二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解及零點(diǎn)個(gè)數(shù)

1、課題函數(shù)求零點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)深刻了解函數(shù)的應(yīng)用，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解及零點(diǎn)個(gè)數(shù)重點(diǎn)、難點(diǎn)二分法就函數(shù)零點(diǎn)的近似解及零點(diǎn)個(gè)數(shù)考點(diǎn)及考試要求函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容函數(shù)與方程、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)進(jìn)一步了解函數(shù)的廣泛應(yīng)用；(2)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián) 系；(3)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解，了解這種方法是求函數(shù)零點(diǎn) 近似解的常用方法.重點(diǎn)理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，判定二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)，能夠借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法 求函數(shù)零點(diǎn)的近似解.難點(diǎn)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似

2、解的原理及隱含其中的數(shù)學(xué)思想方法的理解 二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的零點(diǎn)1 .函數(shù)的零點(diǎn)匡i一般地，如果函數(shù)丁力在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即/(二o,則窗叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)要點(diǎn)詮釋：函數(shù) y=/W的零點(diǎn)就是方程/國(guó)=o的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) y =的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).歸納：方程/二°有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=jw 的圖象與工軸有交點(diǎn)Q函數(shù)7二有零點(diǎn).2 .二次函數(shù)零點(diǎn)的判定匡1二次函數(shù)y=。/+從+。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程口= o的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)A>0兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)A = 0兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)一重零點(diǎn)A <0無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)3 .二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)恒j

3、二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào)引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立4 .二次函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用匡J利用二次函數(shù)的零點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)判斷相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間函數(shù)值的符號(hào)，觀察函數(shù)的一些性質(zhì)引伸：二次函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用可推廣到一般函數(shù)5 .變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn)也j如果函數(shù) 戶/W 在一個(gè)區(qū)間ME（弧b），使跖）=。.如 b上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即,則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)果函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò) X軸，則稱這樣的零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)

4、，如果沒(méi)有穿過(guò)X軸，則稱這樣的零點(diǎn)為不變知識(shí)點(diǎn)二、二分法1 .二分法國(guó)J所謂二分法就是通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而 得到零點(diǎn)近似值的方法2 .用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：E已知函數(shù)二定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)X0的近似值x,使它滿足給定的精確度第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間際瓦k。，使與/聞異號(hào),即,零點(diǎn)位于區(qū)間1%耳中.第二步：取區(qū)間3，%的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為w為+4）計(jì)算 /伉）和/（4） ,并判斷:如果/二°,則M就是/卜） 的零點(diǎn),計(jì)算終止;如果 /同加卜Q ,則零點(diǎn)位于區(qū)間%/中，令如果 力弘力。,則零點(diǎn)位于區(qū)

5、間【看熱中，令第三步：取區(qū)間用，4）的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為工產(chǎn)%+（出+4） 乙乙計(jì)算 /和/（R） ,并判斷:如果 瓦）二°,則看就是一（1） 的零點(diǎn)，計(jì)算終止;如果/ /h)<0，中，令曲二廝務(wù)二十如果則零點(diǎn)位于區(qū)間出二M瓦二h；繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間%也，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間%，4上，當(dāng)勺和4按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度 三、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .如何求函數(shù)的零點(diǎn)？答：求函數(shù)的零點(diǎn)即為求出相應(yīng)方程的解或函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2 .如果函數(shù)y=在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則函數(shù) J

6、二1）在其定義域內(nèi)最多有幾個(gè)零點(diǎn)?答：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)在其定義域內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)經(jīng)典例題透析類型一、求函數(shù)的零點(diǎn)1 1,求下列函數(shù)的零點(diǎn).但（1）陽(yáng)=4*-3；（2）.思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，要求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根.解：_ 33由“力二4工-3二。得'4 ,所以函數(shù)的零點(diǎn)是4；（2）由,*一1二口+1）（，+1）卜-1）,令/1得x=i, -1 ,故函數(shù)的零點(diǎn)是1,-1.總結(jié)升華：求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的 根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).舉一反三：【變式1】求函數(shù)：7 二 一/一21+3；（2）y=/-萬(wàn)+

7、 6的零點(diǎn).解：（1）由求根公式解得"I辦二一（2）方程x3-7i+6 = 0可化為短一 6# 靠+ 6 = 口一 1） 一6（- 1） = 、卜 + 1）（工一1）一 6卜一 1）二（x-1乂工* +1- 6）=（1-1）（l- 2）（x + 3）= 0由卜-1）卜-2）卜+ 3）=。知"-3西二1丙二2,所以函數(shù)了 二 一/-2工+3的零點(diǎn)為1, 3；函數(shù)丁 = 77i+6的零點(diǎn)為-3, 1, 2.總結(jié)升華：三次因式分解的關(guān)鍵是，裂項(xiàng)后的兩組分別要有公因式可提取，函數(shù)求零點(diǎn)的題目和解方程的題 目可相互轉(zhuǎn)化.【變式2 （2011山東理16）已知函數(shù) /。）=1空包工十1一

8、伙白且女=1）,當(dāng)2 <a <3 & <4時(shí)，函 數(shù)了（工）的零點(diǎn)/ £ （”方+D泮£”,則R二.解：用數(shù)形結(jié)合法log口1=一1+”作出尸kg#及產(chǎn)臉工的圖象,作出"-x+3及廣-x+4由圖象可知，當(dāng) 。在億3) 內(nèi)變動(dòng)， 施(3,4) 內(nèi)變動(dòng)時(shí), 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與直線 y = -x+b的公共點(diǎn)皆在區(qū)間(2,3)內(nèi),即函數(shù)/W的零點(diǎn) 獷(23),故 ” 2.類型二、確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2,則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()忌.二次函數(shù)="+b+c中，比<0A 1 B. 2C. 0 D.無(wú)法確定思路點(diǎn)撥：可以利用函數(shù)圖象或方程的判

9、別式解法 1： VOC<O,：,k = F Yac> 0方程ar2 =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2，函數(shù)P =+b工+。有兩個(gè)零點(diǎn)，選b.解法 2：% > 0 Ta < 0, <或V' (。卜。"少不論哪種情況，二次函數(shù)圖象與 x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).選B.類型三、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值3.求函數(shù)/(1)二工+2h 一%一6的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1).隹j解：由于/0)二一6僅)=4 >0,可取區(qū)間12作為計(jì)算的初始區(qū)間,用二分法逐步計(jì)算，列表如下:區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值1，21.5-2.6251.5 , 21.750.23

10、441.5 , 1.751.625-1.30271.625 , 1.751.6875-0.56181.6875 , 1.751.71875-0.1709由上表計(jì)算可知,區(qū)間 1.6875 , 1.75的長(zhǎng)度1.75-1.6875=0.0625<0.1所以可以將1.6875的近似值1.7作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.總結(jié)升華：應(yīng)首先判斷x的取正整數(shù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，使正整數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間盡量小，便于利用二分法求 其近似值.【變式1】用二分法求函數(shù)/（同二/一5的一個(gè)正零點(diǎn)（精確到0.01）解:由2）二TJ（25）二 1.250可知函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)在 2,2,勺區(qū)間中;取22,的區(qū)間中點(diǎn)2.25 ；計(jì)

11、算由于八2.25b5.。625-5=0,。625；,則有零點(diǎn)的新區(qū)間為2,225取2,225的區(qū)間中點(diǎn)2125；計(jì)算4 2.125） = 4.494425-5=305575；由于2125卜/（2.25）。則有零點(diǎn)的新區(qū)間為225,2.25；取二二二的區(qū)間中點(diǎn)2,1875；計(jì)算/(2 閭 *47851563-* 0.24841由于/(2.1875)«/(2.25)<0,則有零點(diǎn)的新區(qū)間為2.1875,2.25.(11)取218乃,2.25的區(qū)間中點(diǎn)2.21375 ；計(jì)算由于12.21375) = 4刎689-5二-0煙川；/(2.21375)-/(2-25)<0,則有零點(diǎn)的

12、新區(qū)間為221375,225；(取2.21375.2.25的區(qū)間中點(diǎn) 2231875計(jì)算（16）由于八 223 5） = 4981266 - 5=-。卸34；范.231875討（225）Q,則有零點(diǎn)的新區(qū)間為2231875225；取2231875,2.局的區(qū)間中點(diǎn)2.2409375 ；計(jì)算/12M93乃)勿22081-5 =。,022081；Q9）由于（20）由于津23 明力224。93730, /(2r23640625)-/(2.2409375)<0,則有零點(diǎn)的新區(qū)間為.2.236406255,2,2409375；又因?yàn)榱泓c(diǎn)要求精確到0.01 ,而區(qū)間兩端點(diǎn)近似值相同都是2.24 ,所

13、以函數(shù)工）二工一5的一個(gè)正零點(diǎn)為：2.24.類型四、用二分法解決實(shí)際問(wèn)題命 > ”土，、什人* 4.中央電視臺(tái)有一檔娛樂(lè)節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人李詠給選手在限定時(shí)間內(nèi)猜某一物品的售價(jià)的機(jī)會(huì)，如果猜中，就把物品獎(jiǎng)給選手，同時(shí)獲得一枚商標(biāo).某次猜一種品牌的手機(jī)，手機(jī)價(jià)格在5001000元之間，選手開(kāi)始報(bào)價(jià)：1000元，主持人說(shuō)：高了，緊接著報(bào)價(jià)900元，高了； 700元，低了； 880元，高了； 850元，低了； 851元，恭喜你，猜中了 .表面上看猜價(jià)格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實(shí)際上，游戲報(bào)價(jià)過(guò)程體現(xiàn)了 “逼近” 的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計(jì)出可行的猜價(jià)方案來(lái)幫助選手猜價(jià)嗎？解：取價(jià)格區(qū)間500,

14、 1000的中點(diǎn)750,如果主持人說(shuō)低了，就再取 750 , 1000的中點(diǎn)875;否則取另一個(gè)區(qū)間500, 750的中點(diǎn)；若遇到小數(shù)，則取整數(shù)，照這種方案， 游戲過(guò)程猜價(jià)如下：750, 875, 812, 843, 859, 851,經(jīng)過(guò)6次可以猜中價(jià)格.總結(jié)升華：此方案應(yīng)該說(shuō)方便、迅速、準(zhǔn)確，而且很科學(xué)，在實(shí)際生活中處處有數(shù)學(xué)，碰到問(wèn)題多用數(shù)學(xué)方法去思考，會(huì)使我們變得更聰明，更具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 . （2011東北四市6）已知函數(shù)力=/ 2/+2有唯一零點(diǎn)，則下列區(qū)間必存在零點(diǎn)的是（）2 .有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)的函數(shù)（）A.只能是偶函數(shù)B.可以是奇函數(shù)C.可以是增函數(shù)D.可以是減函數(shù)3. （2011廣東廣州3月6）若函數(shù)力=4+2工+4沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. 1B. a . 1 C. ，一 D.一： 一4.設(shè)函數(shù)二T +/'是-1,1上的增函數(shù)，且T力匕尸，則方程加=0在-1,內(nèi)（）A.可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根B.可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C.有唯一的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根5.若已知J尸”，則下列說(shuō)法中