項和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等

10、于.錯解：S30= S10·q 2. q 27，q， S40= S30·q =.錯因：是將等比數(shù)列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等比數(shù)列.正解：由題意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.錯解： a+a2+a3+an.錯因：是（1）數(shù)列an不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項和公式（2）用等比數(shù)列前n項和公式應(yīng)討論q是否等于1.正解：當a0時，a+a2+a3+an0; 當a1時，a+a2+a3+ann;當a1時， a+a2+a3+an.例4設(shè)均為非零實數(shù)， 求證：成等比數(shù)列且公比為。證明：證法一：關(guān)于的

11、二次方程有實根， ， 則必有：，即，非零實數(shù)成等比數(shù)列 設(shè)公比為，則，代入 ，即，即。證法二： ，且 非零，。 例5在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前7項之積。 解： ，前七項之積 例6求數(shù)列前n項和 解： 兩式相減：例7從盛有質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，問：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？ (2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分數(shù)為多少？解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為an，則： a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()

12、2×0.2（kg） 由此可見：an= ()n-1×0.2（kg）, a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比數(shù)列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分數(shù)為0.003125。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.求下列各等比數(shù)列的通項公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比數(shù)列，已知，求. 3.已知無窮數(shù)列， 求證：（1）這個數(shù)列成等

13、比數(shù)列 （2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的， （3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中。4.設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項的和。5.已知數(shù)列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在數(shù)列an，其前項和Sn組成的數(shù)列Sn也是等比數(shù)列，且公比相同？7.在等比數(shù)列中，求的范圍。§4.3數(shù)列的綜合應(yīng)用一、知識導(dǎo)學(xué)1. 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型.2. 應(yīng)用題成為熱點題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢，因為數(shù)列在實際生活中應(yīng)用比較廣泛，所

14、以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：（1）閱讀理解材料，且對材料作適當處理；（2）建立變量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求Sn還是求an.一般情況下，增或減的量是具體體量時，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分數(shù)時，應(yīng)用等比數(shù)列公式若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分數(shù)，加1就是公比q.二、疑難知識導(dǎo)析 1.首項為正（或負）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項和的最大（或最?。﹩栴}，轉(zhuǎn)化為解不等式解決；2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式，在用等比數(shù)列前n項和公式

15、時，勿忘分類討論思想；3.等差數(shù)列中, am=an+ (nm)d, ; 等比數(shù)列中，an=amqn-m; 4.當m+n=p+q（m、n、p、q）時，對等差數(shù)列an有：am+an=ap+aq；對等比數(shù)列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+bbn(k、b是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若an、bn是等比數(shù)列，則kan、anbn等也是等比數(shù)列；6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）數(shù)列；7.對等差數(shù)列an,當項數(shù)為2n時，S偶-S奇nd；項數(shù)為2n1時，S奇S偶a中（n）；8.若一階線

16、性遞推數(shù)列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫變形成如下形式:(n2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項公式；三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和.證明：。錯解：欲證只需證2即證：由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證原不等式成立.錯因：在利用等比數(shù)列前n項和公式時，忽視了q1的情況.正解：欲證只需證2即證：由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證由已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，>0,.若,則 0；若,原不等式成立.例2 一個球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當它第10次著地時，共經(jīng)過了多少米？（精確到1米）錯解：因球每次著地后又跳回至原高度

17、的一半，從而每次著地之間經(jīng)過的路程形成了一公比為的等比數(shù)列，又第一次著地時經(jīng)過了100米，故當它第10次著地時，共經(jīng)過的路程應(yīng)為前10項之和.即199（米）錯因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況.正解：球第一次著地時經(jīng)過了100米，從這時到球第二次著地時，一上一下共經(jīng)過了100（米）因此到球第10次著地時共經(jīng)過的路程為300（米）答：共經(jīng)過300米。例3 一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學(xué)的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當孩子18歲上大學(xué)時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)

18、為多少？錯解：年利率不變，每年到期時的錢數(shù)形成一等比數(shù)列，那18年時取出的錢數(shù)應(yīng)為以a為首項，公比為1+r的等比數(shù)列的第19項，即a19=a(1+r)18.錯因：只考慮了孩子出生時存入的a元到18年時的本息，而題目要求是每年都要存入a元.正解：不妨從每年存入的a元到18年時產(chǎn)生的本息 入手考慮，出生時的a元到18年時變?yōu)閍(1+r)18，1歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)17，2歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)16，17歲生日時的a元到18歲時成為a(1+r)1，a(1+r)18+ a(1+r)17+ + a(1+r)1答：取出的錢的總數(shù)為。 例4求數(shù)列的前n項和。 解：設(shè)數(shù)列

19、的通項為an，前n項和為Sn，則 當時， 當時，例5求數(shù)列前n項和解：設(shè)數(shù)列的通項為bn，則 例6設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且，求數(shù)列an的前n項和 解：取n =1，則又由 可得：例7大樓共n層，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到設(shè)在第k層的臨時會議室開會，問k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長相等）解：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a，則當n為奇數(shù)時，取 S達到最小值當n為偶數(shù)時，取 S達到最大值 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1在1000，2000內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個？2某城市1991年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人口平均增長率為

20、1%，每年平均新增住房面積為30萬m2，求2000年底該城市人均住房面積為多少m2？(精確到0.01)3已知數(shù)列中，是它的前項和，并且， （1） 設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列； （2） 設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列。4.在ABC中，三邊成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，求證ABC為正三角形。 5 三數(shù)成等比數(shù)列，若將第三個數(shù)減去32，則成等差數(shù)列，若再將這等差數(shù)列的第二個數(shù)減去4，則又成等比數(shù)列，求原來三個數(shù)。6. 已知 是一次函數(shù)，其圖象過點 ，又 成等差數(shù)列，求的值. 第五章不等式§5.1不等式的解法一、知識導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式ax>b(1)當a>0時，解為；(2)當a0時，解為；(

21、3)當a0，b0時無解；當a0，b0時，解為R2. 一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實根，且x1x2 類型解集ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx20xx-，xRRxx=-0RR3.簡單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：將f(x)的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個一次因式的積；將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點畫曲線；根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.4.分式不等式：先

22、整理成0或0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：0f(x)·g(x)00然后用“根軸法”或化為不等式組求解.二、疑難知識導(dǎo)析1.不等式解法的基本思路解不等式的過程，實質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡原不等式的過程，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此，一要能熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形.2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所以在解不等式組時，先要解出本組內(nèi)各不等

23、式的解集，然后取其交集，在取交集時，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個不等式解集的兩個或幾個區(qū)間誤看成是兩個或幾個不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式問題中有廣泛的應(yīng)用，其難點是區(qū)分何時取交集，何時取并集.解不等式的另一個難點是含字母系數(shù)的不等式求解注意分類.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 如果kx2+2kx(k+2)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.A. 1k0 B. 1k<0 C. 1<k0 D. 1<k<0錯解：由題意：解得：1<k<0錯因：將kx2+2kx(k+2)<0看

24、成了一定是一元二次不等式，忽略了k0的情況.正解：當k0時，原不等式等價于20，顯然恒成立， k0符合題意.當k0時，由題意：解得：1<k<0，故選C. 例2 命題3，命題0，若A是B的充分不必要條件，則的取值范圍是A. B. C. D.錯解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選D.錯因：忽略了a4時，x|2x4x|2xa，此時A是B的充要條件，不是充分不必要條件.正解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選C.例3已

25、知f(x) = ax + ，若求的范圍.錯解： 由條件得 ×2 ×2得 +得 錯因：采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時受制約的.當取最大（?。┲禃r，不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思路是錯誤的.正解： 由題意有, 解得： 把和的范圍代入得 例4 解不等式（x+2）2(x+3)(x2)錯解：（x+2）2原不等式可化為：(x+3)(x2)原不等式的解集為x| x 3或x錯因:忽視了“”的含義，機械的將等式的運算性質(zhì)套用到不等式運算中.正解：原不等式可化為：（x+2）2(x+3)(x2) 或（x+2）2(x+3)(x2)，解得：x=3或x2或x2解

26、得：x 3或x2原不等式的解集為x| x 3或x或x例5 解關(guān)于x的不等式解：將原不等式展開，整理得： 討論：當時，當時，若0時；若<0時當時，點評：在解一次不等式時，要討論一次項系數(shù)的符號.例6關(guān)于x的不等式的解集為求關(guān)于x的不等式的解集解：由題設(shè)知，且是方程的兩根， 從而 可以變形為即： 點評：二次不等式的解集與二次方程的根之間的了解是解本題的關(guān)健，這也體現(xiàn)了方程思想在解題中的簡單應(yīng)用.例7（06年高考江蘇卷）不等式的解集為解：，0， 解得反思：在數(shù)的比較大小過程中,要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小

27、中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大??；(2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1??；,(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.解不等式2. 解不等式 3.解不等式 4. 解不等式 5.解不等式6.k為何值時，下式恒成立：7. 解不等式8. 解不等式§5.2簡單的線性規(guī)劃一、知識導(dǎo)學(xué)1. 目標函數(shù): 是一個含有兩個變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點:坐標為整數(shù)的點叫做整點4.線性規(guī)劃問題:求線性目標函

28、數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難知識導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任

29、選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若 直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗3. 平 移 直 線 k 時，直線必須經(jīng)過可行域4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行

30、域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域.錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了.正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范圍.錯解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 ×(1)+ 得：02y3 .×2+×(1)得. 34x2y12錯因：可行域范圍擴大了. 正解：線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如右圖所示，由得A點坐標（1.5，0.5）此時z4×1.52×0.55.

31、由得B點坐標（3，1）此時z4×32×110.54x2y10 例3 已知,求x2+y2的最值.錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2由得A點坐標（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點坐標（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點坐標（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213，當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值13.錯因：誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z

32、= x2+y2,則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.由得A點坐標（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點坐標（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點坐標（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213，而在原點處，此時zx2+y202+020，當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值0.例4某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少

33、？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？分析： 數(shù)據(jù)分析列表書桌書櫥資源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利潤（元/張）80120計劃生產(chǎn)（張）xy設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為 2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x+3y=0目標函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點A（100，400）時，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為zmax=80×100+400×120=56000(元)若只生產(chǎn)書桌，得0<x30

34、0，即最多生產(chǎn)300張書桌，利潤為z=80×300=24000（元）若只生產(chǎn)書櫥，得0<y450，即最多生產(chǎn)450張書櫥，利潤為z=120×450=54000（元） 答：略例5某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最小？只用第一種鋼板行嗎？ 解：

35、設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 目標函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t， 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交點，但點不是可行域內(nèi)的整點，其附近的整點（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20若只截第一種鋼板，由上可知x27，所用鋼板面積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行.答：略 例6設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值.解：由引例可

36、知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，當經(jīng)過點時，對應(yīng)最小，說明：1線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得； 2線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1畫出不等式+2y40表示的平面區(qū)域.2畫出不等式組表示的平面區(qū)域 3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運費500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每

37、月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？6（06年高考廣東）在約束條件下，當時，目標函數(shù) 的最大值的變化范圍是 A.6,15B.7,15C.6,8D.7,8§5.3 基本不等式的證明一、知識導(dǎo)學(xué)1.比較法：比較

38、法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法).(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“-0；-0”.其一般步驟為：作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體；變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用

39、差值比較法.(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若，R+，/1；/1”.其一般步驟為：作商：將左右兩端作商；變形：化簡商式到最簡形式；判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法.2.綜合法：利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”.即從已知逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論.3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是

40、否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題成立，只需證明命題1為真，從而有，這只需證明2為真，從而又有，這只需證明為真，而已知為真，故必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式>，先假設(shè)，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定>.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.5.換元法：換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多

41、，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示.此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的了解，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如>>等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-進行換

42、元.二、疑難知識導(dǎo)析1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向.2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч擞诒硎?，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適

43、應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點.3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價命題了.用分析法證明問題時，一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.4.反證法證明不等式時，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.5.

44、在三角換元中，由于已知條件的限整理用，可能對引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果.這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應(yīng)用.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知a>b(ab),比較與的大小.錯解： a>b(ab)，<.錯因：簡單的認為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當兩數(shù)同號時，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解：，又 a>b(ab)，(1)當a、b同號時，即a>b>0或b<a<0時，則ab>0,ba<0, ,<.(2)當a、b異號時，則a>0,b<0, >0,

45、<0>.例2 當a、b為兩個不相等的正實數(shù)時，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.錯解：所以選B.錯因是由于在、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項A、B、C中，最小，而，由當ab時，a+b>2,兩端同乘以，可得（a+b）·2ab, ，因此選D.例3 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.錯解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)

46、2+(b+)2的最小值是8.錯因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小.解法一： 0 <

47、1 - x2 < 1, 解法二： 0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, 解法三：0 < x < 1, 0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, 左 - 右 = 0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 例5已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xyac + bd證：證法一（分析法）a, b, c, d, x, y都是正數(shù) 要證：xyac + bd 只需證：(xy)2(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2

48、)a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c22abcd 由基本不等式，顯然成立 xyac + bd證法二（綜合法）xy = 證法三（三角代換法） x2 = a2 + b2，不妨設(shè)a = xsina, b = xcosay2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例6 已知x > 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2a<b 由顯然 2a<

49、;b a - b > 0, ab - 1 > 0, ab > 0 上式 > 0f (x)在上單調(diào)遞增，左邊四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.比較（a+3）(a5)與（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：4.若，求證：5.若x > 1，y > 1，求證： 6證明：若a > 0，則§5.4不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函數(shù)定義域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問

50、題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式.3.涉及不等式知識解決的實際應(yīng)用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值.二、疑難知識導(dǎo)析不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，又是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應(yīng)用，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實際應(yīng)用題問世，其特點是：1問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷售收入、市場信息”等，題目往往篇幅較長.2函數(shù)模型除了常見的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪

51、函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標準形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)”為模型的新的形式.三經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求y=的最小值.錯解： y=2y的最小值為2.錯因：等號取不到，利用均值定理求最值時“正、定、等”這三個條件缺一不可.正解：令t=,則t,于是y=由于當t時，y=是遞增的，故當t2即x=0時，y取最小值.例2m為何值時，方程x2+(2m+1)x+m23=0有兩個正根.錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此當時，原方程有兩個正根.錯因：忽視了一元二次方程有實根的條件，即判別式大于等于0.正解：由題意：因此當時，原方程有兩個正根. 例3若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值解：由于x，y為正數(shù)，則

52、6x，5y也是正數(shù)，所以當且僅當6x=5y時，取“=”號因，則，即，所以的最大值為.例4 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值分析：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S是定值因此最大值一定要用S來表示首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式設(shè)長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進行變形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了解：設(shè)長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則y=abc，2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值答：長方體的長、寬、高都等于時體積的最大值為.說明：對應(yīng)用問題的處理，要把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問題的關(guān)健.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價