2017年高考理數(shù)真題試卷（天津卷）（正式版）

1、2017年高考理數(shù)真題試卷（天津卷）（正式版）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、（2017·天津）設(shè)集合A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，則（AB）C=（） A、2B、1，2，4C、1，2，4，5D、xR|1x52、（2017·天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為（） A、B、1C、D、33、（2017·天津）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為（）A、0B、1C、2D、34、（2017·天津）設(shè)R，則“| | ”是“sin ”的（） A、充分而不

2、必要條件B、必要而不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件5、（2017·天津）已知雙曲線 =1（a0，b0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為 若經(jīng)過F和P（0，4）兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（） A、=1B、=1C、=1D、=16、（2017·天津）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=xf（x）若a=g（log25.1），b=g（20.8），c=g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（） A、abcB、cbaC、bacD、bca7、（2017·天津）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（

3、x）的最小正周期大于2，則（） A、= ，= B、= ，= C、= ，= D、= ，= 8、（2017·天津）已知函數(shù)f（x）= ，設(shè)aR，若關(guān)于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（） A、 ，2B、 ， C、2 ，2D、2 ， 二、二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9、（2017·天津）已知aR，i為虛數(shù)單位，若 為實(shí)數(shù)，則a的值為_ 10、（2017·天津）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_ 11、（2017·天津）在極坐標(biāo)系中，直線4cos（ ）+1=0與圓=

4、2sin的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_ 12、（2017·天津）若a，bR，ab0，則 的最小值為_ 13、（2017·天津）在ABC中，A=60°，AB=3，AC=2若 =2 ， = （R），且 =4，則的值為_ 14、（2017·天津）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有_個(gè)（用數(shù)字作答） 三、三.解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15、（2017·天津）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB= （）

5、求b和sinA的值；（）求sin（2A+ ）的值 16、（2017·天津）從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為 ， ， （）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率 17、（2017·天津）如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC=90°點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2（）求證：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直

6、線NH與直線BE所成角的余弦值為 ，求線段AH的長 18、（2017·天津）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（nN+），bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1 ， S11=11b4 （）求an和bn的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和（nN+） 19、（2017·天津）設(shè)橢圓 + =1（ab0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為 已知A是拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為 （）求橢圓的方程和拋物線的方程；（）設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D若

7、APD的面積為 ，求直線AP的方程 20、（2017·天津）設(shè)aZ，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x33x26x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0 ， g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)（）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)m1，x0）（x0 ， 2，函數(shù)h（x）=g（x）（mx0）f（m），求證：h（m）h（x0）0；（）求證：存在大于0的常數(shù)A，使得對于任意的正整數(shù)p，q，且 1，x0）（x0 ， 2，滿足| x0| 答案解析部分一、<b >選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的</b><b>.</b> 1、【答案

8、】B 【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【解析】【解答】解：A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又C=xR|1x5，（AB）C=1，2，4故選：B【分析】由并集概念求得AB，再由交集概念得答案 2、【答案】D 【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，簡單線性規(guī)劃 【解析】【解答】解：變量x，y滿足約束條件 的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+y結(jié)果可行域的A點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由 可得A（0，3），目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為：3故選：D【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可 3、【答案】C 【考點(diǎn)】選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)，程序框圖 【解析】【解答】解：第一次N=2

9、4，能被3整除，N= 3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=81=7，N=73不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=71=6，N= =23成立，輸出N=2，故選：C【分析】根據(jù)程序框圖，進(jìn)行模擬計(jì)算即可 4、【答案】A 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性，絕對值不等式的解法 【解析】【解答】解：| | 0 ，sin +2k +2k，kZ，則（0， ） +2k， +2k，kZ，可得“| | ”是“sin ”的充分不必要條件故選：A【分析】運(yùn)用絕對值不等式的解法和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡兩已知不等式，結(jié)合充分必要條件的定義，即可得到結(jié)論 5、【答

10、案】B 【考點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式，兩條直線平行的判定，雙曲線的簡單性質(zhì) 【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F（c，0），離心率e= = ，c= a，則雙曲線為等軸雙曲線，即a=b，雙曲線的漸近線方程為y=± x=±x，則經(jīng)過F和P（0，4）兩點(diǎn)的直線的斜率k= = ，則 =1，c=4，則a=b=2 ，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ；故選B【分析】由雙曲線的離心率為 ，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為y=±x，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得雙曲線方程 6、【答案】C 【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)值大

11、小的比較，對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【解析】【解答】解：奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，當(dāng)x0，f（x）f（0）=0，且f（x）0，g（x）=xf（x），則g（x）=f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）單調(diào)遞增，且g（x）=xf（x）偶函數(shù)，a=g（log25.1）=g（log25.1），則2log25.13，120.82，由g（x）在（0，+）單調(diào)遞增，則g（20.8）g（log25.1）g（3），bac，故選C【分析】由奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則g（x）=xf（x）偶函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞增，則a=g（log25.1）=g（log25.1），則2log25.13，120.82，

12、即可求得bac 7、【答案】A 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法，由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，則 ，即 f（x）=2sin（x+）=2sin（ x+），由f（ ）= ，得sin（+ ）=1+ = ，kZ取k=0，得= ，= 故選：A【分析】由題意求得 ，再由周期公式求得，最后由若f（ ）=2求得值 8、【答案】A 【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題，分段函數(shù)的應(yīng)用 【解析】【解答】解：當(dāng)x1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，即為x2+x3 +ax2x+3，即有x2+ x3a

13、x2 x+3，由y=x2+ x3的對稱軸為x= 1，可得x= 處取得最大值 ；由y=x2 x+3的對稱軸為x= 1，可得x= 處取得最小值 ，則 a 當(dāng)x1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）| +a|在R上恒成立，即為（x+ ） +ax+ ，即有（ x+ ）a + ，由y=（ x+ ）2 =2 （當(dāng)且僅當(dāng)x= 1）取得最大值2 ；由y= x+ 2 =2（當(dāng)且僅當(dāng)x=21）取得最小值2則2 a2由可得， a2故選：A【分析】討論當(dāng)x1時(shí)，運(yùn)用絕對值不等式的解法和分離參數(shù)，可得x2+ x3ax2 x+3，再由二次函數(shù)的最值求法，可得a的范圍；討論當(dāng)x1時(shí)，同樣可得（ x+ ）a + ，再由基本不等式可得最

14、值，可得a的范圍，求交集即可得到所求范圍 二、<b >二</b><b >.</b><b>填空題：本大題共</b><b>6</b><b >小題，每小題</b><b>5</b><b >分，共</b><b>30</b><b >分</b><b>.</b> 9、【答案】2 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【解析】【解答】解：aR，i為虛數(shù)單位，= = = i由 為實(shí)數(shù)

15、，可得 =0，解得a=2故答案為：2【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)，化簡 ，再由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件：虛部為0，解方程即可得到所求值 10、【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積 【解析】【解答】解：設(shè)正方體的棱長為a， 這個(gè)正方體的表面積為18，6a2=18，則a2=3，即a= ，一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，正方體的體對角線等于球的直徑，即 a=2R，即R= ，則球的體積V= （ ）3= ；故答案為： 【分析】根據(jù)正方體和球的關(guān)系，得到正方體的體對角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可 11、【答案】2 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，簡單曲線的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)的區(qū)別

16、 【解析】【解答】解：直線4cos（ ）+1=0展開為：4 +1=0，化為：2 x+2y+1=0圓=2sin即2=2sin，化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2y，配方為：x2+（y1）2=1圓心C（0，1）到直線的距離d= = 1=R直線4cos（ ）+1=0與圓=2sin的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2故答案為：2【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離d，與半徑比較即可得出位置關(guān)系 12、【答案】4 【考點(diǎn)】基本不等式 【解析】【解答】解：a，bR，ab0， = =4ab+ 2 =4，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ，即a= ，b= 或a= ，b= 時(shí)取“=”；上式的最小值為4故答案為：4【分析】兩次利

17、用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等號成立的條件是什么 13、【答案】【考點(diǎn)】向量的加法及其幾何意義，向量的減法及其幾何意義，向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【解析】【解答】解：如圖所示，ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，=2 ， = + = + = + （ ）= + ，又 = （R）， =（ + ）（ ）=（ ） + =（ ）×3×2×cos60° ×32+ ×22=4， =1，解得= 故答案為： 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用 、 表示出 ，再根據(jù)平面向量

18、的數(shù)量積 列出方程求出的值 14、【答案】1080 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【解析】【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：、四位數(shù)中沒有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一共四位數(shù)即可，有A54=120種情況，即有120個(gè)沒有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，在1、3、5、7、9種選出3個(gè)，在2、4、6、8中選出1個(gè)，有C53C41=40種取法，將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有A44=24種順序，則有40×24=960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個(gè)；故答案為：1080【分析】根據(jù)題

19、意，要求四位數(shù)中至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，分2種情況討論：、四位數(shù)中沒有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，、四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，分別求出每種情況下四位數(shù)的數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案 三、<b >三</b><b >.</b><b>解答題：本大題共</b><b>6</b><b >小題，共</b><b>80</b><b >分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟</b> 15、【答案】解：（）在ABC中，ab，故由sinB= ，可得cosB= 由

20、已知及余弦定理，有 =13，b= 由正弦定理 ，得sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及ac，得cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故sin（2A+ ）= = 【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算 【解析】【分析】（）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展開兩角和的正弦得答案 16、【答案】解：（）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3；則P（X=

21、0）=（1 ）×（1 ）（1 ）= ，P（X=1）= ×（1 ）×（1 ）+（1 ）× ×（1 ）+（1 ）×（1 ）× = ，P（X=2）=（1 ）× × + ×（1 ）× + × ×（1 ）= ，P（X=3）= × × = ；所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P                

22、                                    隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（）設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P（Y

23、+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）= × + × = ；所以，這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，條件概率與獨(dú)立事件 【解析】【分析】（）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應(yīng)的概率值，寫出它的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；（）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值 17、【答案】（）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，M為AD中點(diǎn)，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN為BC中點(diǎn)，NFAC，又D、E分別

24、為AP、PC的中點(diǎn)，DEAC，則NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，則MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90°以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），則 ， ，設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為 ，由 ，得 ，取z=2，得 由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為 cos = 二面角CEMN的余弦值為 ，則正弦值為 ；（）解：設(shè)AH=t，則H（0，0，t）， ， 直線

25、NH與直線BE所成角的余弦值為 ，|cos |=| |=| |= 解得：t=4當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ，此時(shí)線段AH的長為4 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角，平面與平面平行的判定，平面與平面平行的性質(zhì)，用空間向量求平面間的夾角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（）取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，由已知可證MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，則MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90°可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面

26、角CEMN的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；（）設(shè)AH=t，則H（0，0，t），求出 的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為 列式求得線段AH的長 18、【答案】解：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q26=0又因?yàn)閝0，解得q=2所以，bn=2n 由b3=a42a1 ， 可得3da1=8由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，聯(lián)立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n2所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n （）設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn ， 由a2n

27、=6n2，b2n1= 4n ， 有a2nb2n1=（3n1）4n ， 故Tn=2×4+5×42+8×43+（3n1）4n ， 4Tn=2×42+5×43+8×44+（3n1）4n+1 ， 上述兩式相減，得3Tn=2×4+3×42+3×43+3×4n（3n1）4n+1= =（3n2）4n+18得Tn= 所以，數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【解析】【分析】（）設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比，然后求解an和bn的通項(xiàng)公式；（）化簡

28、數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可 19、【答案】（）解：設(shè)F的坐標(biāo)為（c，0）依題意可得 ，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2c2= 所以，橢圓的方程為x2+ =1，拋物線的方程為y2=4x（）解：直線l的方程為x=1，設(shè)直線AP的方程為x=my+1（m0），聯(lián)立方程組 ，解得點(diǎn)P（1， ），故Q（1， ）聯(lián)立方程組 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y= B（ ， ）直線BQ的方程為（ ）（x+1）（ ）（y ）=0，令y=0，解得x= ，故D（ ，0）|AD|=1 = 又APD的面積為 ， × = ，整理得3m22 |m|+2=0

29、，解得|m|= ，m=± 直線AP的方程為3x+ y3=0，或3x y3=0 【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，圓錐曲線的綜合 【解析】【分析】（）根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a，b，p即可得出方程；（）設(shè)AP方程為x=my+1，聯(lián)立方程組得出B，P，Q三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線BQ的方程，解出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案 20、【答案】（）解：由f（x）=2x4+3x33x26x+a，可得g（x）=f（x）=8x3+9x26x6，進(jìn)而可得g（x）=24x2+18x6令g（x）=0，解得x=1，或x= 當(dāng)x變化時(shí)，g（x），g（x）的變化情況如下表：x（，1）（1， ）（ ，+）g（x）+g（x）所以，g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，1），（ ，+），單調(diào)遞減區(qū)間是（1， ）（）證明：由h（x）=g（x）（mx0）f（m），得h（m）=g（m）（mx0）f（m），h（x0）=g（x0）（mx0）f（m）令函數(shù)H1（x）=g（x）（xx0）f（x），則H1（x）=g（x）（xx0）由（）知，