二次函數(shù)復(fù)習(xí)專題講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1-3講 二次函數(shù)全章綜合提高【知識(shí)清單】一、網(wǎng)絡(luò)框架二、清單梳理1、一般的，形如的函數(shù)叫二次函數(shù)。例如等都是二次函數(shù)。注意：系數(shù)不能為零，可以為零。2、二次函數(shù)的三種解析式（表達(dá)式）一般式：頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為交點(diǎn)式：3、二次函數(shù)的圖像位置與系數(shù)之間的關(guān)系：決定拋物線的開(kāi)口方向及開(kāi)口的大小。當(dāng)時(shí)，開(kāi)口方向向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口方向向下。決定開(kāi)口大小，當(dāng)越大，則拋物線的開(kāi)口越??；當(dāng)越小，則拋物線的開(kāi)口越大。反之，也成立。：決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在軸正半軸（即軸上方）；當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸（即軸下方）；當(dāng)時(shí)，拋物線過(guò)原點(diǎn)。反之，也成立。 ：

2、共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置。當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右邊；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左邊；當(dāng)（即當(dāng)時(shí)）對(duì)稱軸為軸。反之，也成立。特別：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，有。反之也成立。4、二次函數(shù)的圖像可由拋物線向上（向下），向左（向右）平移而得到。具體為：當(dāng)時(shí)，拋物線向右平移個(gè)單位；當(dāng)時(shí)，拋物線向左平移個(gè)單位，得到；當(dāng)時(shí)，拋物線再向上平移個(gè)單位，當(dāng)時(shí)，拋物線再向下平移個(gè)單位，而得到的圖像。5、拋物線與一元二次方程的關(guān)系：若拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。若拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（即一根）。若拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)，則一元二次方程沒(méi)有實(shí)根。6、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)關(guān)系式圖像形狀拋物線

3、頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性在圖像對(duì)稱軸左側(cè)，即或，隨的增大而減??；在圖像對(duì)稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對(duì)稱軸左側(cè)，即或，隨的增大而增大；在圖像對(duì)稱軸右側(cè)，即或，隨的增大而減??；最大值最小值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【考點(diǎn)解析】考點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念【例1】下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（ ） 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可做出判斷，中符合的形式，所以是二次函數(shù)，分別是一次函數(shù)和反比例函數(shù)，中右邊不是整式，顯然不是二次函數(shù)?！敬鸢浮俊纠?】已知函數(shù)是二次函數(shù)，則?！窘馕觥扛鶕?jù)二次函數(shù)的定義，只需滿足兩個(gè)條件即可“二次項(xiàng)系數(shù)不為零，且的最高次數(shù)為”。故有，解得，綜上所述，取1?！敬鸢浮?【針對(duì)訓(xùn)練】1

4、、 若函數(shù)是二次函數(shù)，則該函數(shù)的表達(dá)式為?？键c(diǎn)二：待定系數(shù)法在求解二次函數(shù)解析式中的應(yīng)用【例1】已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則的值是（） 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，所以將點(diǎn)代入二次函數(shù)中，可以得出，則可得，【答案】【例2】（2011，泰安）若二次函數(shù)的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)時(shí)，的值為（） 【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，所以，把代入得，所以二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，。 【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】1、 (2002年太原)過(guò),三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（） 2、無(wú)論為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是過(guò)定點(diǎn)（ ） 【例3】（2010，石家莊一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系

5、中，二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，則與的函數(shù)關(guān)系式為（） 【解析】設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為，將代入得，解得：，故這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是，【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】1、 二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，則二次函數(shù)的解析式為_(kāi).【例4】二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為_(kāi)?？键c(diǎn)三：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（與系數(shù)的關(guān)系）【例1】（2012，蘭州）已知二次函數(shù)有最小值1，則、的大小關(guān)系為（ ） 不能確定【考點(diǎn)】涉及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)有最小值1，所以，所以。【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】 1、二次函數(shù)的最小值是 。2、（2013，蘭州）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） 3、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） 【

6、例2】（2012，蘭州）拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過(guò)程正確的是（ ）先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位【考點(diǎn)】涉及函數(shù)平移問(wèn)題【解析】拋物線向左平移2個(gè)單位可得到拋物線，再向下平移3個(gè)單位可得到拋物線。【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】 1、（2012，南京）已知下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）。其中，圖象通過(guò)平移可以得到函數(shù)的圖象的有 （填寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）。2、（2009，上海）將拋物線向上平移一個(gè)單位后，得到新的拋物線，那么新的拋物線的表達(dá)式是 。3、將拋物線向左平移2

7、個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（ ） 4、將拋物線向下平移3個(gè)單位，在向左平移4個(gè)單位得到拋物線，則原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_?！纠?】（2013，長(zhǎng)沙）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（ ） 【考點(diǎn)】圖像與系數(shù)的關(guān)系【解析】觀察題中圖象可知，拋物線的開(kāi)口方向向上，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，且當(dāng)時(shí)，。顯然選項(xiàng)A、B、C都正確，只有選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 【答案】【例4】（2011，山西）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）方程的兩根是，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【考點(diǎn)】圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【解析】由圖象可知，故A錯(cuò)誤；因?qū)ΨQ軸為直線，所以，故

8、C錯(cuò)誤；由圖象可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故D錯(cuò)誤；由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知B選項(xiàng)正確，【答案】【針對(duì)訓(xùn)練】 1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖象可能是（ ） 2、（2011，重慶）已知拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（ ） 3、在反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則二次函數(shù)的圖象大致是（ ） 4、如圖所示，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，且與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，其中，下列結(jié)論：；，其中正確的選項(xiàng)有_?！纠?】已知關(guān)于的函數(shù)，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值和最小值【針對(duì)訓(xùn)練】1、 已知函數(shù)，試求當(dāng)?shù)淖畲笾岛妥钚≈?、 已知函數(shù)，試求當(dāng)?shù)淖畲笾?/p>

9、和最小值【例6】已知二次函數(shù)其中滿足和，則該二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線_。【針對(duì)訓(xùn)練】1、 已知是二次函數(shù)的圖像上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值是_.【例7】已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。【針對(duì)訓(xùn)練】1、 若二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是_。講到這兒了考點(diǎn)四：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例1】（2011，重慶）某企業(yè)為重慶計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件，受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格（元）與月份（，且取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：月份123456789價(jià)格（元/件）56058060062064066068070

10、0720隨著國(guó)家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格（元）與月份（1012，且取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)：（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢(shì)，直接寫(xiě)出與之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）若去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，該配件在1至9月的銷售量（萬(wàn)件）與月份滿足函數(shù)關(guān)系式（19，且取整數(shù)）10至12月的銷售量（萬(wàn)件）與月份滿足函數(shù)關(guān)系式（1012，且取整數(shù)）求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn)；（3

11、）今年1至5月，每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒(méi)有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高，與此同時(shí)每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少這樣，在保證每月上萬(wàn)件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元的任務(wù)，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，估算出的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【考點(diǎn)】涉及函數(shù)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，一般還涉及不等式，最值問(wèn)題?！窘馕觥浚?）把表格（1）中任意2點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式可得的解析式把（10，73

12、0）（12，750）代入直線解析式可得的解析式，；（2）分情況探討得：19時(shí)，利潤(rùn)=×（售價(jià)各種成本）；1012時(shí)，利潤(rùn)=×（售價(jià)各種成本）；并求得相應(yīng)的最大利潤(rùn)即可；（3）根據(jù)1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元得到關(guān)系式求值即可。解：（1）設(shè)，則，解得，（19，且取整數(shù)）；設(shè)，則，解得，（1012，且取整數(shù)）；（2）設(shè)去年第月的利潤(rùn)為元19，且取整數(shù)時(shí)=4時(shí)，最大=450元；1012，且取整數(shù)時(shí)，=10時(shí)，最大=361元；（3）去年12月的銷售量為0.1×12+2.9=1.7（萬(wàn)件），今年原材料價(jià)格為：750+60=810（元）今年人力成本為：50×（1+2

13、0%）=60元5×1000×（1+）8106030×1.7（10.1×）=1700，設(shè)，整理得，解得9401更接近于9409，0.1，9.8，10或980，1.7（10.1×）1，10【答案】（1）（1012，且取整數(shù)）；（2）=10時(shí)，最大=361元；（3）10【針對(duì)訓(xùn)練】1、（2013湖北孝感）在“母親節(jié)”前夕，我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛(ài)貧困母親”的活動(dòng)，他們購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤(rùn)捐給貧困母親。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若每件按24元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出36件；若每件按29元的價(jià)格銷售時(shí)，每天能賣出21件假

14、定每天銷售件數(shù)y（件）與銷售價(jià)格x（元/件）滿足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù)。（1）求y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）；（2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，才能使每天獲得的利潤(rùn)最大？【例2】（2010，孝感）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上（1）二次函數(shù)的解析式為= ；（2）證明點(diǎn)不在（1）中所求的二次函數(shù)的圖象上；（3）若為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)軸上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則K點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使得？求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

15、【考點(diǎn)】考察函數(shù)的圖像與性質(zhì)，與平面圖形綜合為主，一般涉及存在性問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題?！窘馕觥浚?）由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線解析式（2）把該點(diǎn)代入拋物線上，得到的一元二次方程，求根的判別式（3）由直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，使為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則，且，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)點(diǎn)作軸于，則，又為中點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，可得到，設(shè)，由題意可以解出（1）解：（2）證明：設(shè)點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則有：，整理得，原方程無(wú)解，點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上（3）解：或二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，則，又為中點(diǎn)，由于和可求得點(diǎn) 軸，設(shè)

16、，由題意得：解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)和，使得【答案】（1）； （2）見(jiàn)上述解答過(guò)程； （3）存在，點(diǎn)和【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2） 點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)、軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3） 在（2）的條件下，連接，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接。判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)和點(diǎn)不重合，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)【答案】（1）（2）（3）平行四邊形；或【針對(duì)訓(xùn)練】1、（2012，泉州）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)（1）求的值；（2）通過(guò)

17、操作、觀察，算出的面積的最小值（不必說(shuō)理）；（3）過(guò)點(diǎn)作直線，與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)：在直線l的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形是否為梯形？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)指出四邊形的形狀【基礎(chǔ)闖關(guān)】1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么這個(gè)函數(shù)的解析式為。 2、已知二次函數(shù)，則函數(shù)的最小值是。3、把拋物線向上平移5個(gè)單位，所得拋物線的解析式為。4、（2011，濟(jì)寧）將二次函數(shù)化成的形式，則。5、（2006，陜西）如圖，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是（） 6、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（ ） 7、（2013，蘭州）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）（1，3） （，3） （1，） （，）8、（2013，泰安）對(duì)于拋物線，

18、下列結(jié)論：拋物線的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸為直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；時(shí)，隨的增大而減小，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（） 1 2 3 49、（2013，貴陽(yáng)）已知：直線過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，如圖所示（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_（2）若直線經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)（0，11），求出該直線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若有一條直線與直線關(guān)于軸成軸對(duì)稱，求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)10、（2010，虹口區(qū)一模）已知二次函數(shù)，解答下列問(wèn)題：（1）用配方法將該函數(shù)解析式化為的形式；（2）指出該函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，以及它的變化情況【拓展提高】1、將二次函數(shù)的圖象沿軸向上平移3個(gè)單位，那么平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。2、

19、若拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值是 。3、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且過(guò)點(diǎn)，那么二次函數(shù)的解析式為（） 4、（2010，蘭州）拋物線圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則、的值為（ ） ， ， ， ，5、（2010，蘭州）拋物線圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ） 6、（2012，南寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩條位置確定的拋物線，它們的對(duì)稱軸相同，則下列關(guān)系不正確的是（） k=n h=m kn h0，k0 7、（2010，北京）將二次函數(shù)化為的形式，結(jié)果為（ ） 8、（2012，重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過(guò)企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時(shí)進(jìn)行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份（16，且取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表： 月份x（月） 1 23 45 6 輸送的污水量y1（噸） 12000 6000 4000 3000 24