2012年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷及解答

1、2012年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷 一、填空題（本大題共有14題，滿(mǎn)分56分） 1計(jì)算：= （i為虛數(shù)單位）. 2若集合，則= . 3函數(shù)的值域是 . 4若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 5在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 . 6有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 7已知函數(shù)（a為常數(shù)）.若在區(qū)間1,+¥)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 . 8若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 . 9已知是奇函數(shù)，且.若，則 .xOMlaOMxla10如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與極軸

2、的夾角.若將的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成的形式，則 .11三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.12在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是 .13已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .ABCD14如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .二、選

3、擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分20分）15若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，則的形狀是（ ）（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.17設(shè)，. 隨機(jī)變量取值、的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則（ ）（A）.（B）.（C）.（D）與的大小關(guān)系與、的取值有關(guān).18設(shè)，. 在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分74分）ABCDPE19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的

4、中點(diǎn).已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）20已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）21海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為. （1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時(shí)兩

5、船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線. （1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）23對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱(chēng)X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性質(zhì)P，求證：1ÎX，且當(dāng)

6、xn1時(shí)，x1=1；（6分） （3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）2012年上海高考數(shù)學(xué)（理科）試卷解答 一、填空題（本大題共有14題，滿(mǎn)分56分） 1計(jì)算：= 1-2i （i為虛數(shù)單位）. 2若集合，則= . 3函數(shù)的值域是 . 4若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為 arctan2 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）. 5在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于 -160 . 6有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 . 7已知函數(shù)（a為常數(shù)）.若在區(qū)間1,+¥)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 (-&

7、#165;, 1 . 8若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 .xOMla 9已知是奇函數(shù)，且.若，則 -1 .10如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與極軸的夾角.若將的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成的形式，則 .11三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.12在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是 2, 5 .ABCD13已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖

8、形的面積為.14如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分20分）15若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（ B ）（A）.（B）.（C）.（D）.16在中，若，則的形狀是（ C ）（A）銳角三角形.（B）直角三角形.（C）鈍角三角形.（D）不能確定.17設(shè)，. 隨機(jī)變量取值、的概率均為0.2，隨機(jī)變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則（ A ）（A）.（B）.（C）.（D）與的大小關(guān)系與、的取值有關(guān).18設(shè)，. 在中，正數(shù)的個(gè)

9、數(shù)是（ D ）ABCDPE（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分74分）19如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）解（1）因?yàn)镻A底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD， 從而CDPD. 3分ABCDPExyz 因?yàn)镻D=，CD=2， 所以三角形PCD的面積為. 6分 （2）解法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, ,

10、 1)， ，. 8分 設(shè)與的夾角為q，則 ，q=. ABCDPEF 由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中點(diǎn)F，連接EF、AF，則 EFBC，從而AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線 BC與AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是 12分20已知函數(shù). （1）若，求的取值范圍；（6分） （2）若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)的反函數(shù).（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因?yàn)?，所以? 由得. 6分 （2）當(dāng)xÎ1,2時(shí)，2-xÎ0,1，因此. 10分

11、由單調(diào)性可得.因?yàn)椋运蠓春瘮?shù)是，. 14分21海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸xOyPA正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為. （1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP=，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標(biāo)yP=3. 2分 由|AP

12、|=，得救援船速度的大小為海里/時(shí). 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度. 6分 （2）設(shè)救援船的時(shí)速為海里，經(jīng)過(guò)小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為. 由，整理得.10分 因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)等號(hào)成立， 所以，即. 因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線. （1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分） （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：OPOQ；（6分） （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON，求證：O

13、到直線MN的距離是定值.（6分）解（1）雙曲線，左頂點(diǎn)，漸近線方程：. 過(guò)點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，即. 解方程組，得. 2分 所以所求三角形的面積1為. 4分 （2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切， 故，即. 6分 由，得. 設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則. 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)， |ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為. 當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)， 設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為. 由，得，所以.同理. 13分 設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)椋?所以，即d=. 綜上，O到直線MN的距離是定值.

14、16分23對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱(chēng)X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P. （1）若x2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性質(zhì)P，求證：1ÎX，且當(dāng)xn1時(shí)，x1=1；（6分） （3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）解（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式. 2分 所以x=2b，從而x=4. 4分 （2）證明：取.設(shè)滿(mǎn)足. 由得，所以、異號(hào). 因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，故1ÎX. 7分假設(shè)，其中，則.選取，并設(shè)滿(mǎn)足，即，則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為-1.若=-1，則2，矛盾；若=-1，則，矛盾.所以x1=1. 10分 （3）解法一猜測(cè)，i=1, 2, , n. 12分 記，k=2, 3, , n. 先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P. 任取，、Î.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有滿(mǎn)足； 當(dāng)且時(shí)，、1. 因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、Î，使得，從而和中有一個(gè)是-1，不妨設(shè)=-1.假設(shè)Î且Ï，則.由，得，與Î矛盾.所以Î.從而也具有性質(zhì)P. 15分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1, 2, , n.當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立； 假設(shè)n=k時(shí)，有性質(zhì)P，則，