初中三角形中做輔助線的技巧及典型例題

1、三角形中做輔助線的技巧口訣： 三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接那么成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩

2、種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形如作法是在一側的長邊上截取短邊。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和條件。與角有關的輔助線一、截取構全等例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。例2 ：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延

3、長來證明呢？二、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。例1 如圖2-1，AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，那么PD= A 4 B 3 C 2 D 12.：如圖2-6

4、,在正方形ABCD中，E為CD 的中點，F(xiàn)為BC 上的點，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。 3.：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90 ,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。三：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，那么截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。如果題目中有垂直于角平分線的線段，那么延長該線段與角的另一邊相交。例1 ：如圖3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，

5、H是BC中點。求證：DH=AB-AC分析：延長CD交AB于點E，那么可得全等三角形。問題可證。例2.：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。例3：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例3 ：如圖3-4，在ABC中，AD平分B

6、AC，AD=AB，CMAD交AD延長線于M。求證：AM=AB+AC分析：題設中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關于AD的對稱AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結果AM=AB+AC，即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關于CM的對稱FCM，然后只需證DF=CF即可。練習：1 ：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 BE、BF分別是ABC的ABC的內角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC四、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常

7、過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。BDCA例1 如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。ABECD例2 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習：1. ，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。ABCD2：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACAEBDCABDC12CAB 3CE、AD是ABC的角平分線，B=60°，求證：AC=AE+CD4：如圖在

8、ABC中，A=90°，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+AD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下局部等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長局部等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想方法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長

9、某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1、 如圖1-1：D、E為ABC內兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：D為ABC內的任一點，求證：BDC>BAC。分析：因為BDC與BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內角的位置；注意：利用三角形外角定理證

10、明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：例如：如圖3-1：AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。三、截長補

11、短法作輔助線。例如：如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，那么PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。DAECB例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE

12、，求證：ADC+B=180º例3：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，RtABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB?！竞粚嵏住坷褐?，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線 ABC中 方式1： 延長AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接倍長 作CFAD于F， 延長MD到N， 作BEAD的延長線于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：ABC中

13、，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DGAE交BC于G，證明DGFCEF方法2：過E作EGAB交BC的延長線于G，證明EFGDFB方法3：過D作DGBC于G，過E作EHBC的延長線于H 證明BDGECH例3：在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例4：如圖，在中，D、E在BC上，

14、且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結DG方法2：倍長FE至H，連結CH例5：CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線，求證：C=BAE提示：倍長AE至F，連結DF 證明ABEFDESAS進而證明ADFADCSAS【融會貫穿】1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點，BAE=EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論提示：延長AE、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1

15、：在DA上截取DG=BD，連結EG、FG證明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、：如圖，DABC中，ÐC=90°，CMAB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，過D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過T作TNAB于N 證明BTNECD四、 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接那么成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、

16、中位線、加倍延長中線及其相關性質直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質，然后通過探索，找到解決問題的方法。一、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，那么SABD=SACD=SABC因為ABD與ACD是等底同高的。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因為AD是ABC的中線，所以SACD=SABC=×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。二、由中點應想到利用三角形的

17、中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結BD，并取BD的中點為M，連結ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。三、由中線應想到延長中線例3圖4，ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，那么AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，

18、AC=BE，從而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。四、直角三角形斜邊中線的性質例5如圖6，梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結DE、CE，那么DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE

19、=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。五、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF

20、中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。六中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD中點定義1=5對頂角相等ED=MD輔助線作法BDECDMSAS又1=2，3=41+2+3+4=180°平角的定義3+2=90°即：EDF=90

21、°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD輔助線作法EDF=FDM已證DF=DF公共邊EDFMDFSASEF=MF全等三角形對應邊相等在CMF中，CF+CM>MF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比

22、要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線BD=CD中線定義在ACD和EBD中BD=CD已證1=2對頂角相等AD=ED輔助線作法ACDEBDSASBE=CA全等三角形對應邊相等在ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊AB+AC>2AD。練習：DMCDEDADBD1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。BECDABADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。3 如圖

23、，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。4，ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。ABDCEF 5：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換

24、中的“對折，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉折疊5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線線段造全等1：“希望杯試題，如圖ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_. 2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、A

25、C上，DEDF，D是中點，試比擬BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考應用09崇文二模以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系1如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關系是 ；2將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖所示，1問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分

26、CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3：如圖，在內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC中考應用08海淀一模例題講解：一、利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，假設ABC2C，如果作BD平分ABC，那么DBC是等腰三角形；如圖中，假設ABC2C，如果延長線CB到D，使BDBA，連結AD，那么ADC是等腰三

27、角形；BCDABCDABCDA如圖中，假設B2ACB，如果以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長線于點D，那么DBC是等腰三角形. DCBA1、如圖，ABC中，ABAC，BDAC交AC于D.求證：DBCBAC.ABC2、如圖，ABC中，ACB2B，BC2AC.求證：A90°.二、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，假設AD平分BAC，ADEC，那么ACE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，DEAC，那么ADE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，CEAB，那么ACE是等腰三角形；A

28、DCBEECBDABACDEABFCDEG如圖中，AD平分BAC，EFAD，那么AGE是等腰三角形.3、如圖，ABC中，ABAC，在AC上取點P，過點P作EFBC，交BA的延長線于點E，垂足為點F.求證：.AEAP.E圖1ABCD4、如圖，ABC中，AD平分BAC，E、F分別在BD、AD上，且DECD，EFAC.圖2BFDCAFCDEBAFBACPE求證：EFAB.三、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，假設AD平分BAC，ADDC，那么AEC是等腰三角形.ABCDE5、如圖2，等腰RtABC中，ABAC，BAC90

29、76;，BF平分ABC，CDBD交BF的延長線于D。求證： BF2CD.四：其他方法總結1截長補短法6、如圖，：正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC2倍長中線法題中條件假設有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內。EABCDF 7、如圖7AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求證：AC=BFAE8、ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證EF2AD。 F BDC3平行線法或平移法 假設題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt,有時可作出斜邊的中線9、ABC中，BAC=60°，C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ ABCPQOOABCPQD圖1ABCPQDE圖2O說明：此題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長補短法 此題利用“平行法解法也較多，舉例如下： 如圖1，過O作ODBC交AC于D，那么ADOABO來解決ABCPQ圖3DO如圖2，過O作DEBC交AB于D，交AC于E，那么ADOAQO，ABOAEO