山東師大 數(shù)學分析試題

1、第八章 不定積分1 基本積分公式與換元積分法例1 求下列不定積分：（1）； （2）解（1）由于，因此得到 （2）解法一 由于，因此有解法二 利用換元積分法，令，則，于是有 說明 第（2）題解法二的優(yōu)點在于當被積函數(shù)這個二項式的指數(shù)較大時（如求），處理起來不會增加任何困難；但若仍用解法一去計算，那將是十分繁瑣的；更何況當不定積分變?yōu)椋琣為任意實數(shù)時，只能用解法二來計算。注意 第（2）題的兩種解法所得結(jié)果在形式上雖不相同，但它們之間至多相差一個常數(shù)，可被容納在積分常數(shù)C之內(nèi)。例2 用第一換元積分法求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4） 解 （1）（2） （3） （4） = （令） 注

2、由第（2）題看到，三角函數(shù)的積化和、差公式在不定積分計算中起著關鍵性的作用。例3 用第二換元積分法求下列不定積分：（1）； （2）；（3）解 （1）令設，于是 （2）解法一 令，于是 解法二 利用已知的不定積分借助第一換元積分法，可得 （3）由于，因此若令，則有于是說明 在使用第二換元積分公式時，為保證和的存在，要求，為此應指出t的合適范圍，這正如本例（1）與（2）的解法一中指出的例4 試用多種解法求不定積分解法一 令，于是因而 解法二 令，于是 因而 注 這里借助教材上冊第185頁上的例8，得到如上結(jié)果解法三 令，于是，因而 = 解法四 令，于是，因而 = 解法五 先把該不定積分變形為：然后

3、令，并由此解出， ， 因而 說明 本例使用了五種不同的換元法進行計算，其結(jié)果在形式上雖不相同，但均可相互轉(zhuǎn)化，選擇何種換元方法，應根據(jù)被積函數(shù)的特征，靈活應付。2分部積分法與有理函數(shù)的積分例1 求下列不定積分（降冪法）： （1）； （2）解 （1）令，于是，因而（2） 注 適合應用“降冪法”的不定積分有如下一些類型：，其中為某一n次多項式，對這些不定積分，只須令，（或），每用一次分部積分，便能使多項因子降冪一次；重復使用n次，可使多項式因子降冪成一常數(shù)，而剩下的是求（或）的不定積分。例2 求下列不定積分（升冪法）：（1）； （2）；（3）解（1）令，于是，因而 （2）令，于是，因而 （3） ,

4、而 ，從而求得注 適合應用“升冪法”的不定積分有如下一些類型：， （m為正整數(shù)）(及某些或).在使用分部積分法求上述各類不定積分時,只須令或,使用每用一次分部積分,多項式因子升冪一次,同時使或降冪,重復這個過程m次，最后化為求一多項式或一有理分式的不定積分。例3 求下列不定積分（循環(huán)法）：（1）； （2）；(3)解 （1）由前面問題2已知 ，并由此求得結(jié)果（2.6）,更一般地,按此法可得,(參見教材上冊第188頁例15)(2) ,于是得到 (3) ,同理得到 說明 若令,則,即化為題(2)的情形。注 適合應用“循環(huán)法”的不定積分有如下一些類型：， ，或某些類似于本例（2）、（3）那樣的不這積分

5、，這些不定積分經(jīng)若干次分部積分后，出現(xiàn)形如的“循環(huán)（或“重現(xiàn)”）形式，由此即可求得例4 求下列不定積分（遞推法）：（1）； （2），其中n,m為正整數(shù)，并分別用以計算 和 解 （1）用“降冪法”計算得 ，這就得到遞推公式：（初值：）利用此遞推公式，易得 （2）用“升冪法”計算得 ，則有遞推公式：（初值：）利用此遞推公式，易得 說明 在計算有理函數(shù)的不定積分時，有一個重要的遞推公式：（初值） （2.7）它也是通過分部積分而獲得的（見教材上冊第193頁）。例5 計算不定積分解 對被積函數(shù)R(x)作部分分式分解： ，使得 令x=-1：；令；項的系數(shù)：；令 ， 令（常數(shù)項）： 從而有 （2.8）易見;

6、 ;再應用遞推公式(2.7)，得 把這些結(jié)果代入（2.8）整理后得到 說明 （1）通過學習有理函數(shù)的不定積分計算法，知道任何有理函數(shù)都能求出它的原函數(shù)，只是當被積函數(shù)不太簡單時，計算過程較為繁瑣。（2）在懂得計算原理的基礎上，我們就能較容易地學會使用計算機數(shù)學軟件，這在今后工作中顯得更為重要，例如，在MATLAB指令窗內(nèi)鍵入。其中第一行指令是設定符號運算變量x；第二行指令是計算不定積分（int），在其后括號內(nèi)的是用x表示的被積函數(shù)表達式（這里就是例5中的不定積分），按下“Enter”鍵后，該軟件通過符號運算，一瞬間就會輸出答案：其中“l(fā)og”即為自然對數(shù)“l(fā)n”，“atan”即為反正切函數(shù)“a

7、rctan”，對照前面例5的最終答案，兩者完全相同。§3三角函數(shù)有理式與簡單無理式的積分例1 求下列三角函數(shù)有理式的不定積分（1）； （2）；（3）解 （1）由內(nèi)容提要3°末的分析，這里取變換較為方便，且有 （2）由內(nèi)容提要3°（3），應取則有 （令） （3）本題除一般解法（化為有理式的積分）外，還有一種較巧妙的解法，由于分母與分母的導數(shù)以及分子同為與的線性組合，因此設想：若能求得a、b，使得，則立即就可求得該不定積分，其實，把上式改寫為，立即知道可由方程組，解出，于是就可求得 說明 以上第（2）題還可通過三角函數(shù)變形得到更方便的解法： = (令) 例2 求下列不定積分：（1）；（2） 解 （1）將被積函數(shù)的分母有理化，使所求不定積分變?yōu)榉謩e求出： ； ； 從而求得 （2）把所求不定積分變形為令，解出， ， ，于是求得 例3 應用歐拉變換計算下列不定積分：（1）； （2） 解（1）由于無理根式中的二次三項式的系數(shù)，故可作歐拉變換 或 現(xiàn)取，兩邊平方后整理得 ， ， 于是有 （2）由于中的系數(shù)，且，因此可作歐拉變換 或 現(xiàn)取，兩邊平方后整理得， ，于是有 說明 （1）本例第（1）題如采用歐拉變換，則化為如下有理式的不定積分（2）如果把本例中的不定積分按教材第1