計(jì)算教學(xué)中的創(chuàng)新思維培養(yǎng)之三

1、帶余除法整數(shù)a除以整數(shù)b，如果除盡，則余數(shù)為0,稱為整除。如果除不盡，余數(shù)不為0,就稱為帶余除法。帶余除法不僅是多位數(shù)除法的重要基礎(chǔ)，而且聯(lián)系著“周期性”等數(shù)學(xué)問題，甚至許多數(shù)論中的一些問題也與帶余除法有關(guān)。帶余除法的學(xué)習(xí)，深化了學(xué)生對(duì)除法意義的理解，極大地豐富了除法的應(yīng)用背景。學(xué)生在運(yùn)用帶余除法解決較復(fù)雜的問題當(dāng)中，判斷、分析和推理等諸多數(shù)學(xué)能力得到發(fā)展。一、帶余除法的意義理解與新課教學(xué)帶余除法早期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，來源于生活中對(duì)物體不能正好分成等組。如7個(gè)蘋果不能正好分給兩個(gè)小朋友，使每人一樣多。在學(xué)習(xí)帶余除法之前，這種經(jīng)驗(yàn)被用于學(xué)習(xí)平均分的概念。如讓學(xué)生通過具體的操作活動(dòng)，認(rèn)識(shí)平分一些物體，會(huì)

2、出現(xiàn)兩種情況，一是正好分成等組的幾份，二是按等組分成幾份之后還有剩余，這與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘加時(shí)，通過圈點(diǎn)子的活動(dòng)構(gòu)建乘加的算式，進(jìn)一步豐富帶余除法學(xué)習(xí)之前的經(jīng)驗(yàn)積累。帶余除法不論是算理，還是求商和書寫格式上都比表內(nèi)除法復(fù)雜。帶余除法教學(xué)的重點(diǎn)是意義理解，學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是求商，這些都聯(lián)系著“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律。教學(xué)時(shí)，要通過具體的操作活動(dòng)，讓學(xué)生理解帶余除法的意義，并通過不同層級(jí)的抽象，幫助學(xué)生建立“余數(shù)要比除數(shù)小”的觀念。新課教學(xué)可以分為兩個(gè)階段：第一階段，橫式計(jì)算，理解算式的意義。帶余除法的橫式包括被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)，與具體的操作活動(dòng)相聯(lián)系，每個(gè)數(shù)在操作活動(dòng)中都

3、有明確的意義。如被除數(shù)是物體的總數(shù)，除數(shù)是每份數(shù)，商是份數(shù)，余數(shù)是分了之后剩余的數(shù)量。讓學(xué)生通過具體的操作活動(dòng)，不僅可以理解算式表示的意義，認(rèn)識(shí)余數(shù)的真實(shí)存在，而且通過把操作活動(dòng)與算式聯(lián)系起來思考，增進(jìn)對(duì)帶余除法意義的理解。如，帶余除法的學(xué)習(xí)，是建立在理解除法意義的基礎(chǔ)上的。根據(jù)已有的知識(shí)基礎(chǔ)，上面的問題情境可以直譯成20÷6的算式，至于結(jié)果是多少，通過具體的操作活動(dòng)來解決。對(duì)余下2個(gè)球的討論包含兩個(gè)方面：一是它表示的意義是什么？二是如何在算式中表示出來？前者側(cè)重于這2個(gè)球能不能單獨(dú)裝一盒，后者側(cè)重于這個(gè)“2”在算式中是否可以不寫出來。需要強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)這些問題的討論并不是多余的，通過

4、對(duì)這些問題的討論，打破了學(xué)生原有的“認(rèn)知平衡”是建立“余數(shù)要比除數(shù)小”的觀念起點(diǎn)。 在構(gòu)建了帶余除法的算式之后，再回到具體的情境中，尋找算式的意義。也就說，操作活動(dòng)的情境在這里起到了雙重作用，一是引出帶余除法的算式，二是幫助理解算式的意義。不過，意義的理解需要通過不斷豐富的活動(dòng)逐步清晰和完善，如大家來圈點(diǎn)子，要求每份一樣多，通過圈點(diǎn)子活動(dòng)，構(gòu)建帶余除法算式。23和19都是素?cái)?shù)，不能寫成兩個(gè)因數(shù)相乘的積。因此，無論把幾個(gè)圈作一份，都會(huì)出現(xiàn)剩余。以23為例，每份數(shù)與余數(shù)如下表：每份數(shù)2345678910余 數(shù)123352753在各種圈法的比較中，獲得余數(shù)雖然變化無常，但都比除數(shù)小的感性認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步

5、，通過把乘加式改寫成帶余除式，加深對(duì)“余數(shù)必須小于除數(shù)”的理解。如這個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)的核心，是溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，在實(shí)物操作與算式表達(dá)之間建立對(duì)應(yīng)。具體地說，如果把圈點(diǎn)子、乘加算式、帶余除式看作三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，學(xué)生在這些頂點(diǎn)之間來回穿梭和轉(zhuǎn)譯的過程中，完成從實(shí)物操作到算式表示的水平數(shù)學(xué)化，從乘加到帶余除式的垂直數(shù)學(xué)化。脫離具體的問題情境，乘加式子中的加數(shù)與兩個(gè)乘數(shù)比較，有三種情況：一是加數(shù)分別小于兩個(gè)乘數(shù)，可以改寫成兩個(gè)帶余除式；二是加數(shù)小于其中一個(gè)乘數(shù)，只能改寫成一個(gè)帶余除式；三是加數(shù)分別大于兩個(gè)乘數(shù)，不能改寫成帶余除式。進(jìn)一步，可以通過改寫算式的活動(dòng)，把學(xué)生的思維再次聚焦于除數(shù)與余數(shù)的比較上。

6、如，你能把乘加式子改寫成帶余除法式子嗎？4×6+226 7×4+3315×3+419 3×4+517 根據(jù)上面的式子想像圈點(diǎn)子的圖，每個(gè)算式都有兩種圖的表示，如5×3+419，可以理解為每份5個(gè)，圈了3份還余4個(gè)，這種情況可以用帶余除法表示，但如果是每份3個(gè)，圈成5份還余4個(gè)，由于余下個(gè)數(shù)比每份個(gè)數(shù)還要多，還可以再分，這種情況就不能用帶余除法表示。從算式返回到實(shí)物，為算式尋找意義，獲得對(duì)余數(shù)要比除數(shù)小的理性理解。第二階段，豎式計(jì)算，掌握試商方法。計(jì)算除法的關(guān)鍵是試商。表內(nèi)除法的商可直接從九九表中找到口訣，而帶余除法求商時(shí)，不能直接從九九表中找到

7、，求商的過程比表內(nèi)除法復(fù)雜得多，試商時(shí)需要把除數(shù)與商相乘，再與被除數(shù)作比較，并思考余數(shù)與余數(shù)的大小關(guān)系?；氐綆в喑ǖ脑?，本質(zhì)上就是把物體平分，最多可以分成幾份，這個(gè)思考過程也可以用不等式表示，如4×39, 里最大能填幾？在實(shí)際的教學(xué)中，這樣的思考常常作為帶余除法試商的階梯。但是，應(yīng)當(dāng)注意這種訓(xùn)練只是試商中的技巧，或者說突破了試商中的關(guān)鍵思考，更為重要的是需要理解試商的意義究竟是什么。因此，回到具體情境中理解仍然是必要的。如39÷49（堆）3（個(gè)） 與橫式相比，豎式計(jì)算的過程中會(huì)產(chǎn)生“冗余的數(shù)”，如上式中的“36”。這個(gè)數(shù)在操作活動(dòng)中不象其它數(shù)那樣明確意義，一般留存在計(jì)算

8、的思考過程中。但事實(shí)上對(duì)它的理解仍然是重要的。在具體情境中，它是被用來分到每份中的總數(shù)，在試商過程中，它是乘法口訣的積。需要強(qiáng)調(diào)的是，無論是帶余除法的意義還是試商，教學(xué)都不能止于形式化的模仿，而應(yīng)當(dāng)深入到意義的理解。而意義的獲得，有賴于在操作活動(dòng)、橫式表示、豎式求商之間建立聯(lián)系與對(duì)應(yīng)。不僅如此，學(xué)生對(duì)于“余數(shù)必須比除數(shù)小”的理解也應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷從感性到理性的抽象過程。 二、帶余除法掌握水平的能力評(píng)定 如何評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)能力？如何結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)評(píng)價(jià)學(xué)生的能力發(fā)展水平？特別是如何把學(xué)生知識(shí)掌握與能力發(fā)展水平評(píng)價(jià)應(yīng)用于改進(jìn)教學(xué)？這些問題都是數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)需要認(rèn)真研究的問題。作為對(duì)這些問題的思考與實(shí)踐，201

9、0年1月，我們對(duì)使用浙教版數(shù)學(xué)的2409名學(xué)生進(jìn)行了“帶余除法”掌握水平的調(diào)查。調(diào)查分知識(shí)掌握程度檢測(cè)和數(shù)學(xué)能力水平檢測(cè)兩項(xiàng)，這里重點(diǎn)介紹能力測(cè)試與評(píng)價(jià)。 聯(lián)系不同的知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下測(cè)試題。1.下列各題中，被除數(shù)最大是幾？最小是幾？÷86 ÷97÷86 ÷97解答此題的能力核心是對(duì)“余數(shù)要比除數(shù)小”規(guī)律的靈活運(yùn)用。2.每組被除數(shù)相同，而且是兩位數(shù)。被除數(shù)和商分別填幾？÷32 ÷63÷52 ÷43每組題的兩個(gè)式子同余，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)是把兩個(gè)式子聯(lián)系起來考慮。3.在里填數(shù)。這是“商×除數(shù)+余數(shù)

10、被除數(shù)”關(guān)系以及估算等知識(shí)的綜合應(yīng)用。4.70以內(nèi)的數(shù)除以7,余數(shù)是5。你能寫出哪些數(shù)？解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是把題目轉(zhuǎn)譯成÷75,二是有序思考。5.一個(gè)兩位數(shù)除以8,商和余數(shù)相同，這樣的兩位數(shù)你能寫出哪一些？有什么特點(diǎn)？此題區(qū)別于上題主要的數(shù)學(xué)能力是對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括。6.求各圖形所表示的數(shù)（相同的圖形表示相同的數(shù)）。 26÷3 50÷2 34÷4 -2 解題的關(guān)鍵是思考數(shù)與數(shù)、式與式之間的聯(lián)系，這是數(shù)感的核心。7.一串圖形，按2個(gè)，3個(gè)，1個(gè)這樣排下去：第35個(gè)圖形是（ ），第50個(gè)圖形是（ ）。 這是比較常見的周期問題，解題的關(guān)鍵是確定一個(gè)周期。浙教

11、版數(shù)學(xué)把帶余除法安排在二年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)，共3課時(shí)，分別是橫式計(jì)算，練習(xí)，豎式計(jì)算。測(cè)試在學(xué)生學(xué)完帶余除法之后一周內(nèi)進(jìn)行。各題通過率和標(biāo)準(zhǔn)差如下表：題號(hào)1234567通過率（%）76.3574.8095.7289.8774.4789.7492.15標(biāo)準(zhǔn)差0.420.430.200.300.430.300.25 編制這組測(cè)試題圍繞的核心知識(shí)是帶余除法。解答上述各題需要的數(shù)學(xué)能力有別于一般的基礎(chǔ)訓(xùn)練，除了運(yùn)算求解之外，還有直覺猜想、歸納推理等多種數(shù)學(xué)能力。從解題的通過率來看，學(xué)生解答“帶余除法”的能力水平是比較高的，甚至超出了我們事先的預(yù)期。這對(duì)于我們的重要啟示是，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力發(fā)展?jié)摿κ呛艽蟮模P(guān)鍵在于結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，設(shè)計(jì)出