線段和差最值問(wèn)題

1、精選文檔專(zhuān)題一.線段和（差）的最值問(wèn)題【學(xué)問(wèn)依據(jù)】1 線段公理兩點(diǎn)之間，線段最短；2 對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等；對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；3 三角形兩邊之和大于第三邊；4 三角形兩邊之差小于第三邊；5、 垂直線段最短。一、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： （2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)： A、A 是關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)： （2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直

2、線m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)： 點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)： 2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在O上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：三、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、

3、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移學(xué)問(wèn)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作ACm,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左移動(dòng)PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：四、求兩線段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB，PA-PB最大值為AB專(zhuān)題精講最值問(wèn)題是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，而線段和（差）問(wèn)題，要?dú)w歸于幾何模型：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”

4、凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型 典型例題剖析一歸入“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”“飲馬”幾何模型： 條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PAPB的值最小模型應(yīng)用：1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)則PB+PE的最小值是 2如圖，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是 3如圖，在銳角ABC中，AB42，BAC45°，BAC的平分

5、線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 第1題 第2題 第3題 第4題4如圖，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為_(kāi)5如圖，等腰梯形ABCD中，ABADCD1，ABC60°，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為              第5題 第6題 第7題6如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點(diǎn)A在O上，A

6、MN30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PAPB的最小值為              7已知A(2，3)，B(3，1)，P點(diǎn)在x軸上，若PAPB長(zhǎng)度最小，則最小值為             若PAPB長(zhǎng)度最大，則最大值為         

7、;    8已知：如圖所示，拋物線yx2bxc與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1，0)，B(3，0)（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件SPAB1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出全部點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問(wèn)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得MAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由臺(tái)球兩次碰壁模型已知點(diǎn)A位于直線m，n 的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)，使PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.變式：已知點(diǎn)A、B位于直線m，n 的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.模型應(yīng)用：1如圖，AOB

8、=45°，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PQR周長(zhǎng)的最小值2如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，3），B(4，1）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M(m，0），N(0，n),使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，懇求出m_，n _（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由中考賞析：1有名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然愛(ài)護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速大路X同側(cè)，AB=50km、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速大路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一

9、的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1PAPB，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)A關(guān)于直線X的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A'，連接BA'交直線X于點(diǎn)P），P到A、B的距離之和S2PAPB（1）求S1、S2，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說(shuō)明S2PAPB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速大路Y與滬渝高速大路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，B到直線Y的距離為30km，請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值2如圖，拋物線yx2x3和y軸的交點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)P，自M點(diǎn)處動(dòng)身，沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)（

10、設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最終又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小(原理用平移學(xué)問(wèn)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： （2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：模型應(yīng)用：1. 如圖，拋物線yx 2xError! No bookmark name given.2的頂點(diǎn)為A，與y 軸交于點(diǎn)B(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PAPBAB；(3)當(dāng)PAPB最大時(shí)，求點(diǎn)P

11、的坐標(biāo).2. 如圖，已知直線yx1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)yxCBADOEy 3. 如圖，直線yx2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)O，直線BC交A于點(diǎn)D（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)O，C，D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，懇求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由4. 已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角

12、坐標(biāo)系中，OC3，BC2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到DAO（1）試直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q，連接OP若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與DAO相像，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）試問(wèn)在（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)T，使得的值最大？若存在，則求出點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由1 歸入“三角形兩邊之差小于第三邊”1. 直線2x-y-4=0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A（4，-1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 .2.已知A、B兩個(gè)村莊的坐標(biāo)分別為（2，2），（7，4），一輛汽車(chē)（看成點(diǎn)P）在x軸上行駛試確定下列狀況下汽車(chē)（點(diǎn)P）的位置：（1）求直線AB的解析式，且確定汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)到A、B兩村距離之差最大？（2）汽車(chē)行駛到什么點(diǎn)時(shí)，到A、B兩村距離相等？好題賞析：原型：已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值例題：如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AMBMCM的最小