建立不等式模型解決實際問題

1、建立不等式模型解決實際問題【教學(xué)重難點】如何建立合理的不等式模型【教學(xué)過程】一、引例:問題：大家都有這樣的經(jīng)歷：一杯糖水，若再加入一些糖（糖水未飽和），糖水變甜了。你 能解釋其中的道理嗎？不等式模型：設(shè) b 克糖水中有a克糖，現(xiàn)再加入m克糖，則有：b a 0,m . - ： （真b b + m分數(shù)的性質(zhì)）通過這個不等式模型我們能很直觀的解釋這個道理。這是一個比較簡單的通過不等式模型解決實際問題的例子。下面我們通過一些稍微復(fù)雜點的例子來復(fù)習(xí)這種通過建立不等式模型解決實際問題的 思想方法。板書課題-建立不等式模型解決實際問題二. 例題選講例1.一個書店里有 A,B 兩種雜志，各30本, A 雜志5

2、塊錢2本，B 雜志5塊錢3本。那一天，這60本雜志全賣完了，經(jīng)過計算，5塊錢2本的 A 雜志共賣75元，5塊錢3本的 B 雜志共賣50元， 總共是125元。第二天老板又拿出同樣的60本雜志，他想何必自找麻煩來分雜志呢？30本 A 雜 志是5快錢2本，30本 B 雜志5塊錢3本，何不把60本雜志放在一起，按10塊錢5本來賣？這一天60本雜志全按10塊錢5本賣完了，可是老板點錢時發(fā)現(xiàn)只賣得120元，不是125元，這5元錢到 哪去了呢？老板百思不得其解，你能幫助分析原因嗎？ 請同學(xué)們想一想這是什么原因，并和身邊的同學(xué)討論討論。我們來把兩種方式賣的錢分析一下： 如果是分開賣，那么 A 雜志一共賣了乎

3、5 = 75 元，B 雜志一共賣了詈 5 = 50 元，總共是75 50 =125 元。解析：設(shè) A 雜志 b 元a本，則單價為-，B 雜志 d 元c本，則單價為d，故分賣平均價格acb d花丄二亙妲，合賣平均價格為 P2 =32 2aca c差價為：bc+ad b+d (bc ad)(c a)P1 一 P2：2aca 十 c2ac(a 十 c)如果是合賣,60本雜志賣了6010=120 元51 5 5255 + 5因為 a =2,b =5,c =3,d=5所以 pi二-()= , p?二=2, Pi P2，故分賣賺錢些2 2 3122+3b d+ 不等式模型：設(shè) a,b,c,d .0,則pi

4、 Xc與 p2=口 不一定相等2a +c特別的，當(dāng) b =d 時，衛(wèi)2-二電Pi1+1P22a c由此可見商品的分賣與合賣誰更合算不是想當(dāng)然，這里蘊含著一個數(shù)學(xué)不等式，課后請 大家研究到底何時分賣合算，何時合賣合算？如果你身邊有親戚做生意，可以以此指導(dǎo)他制 定銷售策略。倘若你是好鄰居商場的營銷經(jīng)理，切記要建立恰當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ停x擇合理的 營銷方案。例2. (2011年江蘇連云港市質(zhì)檢)如圖1, OA,OB 是某地一個湖泊的兩條垂直的湖堤，線段CD:x，2y =20(0 沁乞 20)和曲線 EF : xy =200(x 0)分別是湖泊中的一條棧橋和防波堤為觀光旅游需要，擬過棧橋 CD 上某點 M

5、 分別修建與 O 代 OB 平行的棧橋 MG,MK，且以 MG,MK 為 邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺 MGK .設(shè)點 M 的坐標為(s,t).(題中所涉及長度單位均 為米，棧橋及防波堤都不計寬度)(1) 求三角形觀光平臺 MGK 面積的最小值；(2) 若要使- MGK 的面積不小于 320 平方米，求t的范圍.解: (1)由題意，得 G(100,t), K(s,)(s,t 0)ts又因為 M(s,t)在線段 CD : x 2y =20(0 豈 x 空 20)上，所以 s 2t = 20(0：s：20)，SMGKMG MK =丄(型-丸200)二丄(st40000-400)22 ts2st

6、由20二s 2t一2、r2t =2 2st，得 0：st 乞 50，當(dāng)且僅當(dāng) s = 10,t 二 5 時等號成立.令st=u，則 SMGK二 f(u) J(U40000-400),U(0,50.2u又當(dāng) u (0,50時 f(u)丿仆-40000)：0，故 f(u)在(0,50上單調(diào)遞減,2 u所以f（U）min二f （50）二225，此時 S 二 10,t = 5 所以：MGK 面積的最小值為 225 平方米.（2）由題意得 f（u）_320，即 l（u40000一 400） _ 320，解得 u 空 40 或 u_ 1000 （舍去），2u所以 S40，即（20 _2t）匕 40，解之得

7、 5 -5乞匕 5 5 .所以t的范圍是5-厲,5 r 5.點評：不等式在實際問題中的應(yīng)用由實際問題中的不等式關(guān)系的建立、解相關(guān)參數(shù)的不等式、應(yīng)用基本不等式求解相應(yīng)函數(shù)的最值.不等式模型：設(shè) a,b 0，則a，b_2、,0B，當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時等號成立三. 小試牛刀練習(xí)1.荊州中學(xué)高三年級有兩個陽光班， 教務(wù)處的工作人員統(tǒng)計期末數(shù)學(xué)考試成績時，計算出兩個班中男生的及格率都比女生的及格率高（計算沒有錯誤），于是得出這兩個班級男生的及格率比女生的及格率高的結(jié)論。一位數(shù)學(xué)老師聽完他的匯報后，對這位工作人員的統(tǒng)計方 法提出了質(zhì)疑。請問這位數(shù)學(xué)老師為什么質(zhì)疑，這位工作人員的統(tǒng)計方法存在問題嗎？請舉

8、例試一試。你能由此得到什么更一般的結(jié)論嗎？反例班級甲班乙班男女人數(shù)男25人女30人男29人女24人及格人數(shù)23人27人17人14人及格率92%90%58.6%58.3%但是男生及格率為 巡=740。，女生及格率為 75,900建立不等式模型班級甲班乙班男女人數(shù)男a-i人女C1人男a2人女C2人及格人數(shù)b1人d1人b2人d2人及格率bL印diC1b.a2d2C2全年級男生及格率為，全年級男生及格率為ai+a2& + C2b di 工作人員的推理是：f1二心2，但這個不等式是假命題b?d?aia2CiC2I a2C2ai,a2,bi,b2,Ci,C2,di,d20，則乩魚，電 玉二 里巴是

9、假命題C2a + a?Ci+ C2練習(xí)2.(2011年蘇州第一次調(diào)研)有一隧道既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段為了保證安全，交通部門規(guī)定，隧道內(nèi)的車距 d(m)正比于車速 v(km/h)的平方與車身長 L(m)的積,且車距不得小于一個車身長 L(m)(假設(shè)所有車身長均為 Lm ) 而當(dāng)車速為 60(km/h)時，車 距為 1.44 個車身長.(1) 求通過隧道的最低車速；(2)在交通繁忙時，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，可以使隧道在單位時段內(nèi)通過的汽車數(shù)量Q 最多？四、方法小結(jié)我們今天通過三個不等式模型解釋了三個實際問題，和大家一起復(fù)習(xí)了這種建立不等式模型解決實際問題的 思想方法。同學(xué)們身邊還有很多實際問題可以通過不等式模型來解決， 希望大家在下面多收集這樣的不等式模型，和同學(xué)交流