2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題(解答題)：數(shù)列綜合題(30題)

1、2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題(解答題)：數(shù)列綜合題 、* 一一 一 一 一 . . . . *.1. (2017?河西區(qū)二模)已知數(shù)列4的前n項和為& ,且& n(n 1)(n N ).(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)若數(shù)列bn滿足：an by絲 4，求數(shù)列bn的通項公式；3 1313131(出)令a abn(n N*),求數(shù)列en的前n項和Tn .422. (2016?天津一模)數(shù)列a。滿足 A 2, an 1 % 6% 6(n N )(I )設(shè)Cn lOg5(an 3),求證Cn是等比數(shù)列；(n)求數(shù)列an的通項公式；(出)設(shè)bn,數(shù)列bn的前n項和為Tn ,求證： ,Tn-.an

2、6 an 6an1643. (2015?淮安校級四模)已知數(shù)列 4的奇數(shù)項是首項為 1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列an前n項和為Sn,且滿足S52a4a, %a3a4.(1)求數(shù)列an的通項公式；若am am 1 am 2,求正整數(shù)m的值；(3)是否存在正整數(shù) m，使得-S旦恰好為數(shù)列an中的一項？若存在，求出所有滿足條 S2m1件的m值，若不存在，說明理由.14. (2016?遼寧校級模擬)已知數(shù)列a的前n項和為Sn ,且滿足白一，2an 2&10(n 2).(1)判斷是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論;(2)求 & 和 an；求證：屋S22Si 15. (2016?南京三模)已

3、知數(shù)列an, bn滿足bn an1 % ,其中n 1,2,3,(I)若a1 1 , bn n ,求數(shù)列an的通項公式;(n)若 bn ibn 1 bn(n2)，且 b 1 , b2 2.(i )記en a6n i(n 1),求證：數(shù)列.為等差數(shù)列；(ii)若數(shù)列史中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.求a1應(yīng)滿足的條件.n6. (2015?湖北二模)數(shù)列 an中，a 1 , & 2 ,數(shù)列bn滿足 bn ani ( 1)nan ,n N .(I)若數(shù)列an是等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前100項和&00 ；(n)若數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式.7. (2015?高郵市校級

4、模擬)已知數(shù)列 an的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列an前n項和為& ,且滿足S3 a4, a3 a5 2 a4(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列a。前2k項和S2k ;(3)在數(shù)列an中，是否存在連續(xù)的三項am , am 1 , am 2,按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由.8. (2016?豐臺區(qū)一模)已知數(shù)列，是無窮數(shù)列，a1 a , a2 b(a , b是正整數(shù))，亙(1), an 1 an 1an 1an 1 anq(，1)an an 1(I)若 a1 2 , a2 1 ,寫出 a4, a5 的值；(

5、n)已知數(shù)列an中a 1(k N),求證：數(shù)列an中有無窮項為1;(出)已知數(shù)列4中任何一項都不等于1,記bnmaxa2n1 ,a?n( n1,2,3,;maxm , n為m , n較大者).求證：數(shù)列bn是單調(diào)遞減數(shù)列.9. (2014?東城區(qū)二模)設(shè) a是一個自然數(shù)，f (a)是a的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列 一 ，一一， 、， -.*an： a1 是自然數(shù)，an f(an1)(n N , n2).(I )求 f (99) , f(2014);(n)若 ai 100,求證：ai a2 ；(出)求證：存在 m N ,使得am 100 .10. ( 2017?啟東市校級模擬)已知數(shù)列an滿足a

6、1a2an 2(1 2|nncos |)an |sin |,第7頁(共77頁)(1)求 a2k 1(k(2)數(shù)列ynbn滿足 yna2n 1b12 1Vi ,且當(dāng)n2時bnyn(y1明當(dāng)n2時,bn 1bn (n 1)2 n(3)在(2)的條件下，試比較(11141 一)與4的大小關(guān)系.bn11. (2014?南充模擬)對于函數(shù)f (x),若存在X0R,使f(X) X0成立，則稱X0 為 f (x)的不動點.如果函數(shù) f(x)22.-a有且僅有兩個不動點0和bx c(1)試求b、c滿足的關(guān)系式.2時，各項不為零的數(shù)列an滿足_ . 14&gf( 一) 1anan(3)設(shè) bn1anTn為數(shù)列b

7、n的前n項和，求證：T20091ln2009 T2008 .12. (2019?上海)數(shù)列an(n N*)有100項，a1 a,對任意n 2,100存在anaid , i 1n 1,若ak與前n項中某一項相等，則稱 ak具有性質(zhì)P .(1)若 a1 12 ,求a4所有可能的值;(2)若，不為等差數(shù)列，求證：數(shù)列an中存在某些項具有性質(zhì)P;(3)若 an中恰有三項具有性質(zhì)P ,這三項和為c ,使用a, dc表示aal00 13. (2019?天津)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列.已知 a1b2b3 2a3 4 .(I)求an和bn的通項公式;(n)設(shè)數(shù)列Cn滿足c 1,k1,2bk，n2k,其

8、中k(i)求數(shù)列a2n(C2n1)的通項公式;2n*.(ii)求 ac (n N ).i 1S3.數(shù)列bn滿足:對14. (2019?浙江)設(shè)等差數(shù)列，的前n項和為& , a3 4 , a一人*每個n N , Sn bn , Sn 1 bn , & 2 bn成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an, bn的通項公式；(口)記 cn |, n N ,證明：G C2Cn 2jn,n N .1.2bn15. (2019?江蘇)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M 數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列aj(nN )滿足：a2a4a5,a34a24a10,求證：數(shù)列an為“ M數(shù)列”；122 (2)已知數(shù)列bn(n N)

9、滿足：b 1, 一 一，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和. Sn bn bn 1求數(shù)列bn的通項公式；設(shè)m為正整數(shù)，右存在 M 數(shù)列cn(n N ),對任意正整數(shù) k,當(dāng)k, m時，都有ck制bk ck 1成立，求 m的最大值.16. (2019?北京)已知數(shù)列 ,從中選取第i1項、第i2項、第im項& i?im),若電ai2aim ,則稱新數(shù)列a-% ,為為an的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列.(I)寫出數(shù)列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一個長度為4的遞增子列；(n)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am。，長度為q的遞增子列的末

10、項的最小值為a% .若p q ,求證：am0 an0 ；(出)設(shè)無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s 1,且長度為s末項為2s 1的遞增子列恰有 2s1個(s 1, 2,),求數(shù)列an的通項公式.17. (2019?新課標I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為

11、了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得 1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得 1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和 ，一輪試驗中甲藥的得分記為X .(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p(i 0, 1, 8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0 0 , p8 1 ,Pi aPi 1 bPi cp(i 1 , 2, 7),其中 a P(X 1) , b P(X 0),c P(X 1).假設(shè) 0.5,0.8 .(i

12、)證明：p R(i 0, 1, 2, 7)為等比數(shù)列；(ii)求p4 ,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.18. (2018?江蘇)設(shè)a。是首項為a ,公差為d的等差數(shù)列，bn是首項為b,公比為q 的等比數(shù)列.(1)設(shè)& 0, b, 1, q 2,若|an bn |, b,對n 1 , 2, 3, 4均成立，求d的取值范圍；若 & b 0, m N*, q (1, m/5,證明：存在 d R ,使得 |an bn|,b 對 n 2,3, , m 1均成立，并求d的取值范圍(用b , m , q表示).19. (2018?浙江)已知等比數(shù)列 an的公比q 1 ,且a3 a4 a5 28,

13、a4 2是a3 , a5的等差中項.數(shù)列bn滿足h 1 ,數(shù)列(bn 1 bn)an的前n項和為2n2 n .(I)求q的值;(n)求數(shù)列bn的通項公式., 一 * 、 _. 、 一 . . . . . . .一 * . .20. (2018?上海)給定無窮數(shù)列，,若無窮數(shù)列。滿足：對任意n N ,都有|bn an |, 1,則稱bn與斗 “接近”.1(1)設(shè)an是首項為1,公比為1的等比數(shù)列，bn an 1 1, n N ,判斷數(shù)列bn是否 2與an接近，并說明理由；(2)設(shè)數(shù)列an的前四項為：a11,a22 ,a34 ,a48 ,bn是一個與%接近的數(shù)列，記集合M x|x b , i 1,

14、2,3, 4,求M中元素的個數(shù)m；(3)已知an是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列bn滿足：bn與an接近，且在b2 b, b3 b2, b201 b200中至少有100個為正數(shù)，求d的取值范圍.21. (2017?北京)設(shè)an和bn是兩個等差數(shù)列，記Cn maXb an, b2 a2n ,bn ann( n 1,2,3,)，其中 maxx1 , ”, x$表示 x1 , ”, x$這 s個數(shù)中最大的數(shù).(1)若an n, bn 2n 1,求c1, C2, q的值，并證明g是等差數(shù)列；(2)證明：或者對任意正數(shù)M ,存在正整數(shù) m ,當(dāng)nm時，生 M ；或者存在正整數(shù)nm,使得Cm, Cm 1

15、, Cm2,是等差數(shù)列.22. (2017?江蘇)對于給定的正整數(shù)k , 若數(shù)列an滿足：an kan k 1an1an 1ank 1 an k2kan對任意正整數(shù)n(n k)總成立，則稱數(shù)列a。是“ P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列，是“ P (3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“ P (2)數(shù)列”，又是“ P (3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列.一 一、 . _ 一 一一 一 一一 一_ _ * . 23. (2017?浙江)已知數(shù)列4滿足：x11 ,xnxn1 ln(1xn 1)(nN ),證明：當(dāng)n N時，XnXn 1(n )22 1Xn,；24. （2016?浙江）設(shè)數(shù)列滿足| a

16、nan 1(I )求證：|a2n 1(|& |2)(n2 若1a. n N*，證明：|an |, 2 ,第9頁（共77頁）25. （2016?上海）若無窮數(shù)列an滿足:只要*ap aq(p,q N ),必有 ap 1 aq 1 ,則稱an具有性質(zhì)P .(1)若an具有f質(zhì) P ,且 a 1 , a22 , a43 ,%2 , a6a7 a8（2）若無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列 Cn是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b581, an bn Cn ,判斷an是否具有性質(zhì)P,并說明理由;an都具有性（3）設(shè)bn是無窮數(shù)列，已知 an 1 bn sinan（n N ）,求證：“對任意a質(zhì)P ”的充要條件為“

17、bn是常數(shù)列”.26. (2016?天津)已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d ,對任意的n N , bn是an和an 1的等比中項.(1 )設(shè) Cnb21b2 ,求證：數(shù)列Cn是等差數(shù)列;2n(2)設(shè) & d , Tn( 1)kbk2k 1 n 11求證： 一一2i 1 T 2d27. （2016?四川）已知數(shù)列，的首項為1, Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn1 q& 1,其中 q 0, na3 ，a22成等差數(shù)列，求an的通項公式;（n）設(shè)雙曲線23 1的離心率為， ann n543且 e2 一,證明：e1 e2 ggg e.13328. (2016?北京)設(shè)數(shù)列 A：a, a2, a

18、N (N2).如果對小于 n(2頸Jn N)的每個正整數(shù)k都有ak an ,則稱n是數(shù)列A的一個“ G時刻”，記G (A)是數(shù)列A的所有“ G 時刻”組成的集合.(I )對數(shù)列 A: 2, 2,1 , 1, 3,寫出G (A)的所有元素；(n)證明：若數(shù)列 A中存在an使得an a1,則g (A);(出)證明：若數(shù)列 A滿足an an i, 1(n 2,3, N),則G (A)的元素個數(shù)不小于aN a1 .29. (2016?江蘇)記 U 1 , 2, 100,對數(shù)列an(n N DU 的子集 T ,若 T定義 & 0;若 T tt2, tj ,定義 & at1 at24 .例如：T 1,3,

19、 66時，St a1 a3 a66 .現(xiàn)設(shè)%(n N )是公比為 3的等比數(shù)列，且當(dāng) T 2 , 4時，Sr 30 .(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)對任意正整數(shù) k(像k 100)，若T 1,2, k,求證：Sr ak 1 ;(3)設(shè) C U, D U , Sc Sd ,求證：Sc SC D 2Sd . C D30. (2018?天津)設(shè)函數(shù) f(x) (xt)(xt2)(xt3),其中t1,t2, t3 R,且匕，t2,t3是公差為d的等差數(shù)列.(I)若t2 0, d 1,求曲線y f (x)在點(0 , f(0)處的切線方程；(n)若d 3,求f (x)的極值；(出)若曲線y f(x)

20、與直線y (x t2) 6萬有三個互異的公共點，求d的取值范圍.第#頁(共77頁)2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：數(shù)列綜合題(30 題)參考答案與試題解析、解答題（共30小題）1. （2017?河西區(qū)二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且 Snn(n 1)(n N ).（I ）求數(shù)列an的通項公式;（n）若數(shù)列bbn滿足：an 3 3 1 3b2;2 1b333 1bnI-，求數(shù)列bn的通項公式;1（出）令abn（n N*）,求數(shù)列Q的前n項和 482:數(shù)列的函數(shù)特性；84:等差數(shù)列的通項公式;8E :數(shù)列的求和15:綜合題(I)當(dāng)n 1時,a1S1n- 2 時,anSnSn 1

21、n(n 1)(n 1)n 2n ,由此能求出數(shù)列an的通項公式.an 1TnHnanb13 1b2鼠b3 a3b13bnb33c1c2c32 32 3 33能求出數(shù)列cn(1en的前n項和.【解答】解：（I）當(dāng)n1時,a1當(dāng)n2時，an S S1n(n1)知a12滿足該式,數(shù)列，的通項公式為an 2n .anbn42 32b23 1bn1-,所以13n 1n(3n3 331)ng3n1bn 1廠n 3n)3n,由錯位相減法能求出(n 1)n 2n ,(2分)(1bn ,、(n-1)31an 1an2 ,由此能求出n)Hnn 1(2n 1) 3第15頁（共77頁）(n) Q anan 1bi3b

22、ib2-23 13 1b2b3得:1 : bn 廠an 1bn 12(3n 1 1),b3-331bn-n31an 2故bn2(3n1)(n(6分)(m)cnanbn4n(3n 1) ng3Tnc1c2c322 32令Hn3 2 32 3 33則 3Hn 1232 23334得:2Hn3233bn-n31bnn 13(n-1)3 33n 3n 1 3nn 3n 1(4分)n 3n) (1 2n) (8 分)3(1 3n)1 3Hnn 1(2n 1) 3(10 分)數(shù)列en的前n項和Tn_n 1(2n 1) 33 n(n-(12 分)【點評】 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含

23、兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性.綜合性強，難度大，易出錯.解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用.22. (2016?天津一模)數(shù)列a。滿足 A 2, an 1 為 6% 6(n N )(I )設(shè)Cn log5(an 3),求證Cn是等比數(shù)列;（n）求數(shù)列an的通項公式；、一 1151（出）設(shè)bn ,數(shù)列bn的前n項和為Tn ,求證：,Tn一 .an 6 an 6an164【考點】8E:數(shù)列的求和；8H :數(shù)列遞推式；87:等比數(shù)列的性質(zhì)【專題】15:綜合題；16:壓軸題；35:轉(zhuǎn)化思

24、想【分析】（I）由已知可得,SU 2,從而可證數(shù)列cn為等比數(shù)列cn（II ）由（I ）可先求數(shù)列g(shù) ,代入cn10g5（an3）可求An（III ）把（II ）中的結(jié)果代入整理可得,可證11bn ，則代入 Tnblb2an6an i 6bn相消【解答】解：（I）由ani a2 6an6 得 an 1 3 (an 3)2 ,2an 13 （an 3），利用構(gòu)造法令Cn10g5俎 3）,則可得log5an1 3)210g 5an 3),即 cn 12cncn是以2為公比的等比數(shù)列.(n)又 G 1og5 51,an故an（出）2n 1,即 1og5an3)2n 1乙 ,3 52n52n1Qbn,

25、1-2n59,Tn161an 6152941an 6an1161 an_16 an 1 6Tn11a16an 1 652n【點評】本題考查了利用定義證明等比數(shù)列：數(shù)列an為等比數(shù)列-aL q 0;利用構(gòu)an 1造法求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和公式，屬于對基本知識的綜合考查.3. （2015?淮安校級四模）已知數(shù)列 an的奇數(shù)項是首項為 1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列an前n項和為Sn ,且滿足S52a4a, %a3a4.（1）求數(shù)列an的通項公式；若am am 1 am 2,求正整數(shù)m的值；（3）是否存在正整數(shù) m，使得-S與恰好為數(shù)列an中的一項？若存在，求出所有滿足條&m

26、1件的m值，若不存在，說明理由.【考點】87:等比數(shù)列的性質(zhì)；83:等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】16:壓軸題；54:等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d ,等比數(shù)列的公比為q由題意列式求出公差和公比，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出；(2)分m 2k和m 2k 1 ,利用amam 1&2即可求出滿足該等式的正整數(shù)m的值；(3* (1 2k 1)k 2(1 3k) J,k(3)人丁 k N 句 s2k k 1 3 21 3&k 1&ka2k k2 13k2g3k1k213kl.假設(shè)存在正整數(shù)m，使得-Sm恰好為數(shù)S2m1S2 1 3m列an中的一項，設(shè)* L(L N ),則EL

27、,變形得到 S2m 1m 1 3(3 L)3m1 (L 1)(m2 1),由此式得到L的可能取值，然后依次分類討論求解.【解答】 解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ,等比數(shù)列的公比為 q ,則 a11, a22, a31d , a4 2q , a9 1 4d .Q S 2a4 a5,a1 a2& ,即 4 d 2q ,又 a9 as a4 .1 4d 1 d 2q .解得：d 2, q 3.對于 k N ,有生 1 (k 1)g2 2k 1,a2k 2g3k 1 .n,n 2k 1故 an n 1kN*；2g32 ,n 2k若m 2k,則由amam1 am 2,得k 1k . 一.一2g3 (

28、2k 1) 2g3 ,解得：k 1 ,則 m 2 ;若 m 2k 1,則由(2k 1)g2g3k 1 2k 1,此時左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立.故滿足條件的正數(shù)為 2;(3)對于k N ,有(1 2k 1)k 2(1 3k).2 kS2 k k 1 3 2kk 12k 1S2k 1S2ka2k k 1 m2g3k 1 3假設(shè)存在正整數(shù) m ,使得-S2上恰好為數(shù)列an中的一項，S2m1又由(1)知，數(shù)列中的每一項都為正數(shù)，故可設(shè)-S2m L(L N*),S2m 12m則m 1 3 l ,變形得到m 1 3(3 L)3m 1 (L 1)(m2 1).L, 3._ 又L N ,故L可能取1,

29、2, 3.m 1 , L 3 a3 .第17頁(共77頁)當(dāng) L 1 時，(3 L)3m 120, (L 1)(m1) 0,不成立;當(dāng) L 2 時，(3 2)3m12m 12(2 1)(m1),即 3 m 1 .若 m 1, 3m 1m21,令Tm則Tm1m2 13m 1(m N , mi- - 2),22(m 1) 1 m 13m3m 122m 2m 33m1、272(m );2222m2 2 2 332因此，1T2T3故只有七1 ,此時m 2 , L 2 a2.當(dāng) L 3時，(3 3)3m 1 (3 1)(m2 1).綜上，存在正整數(shù) m 1,使得S2恰好為數(shù)列an中的第三項，存在正整數(shù)m

30、 2 ,使得S4恰好為數(shù)列an中的第二項. S3【點評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是壓軸題.14. （2016?遼寧校級模擬）已知數(shù)列an的前n項和為Sn ,且滿足ai -,2an 2ssi 10(n 2).(1)判斷Sn是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論;第23頁(共77頁)求&和an；（3）求證：S,2 S22Sn2, 1.2 4n【考點】83:等差數(shù)列的性質(zhì)；8E :數(shù)列的求和；8H :數(shù)列遞推式；8K :數(shù)列與不等式的綜合【專題】11:計算題；16:壓軸題【分析】（1）當(dāng)n2時，an

31、Sn Sn 1 一，r1201,兩邊同除以&1,可得2,從而可得!_為等差數(shù)列；(2)由（1）知是以首項為2公差為2的等差數(shù)列，從而可得Sn ,an 2SS10(n2),可求 為；1(3) 利用 S 丁， 表示 S12 S2Sn , 利用放縮法變?yōu)镺2O2 1/1 1_SS4(12 22求和，即可證得.1【解答】解：(1) S, a1 -21112)， n1 4(1(n 1) n）,從而利用裂項法當(dāng) n2 時，a”&12&1, 2Sn & 1為等差數(shù)列，首項為 2,公差為2（4分）11（2）由（1）知一 2 （n 1） 2 2n ,Sn 一S2n(6分)當(dāng)4-2時，an 2&12喘宗片12n(

32、n 1)(3)S2-,n 121c,n ，22n(n 1)(9分)S21(11“五22111丁)(1 n2 1 41 212n111)-(11-(n1)n42111111 _)(2)n 1 n4n2 4n(13 分)【點評】 本題的考點是數(shù)列與不等式的綜合，主要考查數(shù)列的通項的求解，關(guān)鍵是利用當(dāng)n-2時，an Sn Sn 1,巧妙構(gòu)建新數(shù)列，同時考查放縮法，考查裂項法求和，有一定的綜合性.5. (2016?南京三模)已知數(shù)列an, 6滿足 an 1 an ,其中n 1 , 2, 3,.(I )若a1 1 , bn n ,求數(shù)列an的通項公式；(口)若 bn1bn 1 bn(n2)，且 b 1,

33、 b2 2.(i )記e, a6n 1(n-1),求證：數(shù)列en為等差數(shù)列；(ii)若數(shù)列包中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.求為應(yīng)滿足的條件.n【考點】83:等差數(shù)列的性質(zhì)；8H :數(shù)列遞推式【專題】11:計算題；16:壓軸題；32:分類討論【分析】(I)根據(jù)數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出數(shù)列an的通項公式；(n) ( i )先根據(jù)題中已知條件推導(dǎo)出bn 6 bn ,然后求出G 1舁為定值，便可證明數(shù)列en為等差數(shù)列；(ii)數(shù)列a6ni均為以7為公差的等差數(shù)列，然后分別討論當(dāng)ai 7i時和當(dāng)ai 7i時,66數(shù)列曳是否滿足題中條彳%便可求出口應(yīng)滿足的條件.n【解答】解：(

34、I)當(dāng)n2時，有 an a (a2 a1) (a3 a2)(an an 1)a1b1b2bn 1 ( 2 分)(n 1) nn2n1 . (3 分)又因為a 1也滿足上式,所以數(shù)列an的通項為an1 . (4分)（H）由題設(shè)知:bn0,對任意的*n N 有 bn 2bnbn 1bn 3 bn2得 bn 3bn于是又bn 3bn 6bn 6(5分)b6nb2b3b4bsn 1ha6n 1b6n 1b6nb6n 1b6n 2b6nb6n7(n 1),所以數(shù)列en為等差數(shù)列.(7分)(ii)設(shè)dna6n i(n -0),（其中i為常數(shù)且14,5, 6),所以dn1dna6n 6 ia6ib6n ib

35、6n i 1b6b6n i 3b6n i 4b6n i7(n-0)所以數(shù)列a6ni均為以7為公差的等差數(shù)列.(9分)設(shè)fka6k i6k iai 7ki 6k77.一(i6 k)ai一666k7i7 ai 76 i 6k(其中n 6ki(k 0)i為12, 3,4,5, 6中的一個常數(shù)） ai時，對任意的66k;(10 分)4, 56知 a17 4 111 1一，一，一，一，一，一；6 3 236 2此時7重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.6ai7i6fk 17iai-66(k 1) i7i ai66k(d7i)(6 6(k 1) i6k i,7i_(ai )(6 6( k 1) i(6k i)若a,則對任意的

36、 6fk 1fk,所以數(shù)列_ak，為單調(diào)減數(shù)列; 6k i右ai乃，則對任意的 6fk,所以數(shù)列2k，為單調(diào)增數(shù)列; 6k i(12分) a6k i (i 1,2, 3, 4, 5, 6)均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多6k i各出現(xiàn)一次，即數(shù)列包中任意一項的值最多出現(xiàn)六次.n綜上所述：當(dāng)ai 7,4,1, 1, 1 B時，數(shù)列%中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.6 3 236n當(dāng)a1 B時，數(shù)列%中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.(14分)n【點評】本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題

37、.6. (2015?湖北二模)數(shù)列 an中，a 1 , & 2 ,數(shù)列bn滿足 bn an 1 ( 1)nan ,n N .(I )若數(shù)列an是等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前100項和00 ；(II)若數(shù)列bj是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列 信n的通項公式.【考點】85:等差數(shù)列的前n項和；8H :數(shù)列遞推式【專題】32:分類討論；54:等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(I)先求出等差數(shù)列an的通項公式an,再求出bn的通項公式，計算bn的前100項和；(n)先求出等差數(shù)列bn的通項公式，再根據(jù) bn41 ( 1)nan,討論n為奇數(shù)或偶數(shù)時,求出an.【解答】解：(I)等差數(shù)列an中，a1 1, a2 2

38、,4 n ;當(dāng) n 為奇數(shù)時，bnan1an1 ,即b1b3b5b2n 11 ;當(dāng) n 為偶數(shù)時，bnan1an2n 1,則b25,b49,b613,bn的前100項和為S100 b1 b2b100(b b3b99) (b2 b4b。)50 49 4、1 50 （50 5 ）25200;（6 分）(n) Qbn是公差為2的等差數(shù)列，且Da2a11 ,第35頁(共77頁)bn 2n 1 ;當(dāng)n為奇數(shù)時,bn當(dāng)n為偶數(shù)時,bn即b2n b2na2na2n 1a2 na2n4n4na2n 1a2n 1a2n 1&a31,a2n 11an1, 2nn為奇數(shù)2, n為偶數(shù)（12 分）n項和的計算問題,【

39、點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列前考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目.7. (2015?高郵市校級模擬)已知數(shù)列 ，的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.數(shù)列%前n項和為& ,且滿足S3(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列an前2k項和S2k ;(3)在數(shù)列an中，是否存在連續(xù)的三項am , am1 , am 2,按原來的順序成等差數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由.【考點】83:等差數(shù)列的性質(zhì)；85:等差數(shù)列的前n項和；89:等比數(shù)列的前n項和【專題】54:等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(1)等差數(shù)列和等比數(shù)

40、列的通項公式即可得出；(2)利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；(3)在數(shù)列a。中，僅存在連續(xù)的三項a2,為，按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1.分類討論am a2k, am a?k 1 ,證明不成立即可.【解答】 解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ,等比數(shù)列的公比為 q,則 a11,a22,a31d , a42q, a5 12d.QS3a4,1 2(1d) 2q ,即4d 2q ,又 a3%2a4，1 d 1 2d22q ,即 3d2q ,解得 d 2 , q 3 .*,對于 k N ,有 a 1 1 (k 1)g2 2k 1 ,n,n 2k 1故 an n 1, k N .2g32

41、,n 2k(2)2 k1 (1 2k 1)k 2(1 3k)2 k82k a2k1)8a2k)1 3(2k 1) 2(1 3323k 1)2LJ1k2 13k21 3(3)在數(shù)列an中，僅存在連續(xù)的三項a, a2, & ,按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1,下面說明理由若 am a2k,則由 am am 2 2am 1,得 2 3k 1 2 3k 2(2k 1).化簡得4g3k 1 2k 1 ,此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立.若 am a?-,則由 am am 2 2am 1,得(2k 1) (2 k 1) 2 2 3k 1化簡得k 3k 1,人 k * ntk 1 k 1

42、2k令 Tk TT(k N),則 Tk1 Tk-rr 0.3333因此，1 1 T2 T3,故只有T 1 ,此時K 1 , m 2 1 1 1 .綜上，在數(shù)列，中，僅存在連續(xù)的三項a3,按原來的順序成等差數(shù)列，此時正整數(shù)m的值為1.【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題.8. (2016?豐臺區(qū)一模)已知數(shù)列4是無窮數(shù)列，ai a , a? b(a , b是正整數(shù))，anan(-1),an i an ian i,蟲(三，1) an an 1(I)若ai 2 , a2 1 ,寫出a4,a5的值；(n)已知數(shù)列an中，1(k N),求證：數(shù)

43、列an中有無窮項為1；(出)已知數(shù)列an中任何一項都不等于1,記bn maxa?n i , a?n( n 1, 2, 3,;maxm , n為m , n較大者).求證：數(shù)列bn是單調(diào)遞減數(shù)列.【考點】82：數(shù)列的函數(shù)特性【專題】32：分類討論；35:轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(I)利用遞推關(guān)系即可得出.z、* 一、一.-.(n) ak 1(k N ),假設(shè)ak 1 m,對m分類討論，利用已知遞推關(guān)系即可證明.(出)由條件可知an 1(n 1 , 2, 3,).由于an中任何一項不等于1,可得anan i(n1,2,3,).分類討論：若 a2n ia2n，則bna2ni .若 a

44、2n ia2n ,則bn a2n.再利用遞推關(guān)系即可證明.【解答】B： (D Qa1 2, a2 1 ,a2 11包21a32a12a2同理可得：a42,a5也1.a2a4，、*.(n ) ak 1(k N ),假設(shè) ak 1 m ,當(dāng)m 1時，依題意有ak 2 ak 31 ,k 2 k 3當(dāng)m 1時，依題意有ak 2 m , ak 3 1,k 2k 3當(dāng)m 1時，依題意有ak 2 工，ak 3 工，ak 4 , a5 , ak 6 1.mmmm由以上過程可知：若 ak 1(k N*),在無窮數(shù)列，中，第k項后總存在數(shù)值為 1的項,以此類推，數(shù)列a。中有無窮項為1.(ID)證明：由條件可知an

45、1(n1,2, 3,Qa。中任何一項不等于1,an2, 3,).若a2n1a2n ,則 bna2n 1 Q a2n 1a2n 1a2na2na2n1,a2na2n 12 a2 n于是a2n 1a2n 2 ；1,a2na2 na2n 1a2 n2 a2na2n 1a2nga2 na 2n 1a2na2n 1 ,于是 a2n 1a2n 2 ；1,a2na2n 1max(a2n 1a2若a21a2n ,則 bnQ a2n 1Q a2n 2a2na2n 1a2 na2n 1a2n 1 ；a2n 2 ；a2nmax(a2n 1a2n2,即 bnbn綜上所述，對于一切正整數(shù)n ,總有bn bn 1 ,所以

46、數(shù)列bn是單調(diào)遞減數(shù)列.【點評】 本題考查了遞推關(guān)系、分類討論方法、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.9. (2014?東城區(qū)二模)設(shè) a是一個自然數(shù)，f (a)是a的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列*an: a1 是自然數(shù)，an f(an 1)(n N , n- 2).(I )求 f (99) , f(2014);(n )若 a1 100 ,求證：a1 a2 ;*m N * ，使得am 100 8B ：數(shù)列的應(yīng)用16：壓軸題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】(I)利用新定義，可求 f(99) , f(2014);(n )假設(shè)ai是一個n位數(shù)(仆-3),設(shè)出ai ,a2 f (a1

47、) 可 得 ，a2 bn2 bn i2b32 b22 bi2 作差，即可得證；(ID)利用反證法進行證明即可.【解答】(I)解：f (99) 92 92 162； f(201 4) 22 02 12 42 21 .(n )證明：假設(shè)a1是一個n位數(shù)(n -3),那么可以設(shè)a1bng10n 1bn1g10n2b3g102b2g10b1，a2f (a1)22222a2 bn2 bn 12b32 b22 b12a1 a2 (10n 1 bn)bn (10n 2 bn1)bn1可得(102 b3)b3 (10 b2)b1(1 b1)b1(10n 1 bn)bn (10n 2 bn1)bn12(102 b3)b3 (10 b2)b1 (1 b1)b1所以 a1 a2 - (10n 1 bn)bn (D 1)1bl .n1因為 bn0,所以(10bn)