橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)

1、橢圓知識總結(jié) 班級 姓名 橢圓的定義:平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時， 才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時橢圓的焦點坐標(biāo)為，； 當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱

2、性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0

3、，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）； ；知識點四：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點，焦距 范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程注意：橢圓，的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)

4、軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解記憶：顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號

5、，且AB時，方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時換成、，方程

6、不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當(dāng)越小時，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。1. 橢圓的定義：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，

7、B，C同號，AB）。2. 橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。通徑2.點與橢圓的位置關(guān)系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切； （3）相離：直線與橢圓相離；如:直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；4、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)

8、化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準(zhǔn)線的距離為_（答：10/3）；（2）橢圓內(nèi)有一點，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標(biāo)為_（答：）；5、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：，當(dāng)即為短軸端點時，的最大值為bc；6、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。7、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（2）已知直線y=x+