2.1有限元講稿第四章四面體單元revppt課件

1、第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q在工程實(shí)踐中，許多問(wèn)題構(gòu)造方式復(fù)雜都難以簡(jiǎn)化為平面或軸對(duì)稱問(wèn)題，必需在工程實(shí)踐中，許多問(wèn)題構(gòu)造方式復(fù)雜都難以簡(jiǎn)化為平面或軸對(duì)稱問(wèn)題，必需按三維問(wèn)題空間進(jìn)展求解。在三維問(wèn)題中，最簡(jiǎn)單的單元是具有四個(gè)角點(diǎn)的按三維問(wèn)題空間進(jìn)展求解。在三維問(wèn)題中，最簡(jiǎn)單的單元是具有四個(gè)角點(diǎn)的四面體單元。下面引見(jiàn)這種單元的位移方式和單元?jiǎng)偠染仃?。四面體單元。下面引見(jiàn)這種單元的位移方式和單元?jiǎng)偠染仃嚒?三維四面體單元三維四面體單元oxyzijmp第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如圖表示一個(gè)四面體單元，節(jié)點(diǎn)編號(hào)為如

2、圖表示一個(gè)四面體單元，節(jié)點(diǎn)編號(hào)為(i,j,m,p)(i,j,m,p)。這是最早提出的、也是最簡(jiǎn)。這是最早提出的、也是最簡(jiǎn)單的三維空間單元。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量：?jiǎn)蔚娜S空間單元。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量： i=ui, vi, wii=ui, vi, wi每個(gè)單元共有每個(gè)單元共有1212個(gè)自在度位移分量，可個(gè)自在度位移分量，可表示為：表示為： e=e=i, i, j, j, m, m, pp假設(shè)單元內(nèi)部的任一點(diǎn)位移可表示為坐標(biāo)的假設(shè)單元內(nèi)部的任一點(diǎn)位移可表示為坐標(biāo)的線性插值函數(shù)，那么有：線性插值函數(shù)，那么有： oxyzijmpzayaxaawzayaxaavzayaxaau12111098765

3、4321第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q將節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移分量代入上式可得：將節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移分量代入上式可得： 解 上 述 線 性 方 程 組 ， 求 出 系 數(shù)解 上 述 線 性 方 程 組 ， 求 出 系 數(shù)(a1,a2,a3,a4)(a1,a2,a3,a4)代入上式可得：代入上式可得：oxyzijmpppppmmmmjjjjiiiizayaxaauzayaxaauzayaxaauzayaxaau4321432143214321ppmmjjiiuNuNuNuNu同理可得同理可得v,wv,w得位移關(guān)系為：得位移關(guān)系為： ppmmjjiippmmjjiiwNwNwNwNw

4、vNvNvNvNv第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析qNi(i,j,m,p)Ni(i,j,m,p)為三維四面體單元得形函數(shù)。詳細(xì)表達(dá)式如下：為三維四面體單元得形函數(shù)。詳細(xì)表達(dá)式如下： qV V為四面體為四面體i,j,m,pi,j,m,p的體積，由下行列式確定：的體積，由下行列式確定： oxyzijmp為保證四面體的體積計(jì)算為正值，為保證四面體的體積計(jì)算為正值，單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)必需滿足一定的順單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)必需滿足一定的順序。在右手坐標(biāo)系中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)按序。在右手坐標(biāo)系中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)按i ij jm m的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，右手螺旋的方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，右手螺旋應(yīng)向節(jié)點(diǎn)應(yīng)向節(jié)點(diǎn)p p的方向前進(jìn)。的方向前進(jìn)。)

5、,(61),(61),(61),(61zdycxbaVNzdycxbaVNzdycxbaVNzdycxbaVNpppppmmmmmjjjjjiiiii,111161pppmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q三維四面體單元節(jié)點(diǎn)位移分量可表示為：三維四面體單元節(jié)點(diǎn)位移分量可表示為： 式中，式中， e=ui, vi, wi, uj, vj, wj, um, vm, wm, up, vp, wpTe=ui, vi, wi, uj, vj, wj, um, vm, wm, up, vp, wpT，為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣，為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣，II為三階

6、單位矩陣。為三階單位矩陣。由于位移方式是線性函數(shù)，因此在相鄰單元邊境上滿足位移延續(xù)條件。由于位移方式是線性函數(shù)，因此在相鄰單元邊境上滿足位移延續(xù)條件。 epmjieNININININwvuf 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q由彈性力學(xué)可知，在三維空間問(wèn)題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)應(yīng)變與應(yīng)力分量。由彈性力學(xué)可知，在三維空間問(wèn)題中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)應(yīng)變與應(yīng)力分量。根據(jù)幾何方程應(yīng)變列陣可表示為：根據(jù)幾何方程應(yīng)變列陣可表示為： q將形函數(shù)代入上式，可得：將形函數(shù)代入上式，可得： TzxyzxyzzyyxxTzuxwywzvxvyuzwyvxuepmjieBBBBBq于是應(yīng)變矩陣為于是應(yīng)變矩陣為B

7、B，其中子矩陣，其中子矩陣BiBi為為6 63 3的矩陣：的矩陣： ),(,00000000061pmjibdcdbcdcbVBiiiiiiiiii可以看出，矩陣可以看出，矩陣BB中的元中的元素均為常量，所以單元的素均為常量，所以單元的應(yīng)變分量都是常應(yīng)變。應(yīng)變分量都是常應(yīng)變。第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q利用物理方程應(yīng)力利用物理方程應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系，單元應(yīng)力可用節(jié)點(diǎn)位移表示為：應(yīng)變關(guān)系，單元應(yīng)力可用節(jié)點(diǎn)位移表示為： q其中，彈性矩陣其中，彈性矩陣DD具有如下方式：具有如下方式： 留意單元應(yīng)變分量為常量，應(yīng)力分量也為常量，這種單元稱為常應(yīng)變單元。留意單元應(yīng)變分量為常量，應(yīng)力分

8、量也為常量，這種單元稱為常應(yīng)變單元。 eTzxyzxyzzyyxxBDD)1 (2210)1 (22100)1 (221000100011000111)21)(1 ()1 (ED對(duì)稱對(duì)稱第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q三維條件下單元?jiǎng)偠染仃嚻毡楣綖椋喝S條件下單元?jiǎng)偠染仃嚻毡楣綖椋?q將矩陣將矩陣BB和和DD代入上式，由于這些矩陣元素均為常量，很容易推導(dǎo)出：代入上式，由于這些矩陣元素均為常量，很容易推導(dǎo)出：qk=BTDBV k=BTDBV q或?qū)懗煞謮K方式：或?qū)懗煞謮K方式： dxdydzBDBkTpppmpjpimpmmmjmijpjmjjjiipimijiikkkkkkk

9、kkkkkkkkkk第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q其中，子矩陣其中，子矩陣krskrs由下式確定：由下式確定： 式中，式中，g1=g1=/(1-/(1-) )，g2=(1-2g2=(1-2)/2(1-)/2(1-)。 ),( ,)()()()21)(1 (36)1 (221212121221212pmjisrccbbgddcdgdcgbdgdbgdcgcdgdbgbdgddbbgcccbgbcgbcgcbgddccgbbVEVBDBksrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsTrrs第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q當(dāng)

10、單元內(nèi)作用體積力：當(dāng)單元內(nèi)作用體積力：q q=qx, qy, qzT q=qx, qy, qzTq并且體積力為常數(shù)時(shí)，可由下式求的節(jié)點(diǎn)并且體積力為常數(shù)時(shí)，可由下式求的節(jié)點(diǎn)i,j,m,pi,j,m,p的等效載荷為：的等效載荷為： 其中其中V V為單元的體積，即三個(gè)方向的體積力都平均分配到單元的四個(gè)節(jié)點(diǎn)上。為單元的體積，即三個(gè)方向的體積力都平均分配到單元的四個(gè)節(jié)點(diǎn)上。 ,4zyxepemejeiqqqVRRRR第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q由前面的討論可知，單元形函數(shù)位移方式確實(shí)定是建立有限元法計(jì)算由前面的討論可知，單元形函數(shù)位移方式確實(shí)定是建立有限元法計(jì)算公式的關(guān)鍵，也即如何選

11、擇單元內(nèi)部位移的近似插值函數(shù)。公式的關(guān)鍵，也即如何選擇單元內(nèi)部位移的近似插值函數(shù)。q在建立單元的位移方式時(shí)，可以采用構(gòu)造的整體坐標(biāo)系，也可以采用單元在建立單元的位移方式時(shí)，可以采用構(gòu)造的整體坐標(biāo)系，也可以采用單元的部分坐標(biāo)系，即經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，將坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在單元上。的部分坐標(biāo)系，即經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換，將坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在單元上。q利用單元部分坐標(biāo)系，可獲得推導(dǎo)單元形函數(shù)的普通方法，進(jìn)而建立利用單元部分坐標(biāo)系，可獲得推導(dǎo)單元形函數(shù)的普通方法，進(jìn)而建立“等參等參單元的概念。單元的概念?！暗葏?shù)單元是一種構(gòu)造單元近似插值函數(shù)的方法。等參數(shù)單元是一種構(gòu)造單元近似插值函數(shù)的方法。 q“等參單元是有限元法中運(yùn)用最為

12、廣泛的單元，即適用于線性單元，也很等參單元是有限元法中運(yùn)用最為廣泛的單元，即適用于線性單元，也很容易推行到二次單元，容易推行于直線和曲線邊境等各種復(fù)雜問(wèn)題。容易推行到二次單元，容易推行于直線和曲線邊境等各種復(fù)雜問(wèn)題。q為了引見(jiàn)為了引見(jiàn)“等參元的概念，首先分析一下單元形函數(shù)的性質(zhì)，即在確定形等參元的概念，首先分析一下單元形函數(shù)的性質(zhì)，即在確定形函數(shù)，應(yīng)滿足那些根本準(zhǔn)那么。函數(shù)，應(yīng)滿足那些根本準(zhǔn)那么。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q單元形函數(shù)是定義于單元內(nèi)部坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)，為保證有限元解的收斂于準(zhǔn)單元形函數(shù)是定義于單元內(nèi)部坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)，為保證有限元解的收斂于準(zhǔn)確解，它應(yīng)滿足以下

13、條件：確解，它應(yīng)滿足以下條件： q1 1在單元節(jié)點(diǎn)上有：在單元節(jié)點(diǎn)上有：Ni=1Ni=1；Nj=0Nj=0，j ji i；q2 2用形函數(shù)定義的位移方式在相鄰單元邊境是延續(xù)的，即函數(shù)單值和延續(xù)性用形函數(shù)定義的位移方式在相鄰單元邊境是延續(xù)的，即函數(shù)單值和延續(xù)性；q3 3形函數(shù)應(yīng)包含恣意的線性項(xiàng)，以保證單元位移可以滿足常應(yīng)變條件；形函數(shù)應(yīng)包含恣意的線性項(xiàng)，以保證單元位移可以滿足常應(yīng)變條件；q4 4對(duì)某一單元，全部節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)和為對(duì)某一單元，全部節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)和為1 1：Ni=0Ni=0。 q以點(diǎn)、直線、平面為邊境的規(guī)那么外形的單元稱為以點(diǎn)、直線、平面為邊境的規(guī)那么外形的單元稱為“根本單元，把固定在根

14、本單元，把固定在單元上的無(wú)量綱坐標(biāo)系稱為單元上的無(wú)量綱坐標(biāo)系稱為“自然坐標(biāo)系，也稱為定義在單元上的自然坐標(biāo)系，也稱為定義在單元上的“部分坐標(biāo)部分坐標(biāo)系，僅在單元內(nèi)有意義系，僅在單元內(nèi)有意義-1-1+1+1，-1-1+1+1，如下圖。，如下圖。 o =0 =+1 =-112o 87654321o 12345678一維單元一維單元二維單元二維單元三維單元三維單元第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q與根本單元相對(duì)應(yīng)，以點(diǎn)、曲線、曲面為邊境的不規(guī)那么外形單元稱為與根本單元相對(duì)應(yīng)，以點(diǎn)、曲線、曲面為邊境的不規(guī)那么外形單元稱為“實(shí)踐實(shí)踐單元，將固定的直角坐標(biāo)系稱為單元，將固定的直角坐標(biāo)系稱為“

15、整體坐標(biāo)系或整體坐標(biāo)系或“根本坐標(biāo)系。實(shí)踐單元定根本坐標(biāo)系。實(shí)踐單元定義在整體坐標(biāo)系中，如下圖。義在整體坐標(biāo)系中，如下圖。oyxooxxyyz121234567812345678一維單元一維單元二維單元二維單元三維單元三維單元第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q由于部分坐標(biāo)系和根本單元方式簡(jiǎn)單，其形函數(shù)也容易構(gòu)造，我們希望在獲得由于部分坐標(biāo)系和根本單元方式簡(jiǎn)單，其形函數(shù)也容易構(gòu)造，我們希望在獲得根本單元形函數(shù)的條件下，經(jīng)過(guò)一定的坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)中實(shí)踐單元的形根本單元形函數(shù)的條件下，經(jīng)過(guò)一定的坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)中實(shí)踐單元的形函數(shù)。函數(shù)。q在單元部分坐標(biāo)系中，利用插值函數(shù)很容

16、易構(gòu)造形函數(shù)。如下圖，兩種一維根在單元部分坐標(biāo)系中，利用插值函數(shù)很容易構(gòu)造形函數(shù)。如下圖，兩種一維根本單元，對(duì)線性單元有本單元，對(duì)線性單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)1= -1、2=1，形函數(shù)為：，形函數(shù)為：21,2121NNo =0 2=+1 1=-112o 3=0 2=+1 1=-1123對(duì)二次單元有對(duì)二次單元有3 3個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)1= -11= -1、2=12=1、3=03=0，形函數(shù)為：，形函數(shù)為： 23211,21,21NNN一次單元一次單元二次單元二次單元第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如圖示，二維根本單元是如圖示，二維根本單元是平面內(nèi)的正方形。部分坐標(biāo)系原點(diǎn)位于正方形的平面內(nèi)的

17、正方形。部分坐標(biāo)系原點(diǎn)位于正方形的中心處，單元邊境是中心處，單元邊境是4 4條直線。對(duì)平面線性單元有條直線。對(duì)平面線性單元有4 4個(gè)節(jié)點(diǎn)，形函數(shù)為：個(gè)節(jié)點(diǎn)，形函數(shù)為： o 4321線性單元線性單元),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (414321NNNNq特別留意：因形函數(shù)中存在二次項(xiàng)特別留意：因形函數(shù)中存在二次項(xiàng)項(xiàng)，實(shí)踐上項(xiàng)，實(shí)踐上已不是嚴(yán)厲的線性函數(shù)。已不是嚴(yán)厲的線性函數(shù)。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如圖示，二維根本單元是如圖示，二維根本單元是平面內(nèi)的正方形。部分坐標(biāo)系原點(diǎn)位于正方形的平面內(nèi)的正方形。部分坐標(biāo)系原點(diǎn)位于正方形的中心

18、處，單元邊境是中心處，單元邊境是4 4條直線。對(duì)平面二次單元有條直線。對(duì)平面二次單元有8 8個(gè)節(jié)點(diǎn)，形函數(shù)為：個(gè)節(jié)點(diǎn)，形函數(shù)為： 二次單元二次單元o 87654321),1)(1 (21),1)(1 (21),1)(1 (21),1)(1 (2128272625NNNN),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (414321NNNN第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q上述單元幾何外形規(guī)那么，運(yùn)算簡(jiǎn)單，但顯然不適用于實(shí)踐構(gòu)造復(fù)雜方式。上述單元幾何外形規(guī)那么，運(yùn)算簡(jiǎn)單，但顯然不適用于實(shí)踐構(gòu)造復(fù)雜方式。為此，我們可以經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換方式，將部分坐標(biāo)系的根本單元

19、轉(zhuǎn)換為整體坐為此，我們可以經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換方式，將部分坐標(biāo)系的根本單元轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系的實(shí)踐單元。標(biāo)系的實(shí)踐單元。q為進(jìn)展這種變換，必需在部分坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系之間建立必要的聯(lián)絡(luò)，借為進(jìn)展這種變換，必需在部分坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系之間建立必要的聯(lián)絡(luò)，借助于單元形函數(shù)就可以建立這種聯(lián)絡(luò)。助于單元形函數(shù)就可以建立這種聯(lián)絡(luò)。第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q對(duì)整體坐標(biāo)系中一維單元，假設(shè)實(shí)踐單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)整體坐標(biāo)系中一維單元，假設(shè)實(shí)踐單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(xi, yi, zi)(xi, yi, zi)，那么單，那么單元內(nèi)部任一點(diǎn)的坐標(biāo)元內(nèi)部任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)(x,y)可由下式確定：可由下式確

20、定： miiimiiimiiizNzyNyxNx111)()()()()()(q其中，其中，NiNi為該單元的形函數(shù)，為該單元的形函數(shù)，(x,y,z)(x,y,z)為實(shí)踐單元內(nèi)部任一點(diǎn)整體坐標(biāo)，為實(shí)踐單元內(nèi)部任一點(diǎn)整體坐標(biāo)，(xi,yi,zi)(xi,yi,zi)為實(shí)踐單元節(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)，為實(shí)踐單元節(jié)點(diǎn)整體坐標(biāo)，m m為該單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。為該單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。q利用形函數(shù)的性質(zhì)可以證明，當(dāng)部分坐標(biāo)利用形函數(shù)的性質(zhì)可以證明，當(dāng)部分坐標(biāo)從從-1-1變化到變化到+1+1時(shí)，整體坐標(biāo)時(shí)，整體坐標(biāo)(x,y,z)(x,y,z)從節(jié)點(diǎn)從節(jié)點(diǎn)1 1變化到節(jié)點(diǎn)變化到節(jié)點(diǎn)m m，即上述關(guān)系式建立了單元部分坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之

21、，即上述關(guān)系式建立了單元部分坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)映射關(guān)系。間的一一對(duì)應(yīng)映射關(guān)系。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如圖示的平面二次一維單元，部分坐標(biāo)與整體坐標(biāo)間的變換關(guān)系為：如圖示的平面二次一維單元，部分坐標(biāo)與整體坐標(biāo)間的變換關(guān)系為： q容易看出，當(dāng)容易看出，當(dāng)=-1=-1時(shí)代入上式，可得時(shí)代入上式，可得(x,y)=(x1,y1)(x,y)=(x1,y1)；q =0=0時(shí)，時(shí)，(x,y)=(x3,y3)(x,y)=(x3,y3)；q =+1=+1時(shí)，時(shí)，(x,y)=(x2,y2)(x,y)=(x2,y2)；q 當(dāng)當(dāng)-1-1+1第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分

22、析q三維空間問(wèn)題應(yīng)變和位移的關(guān)系為：三維空間問(wèn)題應(yīng)變和位移的關(guān)系為：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxxq將位移插值函數(shù)代入上式，得到：將位移插值函數(shù)代入上式，得到： emeBBBBB321第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q其中子矩陣其中子矩陣BiBi為：為： xNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii000000000第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q單元形函數(shù)是用部分坐標(biāo)給出的，根據(jù)復(fù)合偏微分法那么，可得：?jiǎn)卧魏瘮?shù)是用部分坐標(biāo)給出的，根據(jù)復(fù)合偏微分法那么，可得： q同理可得同理可得Ni/Ni/，Ni/Ni/，合并起來(lái)寫(xiě)成

23、矩陣方式：，合并起來(lái)寫(xiě)成矩陣方式： zzNyyNxxNNiiiizNyNxNJzNyNxNzyxzyxzyxNNNiiiiiiiiiq上式中矩陣上式中矩陣JJ稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣(Jacobi)(Jacobi)，可由坐標(biāo)變換公式求出，即：，可由坐標(biāo)變換公式求出，即： 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q矩陣矩陣JJ稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣(Jacobi)(Jacobi)，可由坐標(biāo)變換公式求出，即：，可由坐標(biāo)變換公式求出，即： 222111112121zyxzyxNNNNNNzNyNxNzNyNxNzNyNxNzyxzyxzyxJiiiiiiiiiiiiiiiiii第四章

24、第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q對(duì)矩陣對(duì)矩陣JJ求逆后，可得到形函數(shù)在整體坐標(biāo)中的導(dǎo)數(shù)為：求逆后，可得到形函數(shù)在整體坐標(biāo)中的導(dǎo)數(shù)為： iiiiiiNNNJzNyNxN1q在部分坐標(biāo)系中，形函數(shù)方式比較簡(jiǎn)單，但經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后，形函數(shù)普通很在部分坐標(biāo)系中，形函數(shù)方式比較簡(jiǎn)單，但經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后，形函數(shù)普通很用整體坐的顯式函數(shù)將等參元的位移函數(shù)表示出來(lái)，因此，通常很難判別等參用整體坐的顯式函數(shù)將等參元的位移函數(shù)表示出來(lái)，因此，通常很難判別等參元中應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律。元中應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律。q為保證等參元坐標(biāo)變換計(jì)算有效，即雅可比矩陣為保證等參元坐標(biāo)變換計(jì)算有效，即雅可比矩陣J-1J-1的

25、逆存在，等參元的外的逆存在，等參元的外形應(yīng)比較均勻，越接近正六面體越好，反之計(jì)算誤差越大。形應(yīng)比較均勻，越接近正六面體越好，反之計(jì)算誤差越大。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q根據(jù)三維條件下單元?jiǎng)偠染仃嚬剑焊鶕?jù)三維條件下單元?jiǎng)偠染仃嚬剑?q進(jìn)展分塊后，子矩陣為：進(jìn)展分塊后，子矩陣為： dxdydzBDBkTdxdydzBDBksTrrsq利用坐標(biāo)變換，將整體坐標(biāo)積分利用坐標(biāo)變換，將整體坐標(biāo)積分dxdydz變換為部分坐標(biāo)積分，根據(jù)微分矢變換為部分坐標(biāo)積分，根據(jù)微分矢量計(jì)算可得：量計(jì)算可得：qdxdydz=det(J)dddq其中，其中，det(J)表示雅可比矩陣的行列式的值，

26、代入上式可得：表示雅可比矩陣的行列式的值，代入上式可得： 111111111111),()det(dddGdddJBDBkTrrs第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如上所述，計(jì)算等參元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，由于被積函數(shù)的復(fù)雜性，只能采用數(shù)值如上所述，計(jì)算等參元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，由于被積函數(shù)的復(fù)雜性，只能采用數(shù)值積分替代函數(shù)積分，即在單元積分區(qū)域中選擇某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，計(jì)算被積積分替代函數(shù)積分，即在單元積分區(qū)域中選擇某些點(diǎn)，稱為積分點(diǎn)，計(jì)算被積函數(shù)函數(shù)G(,)在這些積分點(diǎn)的函數(shù)值，然后用加權(quán)系數(shù)乘以這些函數(shù)值，進(jìn)在這些積分點(diǎn)的函數(shù)值，然后用加權(quán)系數(shù)乘以這些函數(shù)值，進(jìn)展求和作為該積分的近似值。展求

27、和作為該積分的近似值。q數(shù)值積分方法很多，可參見(jiàn)有關(guān)計(jì)算方法的專著。在等參元計(jì)算中，廣泛采數(shù)值積分方法很多，可參見(jiàn)有關(guān)計(jì)算方法的專著。在等參元計(jì)算中，廣泛采用高斯用高斯(Gauss)積分法，這種方法可以用較少的積分點(diǎn)到達(dá)較高的計(jì)算精度。積分法，這種方法可以用較少的積分點(diǎn)到達(dá)較高的計(jì)算精度。 第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q首先引見(jiàn)一維高斯積分公式：首先引見(jiàn)一維高斯積分公式： 式中，式中，f(i)為被積函數(shù)為被積函數(shù)f在積分點(diǎn)在積分點(diǎn)i處的函數(shù)值，處的函數(shù)值，Hi是加權(quán)系數(shù)，是加權(quán)系數(shù)，n為積分點(diǎn)為積分點(diǎn)數(shù)目。數(shù)目。在未知被積函數(shù)方式的情況下，高斯積分公式假設(shè)被積函數(shù)在未知被積函

28、數(shù)方式的情況下，高斯積分公式假設(shè)被積函數(shù)f()為多項(xiàng)式方式為多項(xiàng)式方式進(jìn)展求解。進(jìn)展求解。對(duì)于對(duì)于n個(gè)積分點(diǎn)，可以選擇個(gè)積分點(diǎn)，可以選擇Hi和和i的的2n個(gè)常數(shù)，當(dāng)個(gè)常數(shù)，當(dāng)f()為為2n-1次多項(xiàng)式時(shí)次多項(xiàng)式時(shí)，高斯積分公式給出準(zhǔn)確積分值。，高斯積分公式給出準(zhǔn)確積分值。 如如n=2積分點(diǎn)，那么有積分點(diǎn)，那么有4個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù) H1和和H2、 1和和2；當(dāng)；當(dāng)f()為為3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式時(shí)，高斯積分公式給出準(zhǔn)確積分值。時(shí)，高斯積分公式給出準(zhǔn)確積分值。, )()(111niiifHdfI第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q如取如取2個(gè)積分點(diǎn)：個(gè)積分點(diǎn)：n=2 q假設(shè)被積函數(shù)假設(shè)被積函數(shù)

29、f()為三次多項(xiàng)式，那么有：為三次多項(xiàng)式，那么有： ),()()(221111fHfHdfI,)(332210ccccfq求出上式的準(zhǔn)確積分為：求出上式的準(zhǔn)確積分為： 2011332210322)(ccdccccI202211322)()(ccfHfH2032322221023132121101322)()(ccccccHccccH第四章第四章 彈性結(jié)構(gòu)靜力分析彈性結(jié)構(gòu)靜力分析q對(duì)恣意給定的對(duì)恣意給定的ci多項(xiàng)式，保證上式成立的條件是對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式，保證上式成立的條件是對(duì)應(yīng)ci的系數(shù)相等，那么有的系數(shù)相等，那么有： q求解上述方程可得：求解上述方程可得： , 0,32, 0, 2322311222211221121HHHHHHHH00. 1,5773502692. 0312121HH),57735. 0()57735. 0()(11ffdfIq所以所以2 2個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分公式為：個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分公式為： 第四章第