注意逆向思維的應(yīng)用

1、注意逆向思維的應(yīng)用嘉祥新一中 魯玉軍思維就是人的理性認(rèn)識的過程，根據(jù)思維過程的指向性，可將思維分為：常規(guī)思維（正向思維）和逆向思維，中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆向思維，中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的逆運(yùn)算、否命題、反證法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學(xué)解題中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些數(shù)學(xué)總是按照這種思維方式則比較困難，而且常常伴隨有較大的運(yùn)算量，有時(shí)甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則反，往往可以使 問題簡化，經(jīng)常性地注意這方面的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。在數(shù)學(xué)解題中“定義法”是一種比較常見的方法，但定義的逆用容易被人們忽視，只要我們重視定義

2、的逆用，進(jìn)行逆向思維，就能使有些問題解答簡捷。例1 如圖已知在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，求其解析式。分析：由已知易得周期T=，=2，此題的難點(diǎn)是定，而且極易出錯(cuò)，只要我們逆用“五點(diǎn)法”的定義，則問題極易解決，其中點(diǎn)為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)，其相為。即：，所以，最后定A=，所以。分析法的實(shí)質(zhì)是“執(zhí)果索因”，要證明結(jié)論成立，只需找使結(jié)論成立的充分條件即可。這種方法在證明題中用得較多，這也是逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的具體運(yùn)用。例2 設(shè)f (x)=tanx，當(dāng)時(shí)，且x1x2，證明：分析：要證明原不等式成立，即證只需證即證即（）即cos(x1-x2)<1由已知易得：cos(x1-x2)<1成立，故原不等式

3、成立。例3 已知正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，求證：a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差數(shù)列。分析：要證原結(jié)論成立，只需證2（b2-ac）= a2-bc+c2 - ab即2b2+(a+c)b=(a+c)2而2b=a+c 所以上式成立，所以原結(jié)論成立。 反證法就是把假設(shè)結(jié)論的反面成立，由此導(dǎo)出與題設(shè)、定義、公理相矛盾的結(jié)論，從而推翻假設(shè)，肯定結(jié)論的證明方法，這種應(yīng)用逆向思維的方法，可使很多問題處理起來相當(dāng)簡捷。例4 有f(x)=x2+ax+b 求證：|f(1)|、|f(2)、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于。分析：此題直接證比較困難，但只要用反證法則較為簡便。設(shè)、所以+2+1+=2 （1）但+2

4、+2+=|（1+a+b）2（4+2a+b）+（9+3a+b）|=2 （2）（1） 與（2）矛盾，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立。例5 如圖，已知a、b為異面直線，A、Ba，C、Db，求證：AC和BC是異面直線。分析：如果按異面直線的定義直接證明比較困難，但如果從反面證明則比較簡單，如果AB與CD 共面，則得出a、b共面，與a、b是異面直線矛盾，因此，AB、CD為異面直線。在有些數(shù)學(xué)問題中，正面復(fù)雜，反面簡單，只要逆向分析，進(jìn)行排除，就能使問題得到簡捷的解答，同時(shí)這也是解有些選擇題的有效捷徑解法。例 若二次函數(shù)在區(qū)間-1，1內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)C，使f（C）>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。分析：此題從反面分析，采取補(bǔ)集法則比較簡單。如果在-1，1內(nèi)沒有點(diǎn)滿足f（C）>0則取補(bǔ)集為，即為滿足條件的p的取值范圍。綜上所述：在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)問題的特點(diǎn)，在應(yīng)用常規(guī)數(shù)學(xué)思維的同