第四章 平面向量、數(shù)系及擴充與復(fù)數(shù)及引入 階段質(zhì)量檢測

1、第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入(自我評估，考場亮劍，收獲成功后進入下一章學(xué)習(xí)！)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的)1(2009·天津高考)i是虛數(shù)單位，()A12iB12iC12i D12i解析：12i.答案：D2已知向量a(5,6)，b(6,5)，則a與b()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向解析：已知向量a(5,6)，b(6,5)，a·b30300，則a與b垂直答案：A3若a(2cos，1)，b(sin，1)，且ab，則tan等于()A2 B.C2

2、D解析：ab，2cos×1sin，tan2.答案：A4如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則等于()Aab B.abC.abD.ab解析：()ab.答案：B5已知復(fù)數(shù)z滿足|z|24i，則z等于()A34i B34iC34i D34i解析：設(shè)zabi(a，bR)，則abi，(abi)24i，即，解得a3，b4，z34i.答案：B6已知復(fù)數(shù)z1i，則等于()A2i B2iC2 D2解析：2i.答案：A7已知命題：“若k1ak2b0，則k1k20”是真命題，則下面對a，b的判斷正確的是()Aa與b一定共線 Ba與b一定不共線Ca與b一定垂直 Da與b中至少有一個為0解析：假設(shè)a與b共線，

3、由已知得k1ak2b，如果a、b均為非零向量，與已知條件矛盾如果a、b中至少有一個非零向量，明顯的與已知矛盾，排除A、D.把k1ak2b0兩邊平方得ka2kb22k1k2a·b0，因為k1k20，所以a·b不一定等于0，排除C.答案：B8若平面向量a(1,2)與b的夾角是180°，且|b|3，則b的坐標(biāo)為()A(3，6) B(3,6)C(6，3) D(6,3)解析：由題意設(shè)ba(1,2)由|b|3得29.±3.因為a與b的夾角是180°.所以3.答案：A9(文)設(shè)向量a與b的夾角為，a(2,1)，a2b(4,5)，則cos等于()A. B.C.

4、D.解析：設(shè)b(x，y)，因為a(2,1)，a2b(2,1)2(x，y)(22x,12y)(4,5)，即22x4,12y5，解得：x1，y2，即b(1,2)，故cos.答案：D9(理)已知|a|2|b|，且b0，若關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實數(shù)根，則向量a與b的夾角是()A BC. D.解析：由關(guān)于x的方程有兩個相等實數(shù)根可得|a|24a·b0a·b，cosa，b，又a，b0，a，b.答案：D10(2010·深圳模擬)點M是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)或邊界上一動點，N是邊BC的中點，則·的最大值是()A2B4C5 D6解析：建立如

5、圖所示的直角坐標(biāo)系，則N(2,1)，設(shè)M(x，y)，·(2,1)·(x，y)2xy，0x2,0y2，02xy6.答案：D11(2010·安慶模擬)已知非零向量，和滿足·0，且·，則ABC為()A等邊三角形 B等腰非直角三角形C非等腰三角形 D等腰直角三角形解析：、均為單位向量由·0，得| |.由·1×1×cosC，得C45°.故三角形為等腰直角三角形答案：D12設(shè)兩個向量a(2，2cos2)，b(m，sin)，其中，m，為實數(shù)若a2b，則的取值范圍是()A6,1 B4,8C(，1 D1,6解析：

6、a2b，消去，得4m28m4cos2m2sin，即4m29m2(sin1)2.1sin1，4(sin1)20，44m29m20，解得m2，26,1答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分請把正確答案填在題中的橫線上)13已知復(fù)數(shù)z1m2i，z234i，若為實數(shù)，則實數(shù)m_.解析：是實數(shù)，64m0，故m.答案：14已知拋物線y24x與直線y2x4交于A、B兩點，如果在該拋物線上存在點C，使得(O為坐標(biāo)原點)，則實數(shù)_.解析：由已知可設(shè)C(，m)，由題意易解得A(1，2)，B(4,4)，則有(5,2)(，m)，解得.答案：15已知平面向量a，b，c滿足abc0，且a與b的夾角為13

7、5°，c與b的夾角為120°，|c|2，則|a|_.解析：根據(jù)已知條件，組成以|a|，|b|，|c|為邊長的三角形，由正弦定理得，又|c|2，所以|a|.答案：16在直角坐標(biāo)系xOy中，i、j分別是與x軸，y軸平行的單位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，則實數(shù)m_.解析：本題考查了向量的運算由已知可得i(m1)j.當(dāng)A90°時，·(ij)·(2imj)2m0，m2.當(dāng)B90°時，·(ij)·i(m1)·j(1m1)m0，m0.當(dāng)C90°時，·(2imj)·i(m1)

8、j2m(m1)m2m20，此時m不存在故m0或2.答案：0或2三、解答題(本大題共6小題，共74分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|13iz，化簡.解：設(shè)zabi(a，bR)，而|z|13iz，即13iabi0，則，z43i.34i.18(本小題滿分12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知c，d，試用c，d表示，.解：法一：設(shè)a，b，則ad(b)，bc(a)，將代入得ad()c(a)adc，代入得bc()(dc)cd.故dc，cd.法二：設(shè)a，b.所以b，a，因而，即(2dc)，(2cd)19(2010

9、·安慶模擬)(本小題滿分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cos，sin)，其中x0，(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b2|ab|的最小值為，求的值解：(1)a·bcosxcossinxsincos2x，|ab|2cosx.(2)f(x)a·b2|ab|cos2x4cosx2cos2x14cosx2(cosx)2221.注意到x0，故cosx0,1，若<0，當(dāng)cosx0時，f(x)取最小值1.不合條件，舍去若01，當(dāng)cosx時，f(x)取最小值221，令221且01，解得，若>1，當(dāng)cosx1時，f(x)取

10、最小值14，令14且>1，無解綜上：為所求20(本小題滿分12分)在ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA)，且滿足mn，bca.(1)求角A的大??；(2)求sin的值解：(1)mn，1cosA2sin2A，即2cos2AcosA10，解得cosA1(舍去)，cosA.又0A，A.(2)bca，由正弦定理可得sinBsinCsinA.又C(AB)B，sinBsin，即sinBcosB，sin.21(本小題滿分12分)已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，cosx)，c(1,0)(1)若x，求向量a，c的夾角；(2

11、)當(dāng)x，時，求函數(shù)f(x)2a·b1的最大值解：(1)設(shè)a，c的夾角為，當(dāng)x時，cosa，ccosxcoscos.0a，c，a，c.(2)f(x)2a·b12(cos2xsinxcosx)12sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)x，2x，2，sin(2x)1，當(dāng)2x，即x時，f(x)max1.22(本小題滿分14分)已知mR，a(1，x2m)，b(m1，)，c(m，)(1)當(dāng)m1時，求使不等式|a·c|<1成立的x的取值范圍；(2)求使不等式a·b>0成立的x的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時，a(1，x21)，c(1，)a·c1x2x1，|a·c|x2x1|<1，解得2<x<1或0<x&