課題學(xué)習(xí)的案例：折疊問題初探

1、.課題學(xué)習(xí)的案例：折疊問題初探教學(xué)目的：知識與技能： 在折紙的情境中，建立現(xiàn)實(shí)生活問題與幾何的聯(lián)絡(luò)，培養(yǎng)聯(lián)想、類比由特殊到一般等數(shù)學(xué)的考慮方式，浸透轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，能較為綜合運(yùn)用角平分線、平行線及與三角形,多邊形相關(guān)角的一些知識。過程與方法： 經(jīng)歷做數(shù)學(xué)理論，考慮，再合情推理的數(shù)學(xué)知識形成過程；通過觀察一探究一猜測一驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，體會科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。情感態(tài)度、價(jià)值觀： 建立一些活動折紙與幾何世界的多種聯(lián)絡(luò)，激發(fā)學(xué)習(xí)幾何的興趣。感受到運(yùn)動中蘊(yùn)涵著靜止，變與不變得辯證關(guān)系，在折紙中加強(qiáng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)探究才能和創(chuàng)造力。教學(xué)重點(diǎn)：折疊圖形的中幾何問題的發(fā)現(xiàn)和解決,讓學(xué)生提問與質(zhì)疑、嘗試與探究、

2、討論與交流、歸納與總結(jié)。促使學(xué)生思維開放，在積極探究中形成創(chuàng)新性的考慮與對待問題的方式，并藉此獲得知識.教學(xué)難點(diǎn)：折疊運(yùn)動變化中存在的等量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和如何利用折疊中的不變量解決詳細(xì)問題教學(xué)方式：探究式,啟發(fā)式教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)輔助，幾何畫版課件，flash課件 一、 創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容:折紙與幾何解題 活動1： 如圖1，將一張長方形紙片如圖1折疊，其中EF, FH為折痕，試判斷EFH的度數(shù)？ 說明理由。學(xué)生活動設(shè)計(jì)：學(xué)生將手中的長方形紙片折疊后，直角的結(jié)論明顯，并積極考慮理由。老師活動設(shè)計(jì)：此題結(jié)論明顯，易操作，主要目的使學(xué)生感受折疊過程中表現(xiàn)出重合全等的特性，從

3、而造成的折痕為角平分線，從此題中得出此題本質(zhì)是臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直，進(jìn)一步得到思想方法，化復(fù)雜圖形為根本圖形；運(yùn)動中有靜止。 板書解答：EFH90° 理由： 由折疊過程可知: 1=2, 3=4 又1234180° 所以1390° 即EFH90° 小結(jié)：折疊過程所呈現(xiàn)出的幾何等量是由于重合。 活動2假如將一張長方形紙片，沿著對角線折起一個(gè)角，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交與點(diǎn)O如圖2這時(shí)我們能觀察到什么呢？請說明理由。學(xué)生活動設(shè)計(jì)：學(xué)生將手中的長方形紙片折疊后，會發(fā)現(xiàn)許多的結(jié)論，并積極考慮理由。老師活動設(shè)計(jì)：此題易操作，結(jié)論頗多，是一個(gè)開放性問題，主要

4、目的使學(xué)生進(jìn)一步體會思想方法，化復(fù)雜圖形為根本圖形；運(yùn)動中有靜止。并積極搜索自己大腦中的知識庫，給出合理的理由。 板書結(jié)論： E=C, EDB=BDC, EBD=CBD 動中有靜 ODB=CBD=EDB,AOB=EOD,BDC=ABD=EDB, OBD=ODB, ABO=EDO各類根本圖形 AB=CD=ED, AD=BC=BE,OA=OE,OB=OD可用等積法說明OA=OE SABD=SBDC= SBED SABO= SEOD AE/BD 注：此時(shí)學(xué)生還沒有學(xué)三角形全等和等腰三角形有關(guān)知識探究活動：把三角形紙片折起一角，角的頂點(diǎn)會落在什么位置呢？新形成的1，2和A之間有什么數(shù)量關(guān)系?學(xué)生活動設(shè)

5、計(jì)：學(xué)生將手中的三角形紙片折疊后，會發(fā)現(xiàn)有三種可能。老師活動設(shè)計(jì)：此題是一個(gè)一題多變，一題多解的比較綜合的問題，有一定難度。主要目的使學(xué)生加深體會思想方法，化復(fù)雜圖形為根本圖形；運(yùn)動中有靜止。引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)展探究。 探究1：1如圖31，把三角形ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的邊BD上時(shí)，那么A與2之間有什么數(shù)量關(guān)系，請你試著找一找這個(gè)規(guī)律。并說明你的理由。 探究2：2 如圖32，把三角形ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部時(shí)，那么A與1，2之間有什么數(shù)量關(guān)系，請你試著找一找這個(gè)規(guī)律。并說明你的理由。學(xué)生活動設(shè)計(jì)：學(xué)生將手中的三角形紙片折疊后，在本上畫出圖形

6、，積極考慮，給出證明。老師活動設(shè)計(jì)：給學(xué)生足夠的時(shí)間考慮，老師可巡視，然后請學(xué)生發(fā)表見解，師傾聽同時(shí)板書學(xué)生思路并再次強(qiáng)調(diào)根本圖形三角形，四邊形和折疊中的不變量。 結(jié)論：2A21 簡單思路1：利用四邊形ADAE和三角形ADE 思路2：利用四邊形BCED和三角形ABC 思路3：利用臨補(bǔ)角2和AEA, 1和ADA以及三角形ABC 思路4：聯(lián)結(jié)AA利用三角形外角性質(zhì)此法最簡潔，思路轉(zhuǎn)化向探究1情況 注：此題還有其他解法，利用作平行線等，學(xué)生假設(shè)沒想到就避開。 探究3如圖33，把三角形ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED外部時(shí)，那么A與1，2之間有什么數(shù)量關(guān)系，請你試著找一找這個(gè)規(guī)律。并說明

7、你的理由。 結(jié)論：2A21 引導(dǎo)學(xué)生：思路轉(zhuǎn)化向探究1，2聯(lián)結(jié)AA利用三角形外角性質(zhì)情況，可解。 老師追問：A與1，2之間的數(shù)量關(guān)系能統(tǒng)一到一種形式嗎？知識升華引導(dǎo)：利用內(nèi)，外具有相反意義假設(shè)規(guī)定角的正負(fù)，就可以統(tǒng)一到 2A21探究1中10，探究2中10,探究3中10師生小結(jié)： 思想方法 復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為根本圖形 從運(yùn)動變化中尋找不變性的思想 從折疊與展開過程中體會到逆向思維 課后練習(xí)： 1假如將一張長方形紙片按圖4折疊，假如點(diǎn)C落在AD上呢？你能觀察到什么呢？請說明理由。 2如圖5在一張紙上畫一條直線和一個(gè)點(diǎn)，你能否利用折疊的方法， 經(jīng)過一點(diǎn)作直線的平行線？談?wù)勀愕睦碛桑?課后反思： 折紙活

8、動本身能喚起學(xué)生很多美妙的回憶，如折紙飛機(jī)、紙帆船、千紙鶴。另一方面，折紙活動又是一種有效的操作活動，學(xué)生可以通過自己動手操作來感悟圖形的幾何性質(zhì)，運(yùn)用圖形運(yùn)動去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題。而且折紙活動本身也承載著許多重要的幾何問題，可以提煉出更一般的幾何方法，它對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心與探究精神，有重要的價(jià)值。 通過設(shè)計(jì)折紙活動讓學(xué)生動手理論，自主探究與合作交流，豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和老師的教學(xué)方式，在此過程中，學(xué)生找到了學(xué)習(xí)的樂趣，老師對教與學(xué)的方式也有了新的認(rèn)識。 1背景 用“操作、“觀察、“猜測、“分析的手段去感悟幾何圖形的性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何的方法。A.關(guān)于互為臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直這一結(jié)

9、論學(xué)生已經(jīng)知道，用折紙的背景將條件隱藏起來，從學(xué)生已有的生活經(jīng)歷、數(shù)學(xué)根底出發(fā)，重新設(shè)計(jì)“互為臨補(bǔ)角的角平分線互相垂直的教學(xué)過程。讓學(xué)生從研究折疊中的圖形性質(zhì)探究出結(jié)論并加以證明。此題折疊效果明顯，結(jié)論唯一，證明易操作。B.關(guān)于長方形沿對角線的折疊這個(gè)問題背景簡單，但隱含條件和結(jié)論異常豐富，是向?qū)W生發(fā)起挑戰(zhàn)的一題，大量的線，角關(guān)系。學(xué)生得到的三角形全等，線段相等等積法表達(dá)了學(xué)生的探究深度，可惜A,E兩點(diǎn)連線/對角線BD沒有給出。C.關(guān)于觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛

10、毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清。看得清才能說得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起

11、了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。三角形折疊一個(gè)銳角的問題是一個(gè)從特殊到一般的探究，結(jié)論可以統(tǒng)一起來2A=12只需規(guī)定1的

12、正負(fù)，可惜聯(lián)結(jié)A,A的方法沒有由學(xué)生給出來。 B,C兩個(gè)問題假如折疊的角度小于180會在立體幾何中有后續(xù)探究。 布魯納也指出：“我們教一門科目，并不是希望學(xué)生成為該科目的一個(gè)小型書庫，而是要他們參與獲得知識的過程。學(xué)習(xí)是一種過程，而不是結(jié)果?？梢姡寣W(xué)生在活動中“學(xué)會學(xué)習(xí)本身比“學(xué)會什么更重要。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼

13、兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強(qiáng)化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。2家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗讀兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼

14、兒的閱讀才能進(jìn)步很快。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思維，進(jìn)步數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的關(guān)系，但它們都有非常多的現(xiàn)實(shí)背景。該課例在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注了這個(gè)特點(diǎn)，力圖表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，并從中選取與學(xué)生生活世界親密相關(guān)的情境，使學(xué)生思維的抽象過程猶如“自然發(fā)生。數(shù)學(xué)的另一特點(diǎn)是嚴(yán)密性，表現(xiàn)為邏輯嚴(yán)格與計(jì)算準(zhǔn)確，這種嚴(yán)密過程正表達(dá)了人類認(rèn)識的逐漸深化。在課例中，我們也注意了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在“直觀幾何到“證明幾何的嚴(yán)謹(jǐn)化過程之中做一過渡，以此啟蒙證明與反駁的思維方式。同時(shí)，這反映了一個(gè)逐漸追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程。在課例設(shè)計(jì)的問題解決活動中，表達(dá)了一些數(shù)學(xué)思想方法：1考慮問題的逆反方向，2從一般問題的特例人手，尋找問題解決的思路；3把一個(gè)復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為解決過的根本問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想；4歸納與分類的思想把折紙中發(fā)現(xiàn)的諸多關(guān)系歸納出來，并進(jìn)展分類；5從變化中尋找不變性