泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1引言11 泰勒公式11.1泰勒公式定義11.1.1帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式11.1.2帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式21.1.3帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式21.2函數(shù)的泰勒公式展開21.2.1函數(shù)的泰勒展開式21.2.2可展條件31.3常見函數(shù)的展開式42泰勒公式的應(yīng)用42.1利用泰勒公式求極限42.2利用泰勒公式證明不等式52.3利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)斂散性52.4利用泰勒公式證明根的唯一存在性62.5利用泰勒公式求函數(shù)極值72.6利用泰勒公式近似計(jì)算82.7利用泰勒公式計(jì)算定積分82.8利用泰勒公式求行列式的值92.9泰勒公式在經(jīng)濟(jì)上的

2、應(yīng)用10結(jié)束語11致謝11參考文獻(xiàn)11泰勒公式及其應(yīng)用 Taylor Formula and Its ApplicationsStudent majoring in mathematics and applied mathematics Abstract：In this paper, we introduce the Taylor formula and the expansion of several common functions, and we apply Taylor's formula to limit of function, the proof of inequalit

3、y, determining method of convergence and divergence for series, the proof of existence and uniqueness of root, the method of solving extreme, the method of solving approximate calculation, the method of solving definite integration and the value of determinant, the tool of solving the problem of eco

4、nomy.Key words: Taylor formula; limit; convergence; approximate calculation 引言 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜的函數(shù)近似表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡的方法，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)的有力杠桿，并且在經(jīng)濟(jì)學(xué)上有一定的應(yīng)用.泰勒公式的問世，使得許多以前難以解決或是不能解決的問題都得到了希望并且很多都成了現(xiàn)實(shí)，所以我們有必要很好的掌握這一公式.1 泰勒公式1.1 泰勒公式定義1.1.1 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn),有當(dāng)時(shí), 上式稱為（帶有佩亞諾

5、型余項(xiàng)的）麥克勞林(Maclaurin)公式.即,=x.1.1.2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式如果函數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn), 有(介于與之間).當(dāng)時(shí), 上式稱為（帶有拉格朗日型余項(xiàng)的）麥克勞林(Maclaurin)公式.即.1.1.3 帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式泰勒定理： 若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則，有其中 稱為積分型余項(xiàng). 1.2 函數(shù)的泰勒公式展開1.2.1 函數(shù)的泰勒展開式： 若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)（Taylor公式僅有有限項(xiàng)時(shí)）用多項(xiàng)式逼近函數(shù). 項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí)，得 ，稱此級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù). 只要函數(shù)在點(diǎn)無限次可導(dǎo)，就

6、可寫出其Taylor級(jí)數(shù). 稱=時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為Maclaurin 即級(jí)數(shù)收斂且和恰為 則稱函數(shù)在點(diǎn)可展開成Taylor級(jí)數(shù) 稱此時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor展開式或冪級(jí)數(shù)展開式. 簡稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級(jí)數(shù). 當(dāng)=0 時(shí)，稱Taylor展開式為Maclaurin展開式.1.2.2 可展條件：定理(必要條件) 若函數(shù)在點(diǎn)可展，則必有在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).定理(充要條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù), 則在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)(即可展)的充要條件是：對(duì)，有. 其中是Taylor公式中的余項(xiàng).定理(充分條件) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界，則函數(shù)可展.例1

7、.1 展開函數(shù)，(1) 按冪；(2) 按冪.解： ， ， ； ， ， ；， ， ；， ， ；.所以， (1) .可見，的多項(xiàng)式的Maclaurin展開式就是其本身. (2) .常見函數(shù)的展開式. . .2 泰勒公式的應(yīng)用2.1 利用泰勒公式求極限為了簡化極限運(yùn)算，有時(shí)可以用某項(xiàng)的泰勒展開式代替該項(xiàng)，使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能簡捷地求出.例2.1 求極限.分析：此為型極限，若用羅比達(dá)法則很麻煩，這時(shí)可將和分別用其泰勒展開式代替，則可以簡化此比式.解：由,得于是=.由泰勒公式計(jì)算的實(shí)質(zhì)是用等價(jià)無窮小來計(jì)算極限，我們知道，當(dāng)時(shí)，等，這種等價(jià)無窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展

8、開至一次項(xiàng)，有些問題用泰勒公式和我們所熟悉的等價(jià)無窮小結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡化.2.2 利用泰勒公式證明不等式關(guān)于不等式的證明，我們已經(jīng)在前面介紹了多種方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凸性來證明不等式，以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法. 下面我們舉例說明，泰勒公式也是證明不等式的一個(gè)重要方法.例2.2 設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，試求存在，使.證： 由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值，故在內(nèi)存在，使，由費(fèi)馬定理知，.又 （介于與之間），由于，令和，有,所以，.當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，可見與中必有一個(gè)大于或等于8. 2.3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表

9、達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí)，往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡化成統(tǒng)一形式，以便利用判斂準(zhǔn)則.例2.3 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)還是非正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較困難，因而也就無法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到，若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng)，會(huì)使判斂容易進(jìn)行.解：因?yàn)?所以,所以,故該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.2.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性例2.4 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且,對(duì).證明：在內(nèi)存在唯一實(shí)根.分析：這里是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將在點(diǎn)展開一階泰勒公式,然后設(shè)法

10、應(yīng)用介值定理證明.證明：因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此時(shí),故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點(diǎn)展開一階泰勒公式有.由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.2.5 利用泰勒公式求函數(shù)的極值例2.5 設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則在取得極小值.證明： 由條件，可得在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有,即在取得極大值. 同樣對(duì),可得在取得極小值.2.6 利用泰勒公式近似計(jì)算根據(jù)泰勒展開式的余項(xiàng)可以具

11、體地估計(jì)出用泰勒公式近似地表示一個(gè)函數(shù) 所產(chǎn)生的誤差.由拉格朗日型余項(xiàng)，如果 為一定數(shù)，則其余項(xiàng)不會(huì)超過. 由此可以近似地計(jì)算某些數(shù)值并估計(jì)它們的誤差.例 2.6 求的近似值，使誤差不超過0.0001.解：設(shè)，將其在=0處展成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式,其中 (在0和之間)，令，則.要使,則取 即可.此時(shí)0.20.02 +0.002670.00040 +0.00006=0.1823，其誤差.2.7 利用泰勒公式計(jì)算定積分例 2.7 計(jì)算 .解：設(shè)，則，由公式有.例 2.8 計(jì)算.解：.例 2.9 計(jì)算， .解：設(shè)，則, .2.8 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看作的函數(shù)（一般是的次多項(xiàng)

12、式），記作，按泰勒公式在某處展開，用這一方法可求得一些行列式的值.例2.10 求階行列式 （1）解：記，按泰勒公式在處展開：, （2）易知 （3）由（3）得, 時(shí)都成立. 根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, , , .把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中，有若，有.若，有.2.9 泰勒公式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是不可缺的，在這里將以定積分為平臺(tái)，利用泰勒公式去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問題.例2.11 完全競爭行業(yè)中某廠商的成本函數(shù)為STC=，假設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為66元，求：（1）由于競爭市場供求發(fā)生變化，由此決定新的價(jià)格為30元，在心的價(jià)格下，廠商是否會(huì)發(fā)生虧損，如果會(huì)，最小的虧損額是多少？解：（1）由于市場供求發(fā)生變化，新的價(jià)格為27元，廠商是否發(fā)生虧損仍需要根據(jù)P=MC所