二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法

1、二階線性常微分方程的號級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用哥級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用哥級數(shù)來表示微分方程的解呢？八、一一一-、一例 1、求方程y-xy=0的通解解：設(shè)y=a0+ax+a2x2+anxn+為方程的解，這里a(i=0,1,2,n,)是待定常系數(shù)，將它對x微分兩次,有n2ny=21a232a3xn(n-1)anx(n1)nan1x將y,y的表達式代入方程，并比較的同次哥的系數(shù)，得到生xan=an_2n-1因而1八11八1.a5=,a6=0,a7=二=77,a8=0，a9=1,2!63!4!最后得111a2k1=-=一k(k-1)!k!對一切正整數(shù)k成

2、立。將aj(i=0,1,2,)的值代回y=a0+ax+a2x2+anxn+就得到52k1y=xx3-2!k!42k=x(1x2)=xex2,2!k!這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其哥級數(shù)解？或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用哥級數(shù)來表示呢？級數(shù)的形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何？這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過程，可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程,2.dy,、dy,、-2p(x)q(x)y=0dxdx及初值條件y(%)=y0及y(xo)=

3、yo的恒況。不失一般性，可設(shè)=0,否則，我們引進新變量t=x-x0,經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時對應(yīng)于x=%的就是t0=0了，因此，今后我們總認為=0。、一d2ydy.一一一.一7E理 10 右方程一r+P(x)一*q(x)y由系數(shù)p(x)和q(x)都能展dxdx成x的哥級數(shù)，且收斂區(qū)間為|x|R,則方程Jy+p(x/yq(x)y制dxdx形如OO、ny=anxn=0的特解，也以|x|R為級數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件，系數(shù)-x,-2x和-4可看作是在全數(shù)軸上收斂的哥級數(shù)，故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。但有些方程，例如n階貝賽爾方程x2d2xdy(x2-n2)y=0dxdx

4、這里n為非負常數(shù)，不一定是正整數(shù)，(d2+p(x)a+q(x)y=0)dxdx2在此p(x)=1,q(x)=1-n2,顯然它不滿足定理 10 的條件，因而不能xxoO_y-n肯定有形如y=乙anx的特解。但它滿足下述定理 11 的條件，從n=0而具有別種形狀的哥級數(shù)解。d2ydy7E理 11 右萬程-2+p(x)“q(x)y由系數(shù)p(x),q(x)具有dxdx這樣的性質(zhì)，即xp(x)和x2q(x)均能展成x的哥級數(shù)，且收斂區(qū)間為d2V、一,、dy_/、.一八|x|R,若a0#0,則方程丁7p(x匚丫q(X)y國形如dxdxy=x、anxn=0即8n：y=anxn=0n的特解，口是一個特定的常數(shù)

5、，級數(shù)y=anx也以|x|Rn=0為收斂區(qū)間。若=0,或更一般的，%=0(i=0,1,2，m-1),但am#0,則引入記號P=+m,bk=am4k，則QOooOCl一n:m-kky=xanx=xaamx=xbkxn=mk=0k=0這里b。=am#0,而口仍為待定常數(shù)。例 7 求解 n 階貝賽爾方程x2嗎+x曳+(x2-n2)y=0。dxdx解將方程改寫成222dy1dyx-ndx2xdxx2易見， 它滿足定理 11的條件(xp(x)和x2q(x)均能展成x的哥級數(shù)， 且收斂區(qū)間為|x|(R),且xp(x)=1,x2q(x)=x2n2,按展成的哥級數(shù)收斂區(qū)間為-X8,由定理 11,方程有形如y=

6、0,ak3kxk=08_ak的解，這里a。#0,而ak和口是待定常數(shù)，將y=akx代k=0、2d2ydy22f_入：xyr+xj+(xn)y=0 中，得 dxdx00 x2%(ak)(ak-1)akxakk100 x(ak)akxk=100,22-ak十(x-n)乙akx=0,k田把x同哥次項歸在一起，上式變?yōu)镺08v(二k)(二k-1)(：k)-n2akxak，akxak2=0k-0k-0令各項的系數(shù)等于 0,得一系列的代數(shù)方程a0二2-n2=0a1(1)2-n2=022ak(:k)-nak_2=0k=2,3,22-因為a。#0,故從a0口-n=0解得的兩個值a=n和豆=-nd2ydy先考慮

7、a=n時方程x=+x丁+(x-n)y=dxdx解，這時我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數(shù)a=n代入以上方程組，得到a=0k(2nk)或按下標為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有從而求得a2k-1=0k=1,2,a2k12k12n2k1a2k一a2k-2k=1,2,2k2n2ka?a0221n10的一個特ak。把a0422!n1n2a000-a一k乙akx得到方程k=0,2.2dydy,22、八x2x(x-n)y=0dx2dx2d2ydy,22、一既然是求x菽+x+（x-n）y=的特解，我們不妨令12nn1其中函數(shù)-S）定義如下:sF-xxedx；當s0 時，r（s）=0ss.:n1=n!;注意到

8、函數(shù)的性質(zhì)，即有數(shù)，稱為n階貝賽爾函數(shù)。因此，對于n階貝塞爾方程，它總有一個特解Jn（X）。為了求得另一個與jn（X）線性無關(guān)的特解，我們自然想到，求a二一n2d2ydy,22、一時方程Xr+X+（X-n）y=0的形如dXdxcO工-nkakXk=0的解，我們注意到只要n不為非負整數(shù)，像以上對于二n時的求解過程n為正整數(shù)COn-而y1二a0Xk=1k-1a02k2k!n1n2nk2k-nX變?yōu)镼OV1=k=02knXk!（n+k）（n+1）（n+1）i2JQOV1=k力k2kn-1Xk!nk12媼幻是由貝塞爾方程,富+啜+八段廣0定義的特殊函一樣，我們總可以求得a2k,=0k=1,2,2k,2

9、k!-n1-n2-nkk=1,2,a02-n2=022a1(：1)2-n2=0使之滿足ak(k)2-n2ak-2二0中的一系列方程，因*=2,3,V2-naxoO+z02kk=12k-1a。2k-nxk!-n1-n2-nk2d2ydx2dy/2x(xdx2、-n)y=0的一個特解。此時，若令a0V2-n=axoO+Ek=1k-1a。22kk!-n1-n2-nk2k-nx變y2oO=zk=02k-nxk!r(-n+k+1)V2=J_nx稱 J_n（x）為階貝賽爾函數(shù)。利用達朗貝爾判別法不難驗證級x#0）都是收斂的，因此，當n不為非負整數(shù)時，Jn（x）和J_n（x）因為它們可展為由x的不同哥次開始

10、的級數(shù)，從而它們的比不可能y=CjJnxc2J_nx這里G,C2是任意常數(shù)。此情形的（*）和-（乂）稱為第一類貝塞爾函數(shù)。yi00n-a0 x、k=1k-1a。2k2k!n1n2nk2k-nxV2-nax00十Sk=1k-1a。2k2k!-n1-n2-nk2k-nxV2.naxoO十Sk=1k-1a02k22kk!-n1-n2-nk2k-nx2d2ydy,2都是方程xJF.qjxdy=0勺解，而且是線性無關(guān)的,、,2d2y是常數(shù)。于是萬程XT/+x-n）y=0勺通解可寫為2例8求萬程 xy+xy+4x2_25,y=0 的通解。解引入新變量t=2x,我們有dydydt2dydxdtdxdtd2y

11、ddydtd2y2242dxdtdtdxdt將上述關(guān)系代入院方程，得到2d2ydy(29)t2y+t+t2|y=0dt2dtd05m),物理發(fā)射速度為V0,因此， 當物體剛剛離開地球表面時，我們有:=口蟲=丫,即應(yīng)取初值條件為dt一一，dr當t=0時，r=R,v0dt.2方程萼不顯含自變量t,應(yīng)用 4.3.1(可降階的一些方程類型)dtr的方法，把方程降階成為一階方程dv,Mv二-k7drr解得v21二kMc2r注意到這時初值條件為2v0kMd2rdt2kMr2c二一因而2VokM成立。因而最小的發(fā)射速度由下面式子決定2kMRmMM一.F=kF,勃有g(shù)=kM2,于是kM=gR2v0=,2gR=29.816310511