第2章 2.3.3 第2課時

1、第2課時等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征.2.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題.3.會用錯位相減法求和知識點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征思考若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n1，那么數(shù)列an是不是等比數(shù)列？若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n11呢？答案當(dāng)Sn2n1時，annN*是等比數(shù)列；當(dāng)Sn2n11時，annN*不是等比數(shù)列梳理當(dāng)公比q1時，設(shè)A，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是SnA(qn1)即Sn是n的指數(shù)型函數(shù)當(dāng)公比q1時，因?yàn)閍10，所以Snna1，Sn是n的正比例函數(shù)知識點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)思考若公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

2、則Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列嗎？答案由題意可知，Sn，S2nSn，S3nS2n都不為0，設(shè)an的公比為q，則Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，公比為qn.梳理等比數(shù)列an前n項(xiàng)和的三個常用性質(zhì)：(1)數(shù)列an為公比不為1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍構(gòu)成等比數(shù)列(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則SnmSnqnSm(n，mN*)(3)若an是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是

3、數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：在其前2n項(xiàng)中，q；在其前2n1項(xiàng)中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)1對于公比q1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)()2當(dāng)an為等差數(shù)列，bn為公比不是1的等比數(shù)列時，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，適用錯位相減法()類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，求證：數(shù)列an為等比數(shù)列考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問題解當(dāng)n2時，anSnSn1(a1)an1；當(dāng)n1時，a1a1，滿足上式，an(a1)an1，nN*.a，數(shù)列an是等比數(shù)列反思與感悟(1)已知

4、Sn，通過an求通項(xiàng)an，應(yīng)特別注意n2時，anSnSn1.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，則an是等比數(shù)列跟蹤訓(xùn)練1若an是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn3n1t，則t_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問題答案解析顯然q1，此時應(yīng)有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)命題角度1連續(xù)n項(xiàng)之和問題例2已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：SSSn(S2nS3n)考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列證明方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，當(dāng)q1時，Snna1，S2n2

5、na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)當(dāng)q1時，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)反思與感悟處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問題的常用方法：(1)運(yùn)用

6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q1和q1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)整體處理跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列解由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，12248(S3n60)，解得S3n63.命題角度2不連續(xù)n項(xiàng)之和問題例3已知等比數(shù)列an的公比q，則_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案3解析a2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)，3.反思與感悟注意

7、觀察序號之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)；整體思想能使問題的解決過程變得簡潔明快跟蹤訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案126解析2，是首項(xiàng)為b2，公比為2的等比數(shù)列 272126.類型三錯位相減法求和例4求數(shù)列的前n項(xiàng)和考點(diǎn)錯位相減法求和題點(diǎn)錯位相減法求和解設(shè)Sn，則有Sn，兩式相減，得SnSn，即Sn1.Sn22.反思與感悟一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時，可采用錯位相減法跟蹤訓(xùn)練4求和：Snx2x23x3nxn (x0)考點(diǎn)錯

8、位相減法求和題點(diǎn)錯位相減法求和解當(dāng)x1時，Sn123n；當(dāng)x1時，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1nxn1，Sn.綜上可得，Sn1已知等比數(shù)列an的公比為2，且其前5項(xiàng)和為1，那么an的前10項(xiàng)和為_考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案33解析設(shè)an的公比為q，由題意，q2，a1a2a3a4a51，則a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S1013233.2已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snx3n1，則x的值為_考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問題答案解析方法一Snx

9、3n13n，由SnA(qn1)，得，x.方法二當(dāng)n1時，a1S1x；當(dāng)n2時，anSnSn12x3n2，an是等比數(shù)列，n1時也應(yīng)適合an2x3n2，即2x31x，解得x.3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2bnc，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn3nd，則向量a(c，d)的模為_考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和綜合問題答案1解析由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模為1.4設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若q2，S10036，則a1a3a99_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案12解析設(shè)a1a3a99S，則a2a4a1002S.S

10、10036，3S36，S12，a1a3a5a9912.1在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，一定要對公比q1或q1作出判斷；若an是等比數(shù)列，且an0，則lg an構(gòu)成等差數(shù)列2等比數(shù)列前n項(xiàng)和中用到的數(shù)學(xué)思想：(1)分類討論思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a10，q1或a10,0q1時為遞增數(shù)列；當(dāng)a11或a10,0q1時為遞減數(shù)列；當(dāng)q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，常把qn，當(dāng)成整體求解一、填空題1在等比數(shù)列a

11、n中，a33S22，a43S32，則公比q_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案4解析a33S22，a43S32，a4a33(S3S2)3a3，即a44a3，q4.2設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若Sn是等差數(shù)列，則q_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案1解析SnSn1an(n2)，又Sn是等差數(shù)列，an為定值，即數(shù)列an為常數(shù)列，q1.3在等比數(shù)列an中，已知S3013S10，S10S30140，則S20_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案40解析S303S10，q1.由得由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)得，S

12、10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列，(S2010)210(130S20)，解得S2040.4已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在mN*，滿足9，則數(shù)列an的公比為_考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案2解析設(shè)公比為q，若q1，則2，與題中條件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.5已知等比數(shù)列an的公比為q，記bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，則以下結(jié)論一定正確的是_數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為qm；數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2m；數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為；數(shù)列c

13、n為等比數(shù)列，公比為.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案解析an是等比數(shù)列，qmnkm(n1)kqm(1km)，(qm)mqm2.qm.6設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a41，S37，則S5_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案解析an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a41，設(shè)an的公比為q，則q0，且a1，即a31.S37，a1a2a317，即6q2q10.故q或q(舍去)，a14.S58.7數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1，nN*)，則a3_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答

14、案12解析當(dāng)n1時，an13Sn，則an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，該數(shù)列從第3項(xiàng)起每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的4倍，即該數(shù)列從第2項(xiàng)起是以4為公比的等比數(shù)列又a23S13a13，a33412.8記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S32，S618，則_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列答案33解析由題意知公比q1，1q39，q2，1q512533.9等比數(shù)列an共2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)答案2解析根據(jù)題意得q2.10已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列an是擺動數(shù)列，

15、Sn是an的前n項(xiàng)和，且5，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為_考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案解析1q25，q2.an是擺動數(shù)列，q2.首項(xiàng)為1，公比為，前5項(xiàng)和為.二、解答題11已知在等比數(shù)列an中，a12，a32是a2和a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bnanlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)錯位相減法求和題點(diǎn)錯位相減法求和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意知2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n，nN*.(2)由題意得，bnn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn

16、2n1，得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1，nN*.12中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一，再不實(shí)施“放開二胎”新政策，整個社會將會出現(xiàn)一系列的問題若某地區(qū)2019年人口總數(shù)為45萬，實(shí)施“放開二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2019年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%.(1)求實(shí)施新政策后第n年的人口總數(shù)an的表達(dá)式；(注：2019年為第一年)(2)若新政策實(shí)施后的2019年到2035年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政

17、策，否則繼續(xù)實(shí)施問到2036年是否需要調(diào)整政策？考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題解(1)當(dāng)n10時，數(shù)列an是首項(xiàng)為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，所以an45.50.5(n1)450.5n.當(dāng)n11時，數(shù)列an是以0.99為公比的等比數(shù)列又a1050，所以an500.99n10，因此新政策實(shí)施后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達(dá)式為an(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則從2019年到2035年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)950.8(萬)，所以新政策實(shí)施后的2019年到2035

18、年的年人口均值為47.54萬因?yàn)?9，故到2036年不需要調(diào)整政策13已知an是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和(1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時，求q的值；(2)當(dāng)Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù)k，amk，ank，alk也成等差數(shù)列考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化簡得q2q10.解得q.(2)證明若q1，則an的各項(xiàng)均為a，此時amk，ank，alk顯然成等差數(shù)列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk成等差數(shù)列三、探究與拓展14數(shù)列an滿足：a1，且an1(nN*)，則_.考點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)綜合答案2 017解析由題意可知，即1，又1，所以1，所以nn，則2 0182 017.15