數(shù)學(xué)試卷2019全國(guó)一卷文(正式版)(原卷版)

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如 需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。 寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。3-i1.設(shè)z=，則z =1 2iA. 2B.33C.22D. 12 .已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7 , A =2,34

2、5, B =2,3,6,7,則 B© A =A.七,6B.1,7C.6,7D. 1,6,7020 33 .已知 a = log2 0.2,b =2 ,c = 0.2 ，則A . a <b <cB , a <c <bC, c<a<bD, b <c <a-甘,小、一、54 .古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是2,5-1（早用.618,稱(chēng)為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人25-1體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是上5.若某人滿足上述兩個(gè)黃金2分割比例，且腿長(zhǎng)為 105c

3、m,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm,則其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsin x x5,函數(shù)f(x)=2在兀，4的圖像大致為cosx X6.某學(xué)校為了解1 000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1, 2,，1 000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A. 8號(hào)學(xué)生B. 200號(hào)學(xué)生C. 616號(hào)學(xué)生D. 815號(hào)學(xué)生7 . tan255° =A. -2-73B. -2+73C. 2出D. 2+738 .已知非零向量 a, b滿足a =2 b ,且(a -

4、b) .L b,則a與b的夾角為D.2冗C. 一3119.如圖是求2+ 的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入2 1210 .雙曲線C：A. 2sin4011 . ABC的內(nèi)角 1B. A=2 十一A1C. A=1 2AD. A=1 +2A2%=1(a a 0,b > 0)的一條漸近線的傾斜角為b2130°,則C的離心率為B. 2cos401C.sin50A, B, C的對(duì)邊分別為1D.cos501a,b, c, 已知 asinA bsinB=4csinC, cosA=4則2 = cA. 6B. 5C. 4D. 312.已知橢圓 C的焦點(diǎn)為Fi(1,0), F2(1,0),過(guò)F2的直線

5、與 C交于A, B兩點(diǎn).若|AF2|二2|F2B|, |AB|=|BFJ,則 C 的方程為2A x 2.A . + y =1222B,人+上=13222C,2+E=143二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13. 曲線y =3(x2 +x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為3 一14. 記Sn為等比數(shù)列an的刖n項(xiàng)和.右a1 =1, S3 =一，則S4=4.3 兀15. 函數(shù)f(x)=sin(2x +)-3cosx的最小值為 216. 已知/ ACB= 90° , P為平面 ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到/ACB兩邊AC, BC的距離均為百，那么P到平面ABC的距離為17

6、21題為必考題,、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：60分。17. (12 分)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量， 隨機(jī)調(diào)查了 50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?2附：犬=n(ad -bc)(a b)(c d)(a c)(b d)2.P （K 冰）0.0500.0100.001k3.8416.6351

7、0.82818. (12 分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通項(xiàng)公式；(2)若a1>0,求使得Sn冷n的n的取值范圍.19. (12 分)如圖，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面是菱形，AAi=4, AB=2, ZBAD=60° , E, M, N分別是BC, BBi, AiD的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面 CiDE；(2)求點(diǎn)C到平面CiDE的距離.20. (12 分)已知函數(shù) f (x) =2sinxxcosx x, f ' (x)為 f (x)的導(dǎo)數(shù).(1)證明：f ' (x)在區(qū)間(0,另存在唯

8、一零點(diǎn)；(2)若xC 0,兀時(shí)，f (x)*x,求a的取值范圍.21. (12 分)已知點(diǎn)A, B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)，|AB =4, OM過(guò)點(diǎn)A, B且與直線x+2=0相切.(1)若A在直線x+y=0上，求。M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn) P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，1MA - MP I為定值？并說(shuō)明理由.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22.選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1 -t2x 2，1 t24ty 一1 t2t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)

9、方程為2 Pcos 日 +73Psin 9 +11 = 0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知a, b, c為正數(shù)，且滿足 abc=1 .證明:111222(1)+2 +a2 +b2 +c2； a b c(2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 之24.201眸普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1. C7. D二、填空題13. y=3x三、解答題2.C3. B4. B5. D6. C8.B9. A10. D11. A12. B14.515. -416. ,2817 .解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客

10、中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.= 0.8,因此男顧客對(duì)該商50女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為 的估計(jì)值為0.6.一 二0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率 50K2100 (40 20 -30 10)250 50 70 30由于4.762 >3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異18 .解：(1)設(shè)an 的公差為d.由 S9 = -95得 a1 +4d =0 .由a3=4得 a1 +2d =4.于是 a1 =8,d - -2 .因此 Qn的通項(xiàng)公式為an =10 -2n .(2)由(1)得闞=-4d 故 an = (n -5

11、)d,Sn =nn.22由a A0知d <0,故Snan等價(jià)于n 11n+10, 0,解得1訴w 10所以n的取值范圍是n|1Jg!|n 10, n N.19.解:(1)連結(jié)BQ,ME .因?yàn)镸 , E分別為BBi,BC的中點(diǎn)，所以ME / BC ,且1 1ME = B1c.又因?yàn)镹為AQ的中點(diǎn)，所以ND=AD.2 2由題設(shè)知 AB= DC ,可得BC = AD ,故ME= ND ,因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN / ED .又MN0平面CQE ,所以MN /平面CDE .(2)過(guò)C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得DE_LBC, DE _LCC ,所以DEL平面C1CE ,故D

12、ECH.4、1717從而CH，平面C1DE ,故CH的長(zhǎng)即為C到平面C1DE的距離,由已知可得CE=1, C1C=4,所以C1E=J17,故CH4、一17從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為 1720 .解：(1)設(shè) g(x) = f '(x),貝U g(x) =cosx+xsin x1,g'(x) = xcosx.當(dāng) x0,-)時(shí)，g(x)A0;當(dāng) xW 口，/ I 時(shí)，g(x) <0,所以 g(x)在(0,-)單調(diào)遞222增，在1，%1單調(diào)遞減.又g(0) =0,g>0,g(力=一2 ，故g(x)在(0,力存在唯一零點(diǎn).2所以f'(x)在(0,冗)存在唯一零點(diǎn)

13、.(2)由題設(shè)知f(勸一丑砥f (訪=0 ,可得aw0.由(1)知，(x)在(0,冗)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為 X。，且當(dāng)xw(0,x°)時(shí)，f'(x)A0；當(dāng)XW(X0,TT)時(shí)，f'(x)<0,所以f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，在(沏，冗)單調(diào)遞減.又 f(0) =0, f (冗)=0,所以，當(dāng) xw0,用時(shí)，f(x0.又當(dāng) a, 0,x e0,用時(shí)，ax<0,故 f(x)ax.因此，a的取值范圍是(q0.21 .解：(1)因?yàn)镸過(guò)點(diǎn)A, B ,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上，且A, B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以M在直線y = x

14、上，故可設(shè) M (a, a).因?yàn)镸與直線x+2=0相切，所以M的半徑為r=|a + 2|.由已知得 |AO|=2,又 MO_LAO,故可得 2a2+4 = (a+2)2,解得 a=0或 a=4.故M的半徑r=2或r=6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP |為定值.理由如下：設(shè)M (x, y),由已知得M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO_LAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2 ,化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為y2=4x.因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線 x = 1為準(zhǔn)線的拋物線，所以 |MP|=x+1 .因?yàn)閨MA|-|MP|=r|MP|=x+2

15、(x+1)=1 ,所以存在滿足條件的定點(diǎn) P. 一， ，1 -t2, l 2 ，y S22.解：(1)因?yàn)?1工2 <1，且x +2： 1十t24t2 心+2=1,所以C的直角2坐標(biāo)方程為X2 = 1(x-1).4l的直角坐標(biāo)方程為 2x + J3y +11 = 0 .x = cos：.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為,) (“為參數(shù),y = 2sin ;-Tt<0( < 冗).|2cos ：，2 V 3sin '：，11|C上的點(diǎn)至U l的距離為J苔L,7(4cos I11 3當(dāng)0f =_2時(shí)，4cos la - 1+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為 J7 . 3.322222223.解：(1)因?yàn)?a +b 22ab,b +c 之 2bc,c +a > 2ac,又 abc=1,故有2 .22ab bc ca 111a b c - ab bc ca =二一 一 -abc a b c所以1 _ a2 b2c2.a b c(2)因?yàn)閍, b, c為正數(shù)且abc = 1,故有333 o333(a b) (b c) (c a) -33 (a b) (b c) (a c)=3(a+b)(b+c)(a+c)-3 (2 ,ab) (2 .be) (2 ,ac)=24.所以(a - b)3 (b - c)3 (c a)3 一