三角函數(shù)公式典型例題大全

1、高中三角函數(shù)公式大全以及典型例題2009年07月12日 星期日19:27三角函數(shù)公式兩角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan A + tan B1 - tanAtanBtan(A-B)=tanA - tanB1 + tanAtanBcot(A+B)=cotAcotB-1cotB + cotAcot(A-B)=cotAcotB +1cotB-cotA倍角公式tan2A =2(anA

2、l-tan3ASin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana - tan(3+a) tan(n7-a)半角公式sin(A_7)=2cos(A_7)=11 +cos 4V 2tan(A_7)=11-cos/V 1 + co。 cot(A2)=11 +cos 4 1 一 coJtan(A_7)=I - cos A血/sin A1 +cosa和差化積sina+sinb=2sina-b2cosa-brsina-sinb=2

3、cossina + ba-bcosa+cosb = 2coscosa-b2cosa-cosb = -2sina+bFsina-btana+tanb=sin(Q + b)cos £1 cos 6積化和差sinasinb =-2cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb =2cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb =I2sin(a+b)+sin(a-b) cosasinb =2sin(a+b)-sin(a-b)誘導公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin（2-a） = cosa cos（n2-a） = sinasin（囂2+a） = co

4、sa cos（n2+a） = -sinasin（兀-a） = sina cos（兀-a） = -cosasin（九 +a） = -sina cos（九 +a） = -cosatgA=tanA =sin。cosa萬能公式sina=2tan- 21 + （嗚）cosa=1 - （tan ）tana=其它公式a?sina+b?cosa=府x si n(a+c) 其中 tanc=b_aa?sin(a)-b?cos(a)=府至x cos(a -c) 其中 tan(c)=aI1+sin(a) =(sina2+cosa2)2 1-sin(a) = (sin(J2-cosa2)2其他非重點三角函數(shù)csc(a)

5、=疝0sec(a)=ICOSd公式一：設a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin (2k 九 + a ) = sin acos (2k 九 + a ) = cos atan (2kjt+a) = tan acot (2kjt + a) = cot a公式二：設a為任意角，冗+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關系:sin (九 + a ) = -sin a cos (九 + a ) = -cos atan (九 + a ) = tan a cot (九 + a ) = cot a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關系：sin ( - a ) = -sin acos (-

6、a ) = cos atan ( - a ) = -tan acot (- a ) = -cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到 冗-a與a的三角函數(shù)值之間的關系:sin （兀-a ） = sin a cos （九-a=-cos atan （九-a ） = -tan a cot （兀-a ） = -cot a公式五：利用公式-和公式三可以得到2九-a與a的三角函數(shù)值之間的關系:sin （ 2 冗-a ） = -sin acos （2 冗-a ） = cos atan （2 冗-a ） = -tan acot （2 冗-a ） = -cot a公式六：霏2± a及3kT±

7、; a與a的三角函數(shù)值之間的關系：sin （K2+ a ） = cos a cos （712+ a ） = -sin a tan （n2+ a ） = -cot a cot （K2+ a ） = -tan asin （- a) = COS a COS (2- a) = sin a tan (n1- a) = COt a COt (R2-a ) = tan asin (3k2+ a ) = -COS a COS (3耗+ a ) = sin a tan (3石T+ a ) = -COt aCOt (3石T+ a ) = -tan a sin (3耗T- a ) = -COS a COS (3V2

8、- a ) = -Sin atan (3石- a ) = COt a COt (- a) = tan a(以上k C Z)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角正切定理：(a+b)/(a-b)=Tan(a+b)/2/Tan(a-b)/2三角函數(shù)積化和差和差化積公式記不住就自己推，用兩角和差的正余弦：3.三角形中的一些結(jié)論：(不要求記憶)(1)tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(

9、C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2) - sin(B/2) - sin(C/2)+1sin2A+sin2B+sin2c=4sinA sinB - sinC(5)cos2A+cos2B+cos2c=-4cosAcosBcosC-1已知 sin a =m sin( a+20), |m|<1, 求證 tan( a+B )=(1+m)/(1-m)tan 0解:sin a =m sin( a +2 0 )sin(a+ B - 0 )=msin(a+ B + B )sin(a+ B )cos 0 -cos(a+ 0 )sin 0 =msin(a+ 0 )cos 0 +mco

10、s(a+B )sin 0sin(a+ B )cos 0 (1-m)=cos(a+ 0 )sin 0 (m+1)tan( a + 0 )=(1+m)/(1-m)tan 0三角函數(shù)典型例題的內(nèi)角的對邊分別為A, B, Ca, b, ca-2hsinA(i)求B 的大?。?n)求cosJfsinC的取值范圍.【解析】：(I)由a=2hsxA,根據(jù)正弦定理得sin=2sinfisinJ,所以. Ism/# = -2由MiC為銳角三角形得/=-6(n)cos A + sin C - cos A + sin n-A I 6f %、=cos 4 +sin + A(6 J=cos A + - cos / +

11、-sin A22瓜一1=v 3 sm A + 3/ .2 .在wc中，角A. B. C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcos C(I)求角B的大??；20070316(H)設一_m 二(疝24)制二(4& J)(k >1),且Tm n 的最大值是5,求k的值.【解析】：(I) : (2a -c)cosB=bcosC,(2sinA -sinC)cosB=sinBcos C .即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C). A+B+C= , . 2sinAcosB=sin A.< 0<A<tt , 二 sinA w

12、0.cosB=2v0<B<7t , ；B=(II) 一 sa»=4ksinA+cos2A.=-2sin2A+4ksinA+1,A (0,In3)設 sinA=t,則 t C阿則m n=-2t2+4kt+1=-2(t- k)2+1+2k2,t 阿. k>1, . .t=1 時，m n取最大值.依題意得,-2+4k+1=5,；k=3 .在MBC中，角AM所對的邊分別為公兒c,.4+B . C 忘sin+ sin 一二 4222I .試判斷ABC的形狀；II .若4ARC的周長為16,求面積的最大值.【解析】：I. jt-c . c c . c n . ,c 過 sin

13、+ sin -= cos+ Sin 一= 42 sm(一 + 一22222 4C 兄需EJrtxr狂，一+一二一即c二一2 4 22II.,當且僅當時取等號,所以此三角形為直角三角形.16 士。+ b +J +b， 24ab + yj2ab,Q吐 64(2-吩此時面積的最大值為32 6-4J2AM中,a、b、c分別是角A. B. C的對邊,C=2A,3 cosA = -4求cos C? cos 5的值；(2)若i*? 了BABC = 2【解析】:,求邊AC的長？19 IcosC = co$2j4 = 2cos I = 2 x1 =-168由 cosC = g，得 $inC = -油 cosW

14、= w* 得疝 < =彳:“ cos H = -dos(j4 +1?) = sin >1 sin C - cos 4 ecisC =(2)- 2727BA'BC =，, accosB-一二 de = 2422a心 c rj 3- = 1 ,C =2*c = 2qconR 二一口sin A sin C2由解得a=4,c=6.b2 =。'+c' l2wcosB = 16 + 36-48* = 25 16/.ft = 5,即AC邊的長為5.5 .已知在wc中，A>B，且tan 4與tanB是方程d-51+6=0的兩個根.(I)求tan(4 + 8)的值；(H

15、)若 AB=5,求BC的長.【解析】：（I ）由所給條件，方程八5工+6=0的兩根tan4二3,拼口8二21-2x3tan(力 + 2?) =tan + tanB1tan/tan 3（n）v由（I）知,CT8(H4+8)tanC =* 忸n(4+8) = l為三角形的內(nèi)角C.廠及sinC =2tan/二 3A為三角形的內(nèi)角由正弦定理得：sinJ="L J1OAB _ BCsinC sin 453BC = j x=- = 35y!2回6 .在AM中，已知內(nèi)角A. B. C所對的邊分別為a、b、c,向量成二(2蛇口&一石),n = cos2/?,2cos-l，且mHn(I)求銳角

16、B的大??；(II)如果b-1,求WC的面積為NC 的最大值？【解析】：(1)mHn2sinB(2cos2B2-1)=-小cos2B2sinBcosB=-小cos2B tan2B=-的v0<2B<7t , ；2B=3,:銳角B=由 tan2B=-小B=或5k7當B= 時，已知b=2,由余弦定理,得：4=a2+c2-ac> 2ac-ac=ac（當且僅當a=c=2時等號成立）.ABC的面積 SJAABC=12acsinB=近4ac<.ABC的面積最大值為當B=5j7時，已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ ac>2ac+ ac=(2+ ）ac（當且僅當 a=c=時等號成立）.ac<4(2-.ABC的面積 SJAABC= acsinB= ac0 2 -.ABC的面積最大值為2-MBC中，角A. B. C所對的