數(shù)值計算方法教案5-1

1、第5章多項式逼近與曲線擬合教學(xué)目的1.理解連續(xù)函數(shù)空間，正交多項式理論；2.掌握最正確平方逼近及 最小二乘逼近函數(shù)的求解方法；3.理解非線性模型舉例的有關(guān)知識的根底上會求模型的逼近函數(shù)。教學(xué)重點及難點重點是最正確平方逼近及最小二乘逼近函數(shù)的求解。難點是會求非線性模型的逼近函數(shù)。教學(xué)時數(shù) 6學(xué)時教學(xué)過程§ 1 引言在科學(xué)計算中有下述兩類逼近問題。1 關(guān)于數(shù)學(xué)函數(shù)的逼近問題由于電子計算機(jī)只能做算術(shù)運算，因此，在計算機(jī)上計算數(shù)學(xué)函數(shù)(例如 f(x) ex, f (x) sin x等在有限區(qū)間上計算)必須用其他簡單的函數(shù)來逼近(例如用多項式 或有理分式來逼近數(shù)學(xué)函數(shù)，)且用它來代替原來精確的

2、數(shù)學(xué)函數(shù)的計算。這種函數(shù)逼近的特點是：(a) 要求是高精度逼近；(b) 要快速計算(計算量越小越好)。2 建立實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型給定函數(shù)的實驗數(shù)據(jù)，需要用較簡單和適宜的函數(shù)來逼近(或擬合實驗數(shù)據(jù))。例如，y f (x)實驗數(shù)據(jù)xX1X2Xmf(x)y1y2ym希望建立y f (x)數(shù)學(xué)模型(近似表達(dá)式)，這種逼近的特點是：(a) 適度的精度是需要的；(b) 實驗數(shù)據(jù)有小的誤差；(c) 對于某些問題，可能有某些特殊的信息能夠用來選擇實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。事實上，我們已經(jīng)學(xué)過一些用多項式逼近一個函數(shù)y f (x)的問題，例如(1)用在x x0點Taylor多項式逼近函數(shù)設(shè)y f (x)在a,b上各階

3、導(dǎo)數(shù)f(x)(i 0,1, ,n 1)存在且連續(xù)，x。a,b，那么有f(x)f(Xo) f'(xo)(xXo)f"(Xo)(X Xo)n Rn(X)n!Pn(x) Rn(x)其中R(x):(n 1)()(n 1)!(X Xo)n 1, Xa,b,在Xo和x之間。曰是,可用Pn(x)( n次多項式)來逼近f (x)，即f(x)R(x),x a,b且誤差為:Rn(x) f(x) Pn(x)且當(dāng)f(n1) (x) Mn時，那么有誤差估計Rn(x) (n"；)!Xon 1,a x b顯然有:f (xo)Pn(Xo)f (k)(xo)Pn(k)(xo),(k1,2,n)說明P

4、n(x)是利用在X Xo處f (X)函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值來摸擬 f (X)的性質(zhì)，且當(dāng)X越接 近于xo，誤差就越小，x越偏離xo，誤差就越大。由此，在 a,b上要提高Pn(x)逼近f (x)的 精度，就要提高 Pn(x)的次數(shù)，這就使得計算量增大。(2)用插值多項式逼近函數(shù)設(shè)(xi, f (x ),(i0,1,n)那么存在唯一 n次插值多項式R(x)使Pn(Xi) f(Xi),(i 0,1, ,n)其中xi(i o,1, ,n) a,b且互不相同，于是 R(x)可作為f (x)近似函數(shù)，即f(x) Pn(x),x a,b插值多項式逼近f (X)也是利用n 1個點上f(x)的函數(shù)值來模似f (X)

5、的性質(zhì)，在n 1個 節(jié)點Xi 上 Pn(x)逼近f (X)無誤差，當(dāng)X Xi時，f (X) Pn(x), Pn(x)逼近f (x)，也可能使誤 差|Rn(x)|f(x) Pn (x) |較大。如果實際問題要求：|f(x) Pn(x)|對x a, b(其中是給定精度要求)，用插值多項式Pn(x)去逼近f(x)就可能失敗。例1設(shè)f(x) ex,x 1,1,試考查用4次Taylor多項式R(x)逼近f(x)的誤差。解 用在x 0展開的4次Taylor多項式逼近f (x);1 2F4(x)1 x x2&(x) ex Fn(x)1 4x2415x120e ,x 1,1其中在x和0之間。于是有誤差

6、估計:R(x)|1120|x|5 emax|R4(x)|e1200.0226且有15e 5xR4(x)x ,當(dāng) 0x1120 120誤差P4(x)隨x增加(0x1)而增加(對x 1,1同理可說明)，說明誤差P4(x)在整個區(qū) 間-1，1不是均勻分布，如圖 3-1。現(xiàn)提出下述函數(shù)逼近問題。問題：設(shè)f (x)為a,b上連續(xù)函數(shù)，尋求一個近似函數(shù)P(x)(多項式)使在a,b上均勻逼近f(x)。下面給出最正確逼近的數(shù)學(xué)提法：A:Ca,b f(x)| f(x)為a,b上實連續(xù)函數(shù); A是結(jié)構(gòu)復(fù)雜難于計算的連續(xù)函數(shù)類B:nHn Pn(x)|Pn(x)玄匚乂二耳為實數(shù) ； B為較簡單且便于計算的函數(shù)類，例如

7、為代i 0數(shù)多項式或三角項式或分式有理函數(shù)等。設(shè)給定f(x) Ca,b,要求在B中尋求一個函數(shù) P(x)使誤差f(x)- P(x)在某種度量意義 下最小。1. 最正確一致逼近設(shè)給定f(x) Ca,b, max| f(x) R(x)|,作為度量誤差f(x)-P(x)的“大小標(biāo)準(zhǔn),a x bPn(x) Hn.尋求次數(shù)n的多項式Pn(x) Hn使最大誤差最小，即max|f(x)Pn (x) |Pn(x) | max | f (x)a x b如果這樣多項式 Pn(x)存在，稱Fn (x)為f(x)在a,b上n次最正確一致逼近多項式。這個逼近問題近問題稱炒最正確一致逼近(或稱為Chebyshev逼近，或

8、稱為極大極小逼近)。在理論上可以證明，對任意的a,b上連續(xù)函數(shù)f(x)的n次最正確一致逼近多項式Pn (x)存有且唯一。最正確一致逼近主要用于初等函數(shù)的計算。b 2 122最正確平方逼近 以均方誤差(x)(f(x) Pn(x) dx 2作為度量誤差f(X)-P(X)的'大 a小“標(biāo)準(zhǔn)，P(x) Hn.尋求P(x) H n,使均方誤差最小，即b21；£皿(x)(f(x) Pn(x)2dx 2Pn(x)Hnb21=a (x)(f(x) Pn(x) dX 2其中(x)0為權(quán)函數(shù)。如果這樣的多項式Pn (x)存在，稱Pn(x)為f (x)在Hn中的最正確平方逼近多項式。這種逼近問題稱

9、為最正確平方逼近。對于離散數(shù)據(jù)的逼近問題有：3 最小二乘逼近如果yf( x)僅僅在有限個點上給定，即 y f(x)實驗數(shù)據(jù)XX1X2Xmf(x)y1y2ym尋求次數(shù) n多項式P(x) Hn,使編差平方(或帶權(quán))和最小，即mminPn(x) Hni(f(Xi) Pn(Xi)2m(f (Xi) Pn(Xi)2如果這樣的多項式 Pn (x) H n存在，稱R(X)為實驗數(shù)據(jù)的最小二乘逼近函數(shù)或稱為實驗 數(shù)據(jù)的最小二乘擬合多項式或稱為y f (X)的經(jīng)驗公式(數(shù)學(xué)模型)。對于給定f (x) Ca,b，需要研究的問題是：(1) 在各種度量意義下最正確逼近多項式Fn (x) H n是否存在，是否唯一。本章

10、主要講座最正確平方逼近，最小二乘逼近Fn (x) H n存在性及唯一性。(2) 如何具體尋找或構(gòu)造各種最正確逼近意義下多項式Fn (x)。§ 2連續(xù)函數(shù)空間，正交多項式理論2. 1連續(xù)函數(shù)空間a,b上所有實連續(xù)函數(shù)集合記為Ca,b，關(guān)于函數(shù)的加法及與實數(shù)乘法運算為一線性空間，對于f(x) Ca,b稱f為Ca,b中一個元素，下面將在Ca,b內(nèi)引進(jìn)內(nèi)積，范數(shù)等概念。1.內(nèi)積設(shè)f ,g Ca, b為任一對元素，定義b(f, g) a (x)f (x)g(x)dx為一實數(shù)稱為兀素f ,g Ca,b的內(nèi)積，其中(x)稱為權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)的定義：b的非負(fù)整數(shù)K積分a(x)滿足三點要求：(1) (x)

11、0,x a, b且于a,b內(nèi)可積；(2)對任給k(x)x dx存在且為有限值；(3)對于a,b上任何非負(fù)連續(xù)函數(shù) g(x)如果b(x)g(x)dx 0那么有g(shù)(x) 0。滿足這三點要求的(x)可稱為權(quán)函數(shù)例如在【-1, 1 】上(x)=1 ,(x)=1/ 1 x2內(nèi)積運算滿足交換律內(nèi)積運算數(shù)乘算律顯然，連續(xù)函數(shù)空間 Ca,b中元素的內(nèi)積滿足下述性質(zhì)(a) (f, g) (g, f), f,g Ca,b(b) (Cf ,g) C(f ,g),C 為常數(shù)(c) (f1 f2,g) (f1,g) (f2,g)內(nèi)積運算對加法具有分配律(d) (f, f) 0.fCa,b且(f,f)0當(dāng)且僅當(dāng)f (x)

12、0,又稱C a,b為內(nèi)積空間。函數(shù)自身內(nèi)積具有非負(fù)性3. 范數(shù)定義1關(guān)于函數(shù)f(x) Ca,b的某個實值非負(fù)函數(shù) N(f) |f|,如果滿足下述條件:10 | f | 0,| f | 0當(dāng)且僅當(dāng)f 0非負(fù)性2° |cf | |c| f |(c為實數(shù))齊次性30 三角不等式：對任意f(x)， g(x) Ca,b，有 | f g | | f | |g|稱N(f) |f|,為f (x)的范數(shù)或模。定義 2( 1)設(shè) f (x) Ca,b，稱 N (f) | f | max f (x)為 f 的“ 范數(shù)a x b(2) 設(shè) f (x) Ca,b稱 N2(f) | f |2 bf2(x)dx1

13、/2 為 f 的 “2 范數(shù)或模。ab(3) 設(shè) f(x) Ca,b稱 N/f) | f |1| f(x)|dx為 f 的 “1 范數(shù)a可以驗證N (f),N2(f)滿足范數(shù)的3個條件1° 3° (見定理1)。定理1設(shè)f ,g Ca,b那么有(1) 哥西-許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式|(f,g)| |f|2 |g|2(2) 三角不等式 | f g|2 | f |2 |g|2證明(1)對任對f,g Ca,b(不妨設(shè)g 0 )及任何實數(shù)t,那么有0 (f tg, f tg)(f, f) 2t(f,g) t2(g,g)2c bt at , t R其中a (g,g)

14、 0,b2( f ,g),c (f, f)那么有 b2 4ac 4( f , g)2 4(g, g ) ( f , f) 0即|(f,g)| |f |2 |g|2(2)考查| f g |2 (f g, f g) (f, f) 2(f,g)(g,g)由哥西-許瓦茲不等式，那么有Ilf g|l2 II f Il2 2|(f,g)| |g|；2 2II f II2 2| f |2|g|2 |g|22 (II f II2 IIgII2)3.距離概念定義 (cosix,cosix) (1, 1) = dx 2 設(shè) f,g Ca,b,稱d(f,g) f g a為f,g之間距離(其中a 1,或2 )。4.

15、正交函數(shù)組(x)f (x)g(x)dx定義 4( 1 )設(shè) f(x),g(x) C a,b ,如果(f,g)(3)如果(i , j)0,當(dāng) ij1,當(dāng) ij稱i為a,b上帶權(quán) x標(biāo)準(zhǔn)正交組。例 2 三角函數(shù)組 1,cosx,sin x,cosnx,sin nx 于上組成一正交組解顯然有(1) (cosix,cosjx)cosixcos jxdx 0當(dāng) ij,且i, j 1(2) (sinix,sin jx)0,當(dāng) ij，當(dāng) ij0f和 g在a, b上為帶權(quán) x正交。2設(shè)有函數(shù)組0(x), 1(x), n(x)其中 i(x) C a,b (i0,n)如果(i , j)b0,當(dāng) ija (x) i

16、 (x) j (x)dxt八A0, 當(dāng) ij稱 匚為a,b上帶權(quán)正交函數(shù)組。(1,si nix)0, (1,cosix) 0, i 1, n5 函數(shù)組的線性無關(guān)定義5設(shè)有函數(shù)組0 (x),1(x),n(x)，其中 i(x) Ca,b(i 0,n)(1)如果存在不全為零數(shù) a0,a1,an使ao o(x)印 1(x)ann(x)0，對所有x a,b都成立，那么稱函數(shù)組i n 0在a,b上為線性相關(guān)。(2)如果ao o(x) a1 1(x)ann(x)0 ,對所有x a,b成立，那么 ao a1an 0，稱i i 0在a,b上是線性無關(guān)。例3函數(shù)組1, x ,xn，其中xiCa,b (i0,1,n

17、)于a,b為線性無關(guān)。證明反證法。設(shè)1,x ,xn于a,b為線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)Co,®, Cn使Pn(X) Co 5XCnXn0( 2。1)對所有x a,b (2。1)式成立，而 Pn(x)為次數(shù)n多項式，最多有n個零點，而(2。1)式說明Pn(x)有無窮多零點，矛盾。定理2 Ca,b內(nèi)函數(shù)組o(x), 1(x), n(x)于a,b線性無關(guān)充要條件 是行列式(0 ,0)(0 ,1)(0,n)G( o, 1,n)(1,0 )(1,1)(1,n)0(n,0 )(n,1)(n,n)行列式G( o, n)稱為函數(shù)組 j的Gram行列式。證明 必要性：設(shè)0, 1, n于a,b線性無關(guān)

18、，采用反證法。假設(shè)行列式G o, 1, , n0，于是，齊次方程組n(i, j)Cj o,(i 0,1,n)j 0有非零解Co,C1丄Cn，即存在不全為零解Cj( j 0,L n)使是，( i, j)cj 0,(i j0ncjj0j ( x)由 22式有0,1, n)22( y, i )(in( c jj00,1,j ( x),n)i)ncj(j0從而有，( y, y)(y,cj0j (x)ncj (y, j ) j00,當(dāng)xa,b即存在不全為零數(shù) c jn*y c jj0j ( x)0當(dāng) xa,b說明 0, 1,n于a,b線性相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故01n0充分性：設(shè)G 0 ,1, n0 ，求證

19、0,1 ,o, 1, n于a,b線性相關(guān)，于是，存在不全為零, n 于 a, b 線性無關(guān)。反證法：假設(shè) c0, c1,cn, 使c0 0(x) c1 1(x) Lcn n(x) 0,x a,b2.3)2.3式兩邊與 i 作內(nèi)積得到c0 ( i , 0) c1( i , 1 ) (i 0,1, ,n)cn ( i , n ) 02.4)由于 ci 不全為零，說明齊次方程組 2.4有非零解 c0, c1,cn, 故系數(shù)矩陣的行列式為零，即G0,1, n0與假設(shè)矛盾。2. 2正交多項式理論定義6設(shè) 0x,心,nx為Ca,b中線性無關(guān)組，稱集合Span 0, nS(x)nSxai ix,ai為實數(shù)為

20、由0, n生成的集合。i 0顯然，Span 0, n為Ca,b的一個子空間。下面討論，對于給定a,b上權(quán)函數(shù)x，如何由 Hn中基1,x, ,xn構(gòu)造Hn中正交基 0x, 1x, , nX。定理3 格蘭姆-史密特Gram-Schmidt 正交化1 設(shè) HnSpan1,x, ,xn ;2x 0為給定的權(quán)函數(shù)在 a,b任何一個子區(qū)間不恒為零的可積函數(shù)。那么由基1, x, ,xn ;可構(gòu)造于a,b以X為權(quán)函數(shù)的正交多項式組 0x, 1x, , nx；0(x)1k 1k(x)xkCkj j(x)j 0(xk)其中系數(shù) Ckj-2,(j0, ,k 1)(j , j )(k 1,2,n)其中k(x)為首項(

21、即xk項)系數(shù)為1的k次多項式，k(x) Hn(k 0,1, ,n)。證明 (1)令 0(x) =1。(2)構(gòu)造 1(x) x Go 0(x),選取 c10 使0 ( 1, 0) (x C10 0, 0) (x, 0) C10 ( 0, 0)即選取c10(x, 0)(0,o)(3)設(shè)已構(gòu)造 o(x), i(x), k i(x), (k 1),且滿足(a) i(x)是首項系數(shù)為1的i次多項式(b)( i, j)0,當(dāng) i j(i, j 0,1, ,k 1)現(xiàn)由xk及0, 1, k 1組合構(gòu)造k 1k(x) xkCkj j(x)j 0選擇系數(shù) Cki使(k, i) (xk, i) Cki( i,

22、i)0即選取cki舉斗(i 0,1, ,k 1)(i , i )于是，得到0(x), 1(x), n(x)為a,b具有權(quán)函數(shù)(x)的正交多項式組，即(i,b.j) a (x) i(x) j(x)dx 0,當(dāng) i j推論 假設(shè)(“設(shè) 0(x), 1(x), n(x)為a,b帶權(quán)(x)的正交多項式組。其中i (x)首項系數(shù)為1的i次多項式；(2)設(shè)P(x) Hn為任一次數(shù)n多項式，那么 0, 1, n于a,b線性無關(guān)；P(x)可由正交多項式組表示即nP(x)Ci i(x)，其中 ci 0(P, i)(i, i)(i0,1"證(2)由設(shè) P(x) a0 a1xnanX(2.5)按照k(x)

23、定義有xkk(x)k 1Ckj j(x),(kj 01,2,n)(2.6)將(2.6)代入(2.5)進(jìn)行合并整理即得P(x) C0 0(x) C1 1(x)Cn n(x)推論說明0(x), 1(x), n(x)為Hn中一個正交基設(shè) ox, ix, nx為a, b具有權(quán)函數(shù)x的正交組，其中ix是首項系數(shù)為1的i次多項式，那么 kx滿足遞推公式：且于a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)數(shù)為1的k次多項式x的正交多項式組kx n 0是唯一的，其中kx是首項系證明顯然x kx1x為k次多項式,由推論，那么有x k(x) k1Xkj j(x)j 0(2.7)用 s(x)(s0,1,k與2.7兩邊作內(nèi)積，那么有0X1Xk

24、1x其中k 11x1(xk 1) k(x)k 1 k 1(x), (k 1,2, n 1)(x k, k)k , k(k, k )k 1(k 1 , k 1 )(x k, s)(所以(x k,s(s,y,(s 0,1,k)(1)考查s(S0,1, ,k2)(X k, ss) s)其中(xs)a (x)xk(x) s(x)dx ( k,x s) 0(x s(x)s 1Ci i(x)i 0所以,0, (s 0,1, ,k 2)考查k 1(x k,k 1(k , x k 1 )1 , k 1)(x ki(x)k(x)1Ci0i (x),或 x k1(x)k(x)k 1Ci i(x)i 0(x k,

25、k)是,x k(x)1(X)k 1 k 1( X)k 1 k(x)或 k1(X)(xk( X) k 1k 1(x)(k1,2,n 1)定理5好有n個不同的實根是a, b上帶權(quán)(x)的正交多項式序列,那么n次多項式n(x)在(a,b)內(nèi)恰1.勒讓德(Legendre )多項式取a,b多項式組1,1，權(quán)函數(shù)(x)1，那么由定理4可得于1,1具有權(quán)函數(shù)(x) 1的正交Po(x)P1(x)P2(X)x2P3(x)(x,Po) p po (Po, Po) (x2,Po) p (Po,Po) Po(x3, Po) Po(Po, Po)(xj)1(1,1)(x2,P1) PP1 (P1, Pi) (x3&#

26、174;)P1(P1, P1)13(x3，2)-x277 p2 (P2, P2)且有(Pi,Pj) o,當(dāng) i jPk(X)為首項系數(shù)為1的k次多項式。定義7 n次多項式Pn(X)-1-人(x2 1)n2 n! dx(n 0,1,2,)稱為Legendre多項式。顯然有R(x)P(x)P2(x)P3(x)Po(x)P(x)3 尹(x)(2。8)-x5 2P3(x)(2n)!Pn(x) *?R(X)2 (n!)(1)求Pn(x)的首項系數(shù)d n即求一(x2 1)n首項系數(shù)，由于(x) (x2 1)n是2n次多項式，即為求x2n的n階導(dǎo)數(shù)后的 dx系數(shù)2n 1(x) 2nx2n 2(x) 2n (

27、2 n 1)x(n)(x) 2n(2n 1) (2n (n 1)x2n n2n(2n 1) (n 1)n 2 1 xnx n!(2n)! nXn!從而，Pn(x)首項系數(shù)1 (2n)!d2nd(X)(2n)!(2)Pn(X)具有簡單性質(zhì)Pn(1)1,Pn( 1)(1)n(b )令(x) (x21)n(x 1)n(x 1)n，那么d k(x)0,當(dāng) kdxx 11的正交多項式，即(3) Legendre多項式 R ：0為-1 , 1具有權(quán)函數(shù)(x)1(Pn,Pm)1Pn(x)Pm(x)dx0,22n 1證明(a)設(shè)k n，且記(x) (x21)n及Pn(x)1n .2 n!(n)(x)曰是,(P

28、k,Pn)12nn!1 11Pk(x) (n)(x)dx 莎!11 Pk (x)d(n 1)12nn!11 (n1)(x)P'k(x)dx(分部積分)(再分部積分)1 1莎 1 (n2)(x)Pk(x)dxEX!：(曲1® 0(b)當(dāng)k n時，記a1(2n n!)21 1(Pn,Pn) a 1 (n)(x) (n)(x)dx a 1 (n)(x)d (n1)1 1a 1 (n1)(x)(n1)(x)dx a 11a 1 (n2)(x) (n 2)(x)dx11 (x) (2n)(x)dx1 _1(x 1)ndxx2)ndx(1)na(1)na(2 n)!1a(2n)! ,12

29、a(2n)! 02 cos22n 1(令 x sin ,且 02 cos2n 1 d(2nn!)2 )(2n1)!)n2Xdn1又由Pn x唯一性，于是有Pn(X)血 Pn(X) (2n)!多項式巳&為偶函數(shù) 多項式Pnx 為奇函數(shù)4 Legendre多項式的奇偶性nPn(x),當(dāng)n為偶數(shù),Pn(X) ( 1) Pn(X)Pn(x)，當(dāng) n 為奇數(shù),5 Legendre多項式的三項遞推Po(x) 1P(x) x(k 1)Pk1(x) x(2k 1)Pk(x) kPkdx)(k 1,2,L ),x 1,12.切比雪夫Chebshev多項式1取a,b 1,1,權(quán)函數(shù)x,那么由定理4可得于1

30、,1 具有 權(quán)函數(shù)1 x21x2 ,的正交多項式組v1 xT°(x) 1Ti(x)(x ,T°)f I 01x/.1 x2dx1/ 1 x2dxT2(X)2 x2 (x,T°片x 丨02 (x ,T1)12 1x(T°,T°)(T")2T3x3x3 (X,To)fx1 o3(x ,TJf3x兀片 T 2(To,To)(T")仃2衛(wèi)(To,To)3 x且有,Tj0,當(dāng) i j。Tk x為首項系數(shù)為1的k次多項式。定義8 n次多項式Tnx cosnarc cosx顯然有：To(x)1 'fO(x)恥x T1(x)T2X2x2122xT3(x)4x3 3x4T3(x)T4X8x4 8x2；1T5(x)16x5 20x3 5x稱為n次Chebyshev多項式，顯然，Tnx首項系數(shù)為2k1(1) Chebyshev 多項式,T0(x),T1(x),Tn(x),的正交多項式組。即0,當(dāng)n m1 1(Tn ,Tm)1 2Tn(x)dx1 " v22,當(dāng)m n 0i xJ當(dāng)m m 0事實了，由直接計算可得，令 xcos1 1(Tn,Tm)J-1 1虧 cos(n cos x)cos(mcos x)dx x1(Tn,Tn)/0 c