淺談美育在數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中的作用

1、淺談美育在數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中的作用云和中學(xué) 梅林峰摘要：本文通過對數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)出的美育教學(xué)及解題方式的整理與歸納，初步分析了數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的潛在作用及其在解題中的宏觀指導(dǎo)作用，通過對數(shù)學(xué)美感的分析、挖掘，使學(xué)生在解題中感受、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，促進(jìn)學(xué)生思想素質(zhì)的培養(yǎng)與訓(xùn)練。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美、學(xué)生、宏觀指導(dǎo)數(shù)學(xué)美這一名詞在數(shù)學(xué)教育界已不是什么新概念了，和任何感覺一樣，人們對于美感也具有強(qiáng)烈的感情色彩。我們已經(jīng)知道，數(shù)學(xué)具有簡單美、和諧美、奇異美、對稱美等特征，但由于數(shù)學(xué)美蘊(yùn)藏于它特有的抽象符號、嚴(yán)格語言、演繹體系中，沒有象音樂中抒情的旋律、美術(shù)中鮮艷的圖畫、文學(xué)中動人的詩歌那樣有華麗誘人的服飾，因此，一般

2、人往往覺得數(shù)學(xué)單調(diào)枯燥、神秘莫測，難以喚起審美的情趣，給美育在數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施帶來不小的難度。那么，如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)美在教學(xué)及解題中的潛在作用呢？本文通過數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及數(shù)學(xué)美在具體解題過程中的指導(dǎo)作用出發(fā)，對此作一初步論述。一.數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的潛在作用(一) 激發(fā)求知興趣凡是有興趣于某事物，人們總是會想辦法去接近它、認(rèn)識它、獲得它，并對它產(chǎn)生愉快情緒的體驗(yàn)。因此，興趣是求知的重要動力，沒有興趣，人們是不可能積極主動的學(xué)習(xí)的。數(shù)學(xué)教學(xué)的成敗，很大程度上取決于能否激發(fā)起學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。這種興趣產(chǎn)生于教學(xué)過程中學(xué)生對藝術(shù)性、趣味性、驚奇性等的精神感受。學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、積極性固然與他們的正確

3、的學(xué)習(xí)目的和方法有關(guān)，但是也與興趣密不可分。而所學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)美因素，能使學(xué)生產(chǎn)生興趣，從而刺激和調(diào)動他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性。因此教師應(yīng)充分運(yùn)用數(shù)學(xué)美的感染力，以引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強(qiáng)烈的探求欲望。(二)啟迪思想活動 開發(fā)智力，提高能力的核心是發(fā)展思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一個數(shù)學(xué)題的解法是否合理，除了有實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)和邏輯標(biāo)準(zhǔn)之外，還有美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)一種解法尚未達(dá)到數(shù)學(xué)美的境界時就必須按照美的規(guī)律加以改進(jìn)。學(xué)生對于解法美的追求，啟迪和推動了他們的數(shù)學(xué)思維活動，使邏輯思維、靈感思維交融促進(jìn)，使他們的聰明才智獲得充分的發(fā)展。通過具體的例子，說明了學(xué)生在求“真”和求“善”的基礎(chǔ)上，刻意求“美”，在追求

4、解法最優(yōu)，結(jié)論最美的思維活動中發(fā)展了自己的創(chuàng)造能力。（三）深化理解知識在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)美作為一種誘因，往往能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。根據(jù)數(shù)學(xué)美的和諧性特征，讓學(xué)生對前、后知識進(jìn)行比較，理解他們的內(nèi)在聯(lián)系，從而形成知識的有序結(jié)構(gòu)和解題方法體系，這對減輕他們的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、提高學(xué)習(xí)效率無疑有積極的意義。具體生動的數(shù)學(xué)美不但可以給學(xué)生以美的享受，而且還能啟迪學(xué)生思維深化的方向，對深入理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識起到了促進(jìn)作用。（四）陶冶思想情操愛美是人的天性，人之愛美，在青少年時期尤為突出。因此，審美教育必須抓住這個最佳時期，當(dāng)然，審美教育在形式上應(yīng)是自由的、生動活潑的，它不應(yīng)帶有法制教育、那種強(qiáng)制性，

5、也無須帶有道德教育那種約束性。事實(shí)上，審美教育是讓學(xué)生在美的享受之中開啟心靈，引起精神的升華。數(shù)學(xué)美是美的一種高級形式，如果教師能在課堂教學(xué)中利用生動的材料，以數(shù)學(xué)美的魅力撥動學(xué)生的心弦，使他們在享受數(shù)學(xué)美的愉悅中增長知識、受到教益，并在情感上產(chǎn)生共鳴，就能收到陶冶情操的良好效果。 二、解題中的宏觀指導(dǎo)作用（一）簡單美 簡明就是一種美。法國哲學(xué)家狄德羅說過：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題，是指難解決的問題，而所謂美的回答，則是指對難解決問題的簡單回答。”有很多數(shù)學(xué)題，其表面形式很復(fù)雜，但是，其本質(zhì)總是存在簡單的一面，在解題過程中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察、分析問題，找到問題的本質(zhì)特征，尋求簡潔解法。 例1

6、已知：方程 (a2-2b2) x2 + (2b2-2c2 ) x + 2c2- a2 = 0 有兩個相等的實(shí)數(shù)根， 求證：a2=b2+c2 .析證：這類問題一般是用判別式解證，但運(yùn)算繁瑣。經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)方程各項(xiàng)系數(shù)和等于零，從而知方程必有一根為1，又因?yàn)榉匠虄筛嗟?，故兩根均?，于是由韋達(dá)定理，得 a2-2b2= 2c2 èa2=b2+c2 .這種證法一舉抓住了問題的關(guān)鍵，證題過程明快、流暢、簡潔、透徹，能給人一種美的享受。例2 現(xiàn)用一扇形卷成一圓形容器，欲使該容器的容積等于2，扇形半徑至少等于多少？解題思路：求出當(dāng)扇形半徑為r時，所卷成的圓錐形容器容積的最大值，再令此最大值等于

7、2，解出r.說明：這是一道條件與結(jié)論都非常簡潔的題目，把一個求最值的問題，統(tǒng)統(tǒng)隱含在“至少”二字當(dāng)中。略解：設(shè)扇形半徑為r，圓心角為，則所卷成的圓錐形容器的容積為V=·2 求得 Vmax = ，令 =2 得 r = 3（二）和諧美希臘數(shù)學(xué)家裴安認(rèn)為，和諧是復(fù)雜的統(tǒng)一，是對立的協(xié)調(diào)，經(jīng)過數(shù)學(xué)變化出現(xiàn)了統(tǒng)一的均衡美。在教學(xué)中不斷向?qū)W生揭示和諧的數(shù)學(xué)美，使其明確數(shù)學(xué)內(nèi)容盡管豐富多彩，卻處于和諧的統(tǒng)一體中，教學(xué)方法雖然絢麗多姿，卻能互相轉(zhuǎn)化、結(jié)合。讓學(xué)生在品味和諧美的同時，養(yǎng)成對一個問題能從多方面考慮，對一個對象能想出不同的解法。從而為打通解題途徑奠定基礎(chǔ)。一個和諧的數(shù)學(xué)命題往往可啟迪我們的

8、解題思路。例1 已知：數(shù)列an為等差數(shù)列（公差d=0），an的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ak1，ak2，ak3，ak4，。，akn，恰為等比數(shù)列，其中k1=1，k2=5，k3=17 求：k1+k2+k3+。+kn 。說明：此題將等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用有機(jī)的綜合在一起，毫無拼接的痕跡，給人以一氣呵成的感覺。略解：ak1=a1，ak2=a5=a1+4d=a1q，ak3=a17=a1+16d=a1q2，由以上式子可得 a1=2d，q=3 所以 akn=a1+(kn-1)d=( kn+1)d 又 akn=a1qn-1=2d·3n-1 所以 (kn+1)d=2d·3n

9、-1 kn=2·3n-1-1 所以 k1+k2+k3+。+kn = -n=3n-1-n 例2 已知： + + + =1； + + + =1；+ + + =1； + + + =1 。求： x2 + y2 + z2 + w2 的值析解：已知的四個方程井然有序，給人以和諧的美感，于是憑直覺能預(yù)感到，如果貿(mào)然通分，分別求解x2，y2，z2，w2，就會破壞這種美的形式，勢必運(yùn)算浩繁！但從方程嚴(yán)整的規(guī)律中發(fā)現(xiàn)22，42，62，82這四個數(shù)可以看成是關(guān)于t的方程 + + + = 1 的四個根。把這四個方程去分母，整理，得 t 4- ( x2 + y2 + z2 + w2 +12 + 32 + 52

10、 + 72 ) t3+。= 0 由四次方程的韋達(dá)定理，得 x2 + y2 + z2 + w2 +12 +32 +52 +72 = 22 + 42 + 62 + 82 è x2 + y2 + z2 + w2 = 8+7+6+5+4+3+2+1=36 從命題的美中得到啟示，在和諧美的指引下，就找到了美的解法。(三)奇異美大發(fā)明家愛迪生叫他的助手計算一只燈泡的容積，由于燈泡不是規(guī)則的幾何體，這位助手算了半天也沒有結(jié)果，而愛迪生用燈泡裝滿水后倒入量筒，一下子就得出了燈泡的容積。兩種方法，繁簡竟有天壤之別，愛迪生的方法之妙出人意料，令人拍案叫絕。這就是解法的奇異美。數(shù)學(xué)題有一般的規(guī)律和解題模式

11、，但每道數(shù)學(xué)題又都有各自特殊的性質(zhì)，這些特殊的性質(zhì)構(gòu)成了數(shù)學(xué)的奇異美。用數(shù)學(xué)的奇異美思想作指導(dǎo)，在求解某些問題的時候，可突破常規(guī)思路，找到別開生面、出奇制勝的解法。例1 比較 ，的大小。析解：用常規(guī)方法是化為同分母后比較分子的大小，但運(yùn)算量太大！從問題的方面著手，通分子，思想豁然開朗。四個數(shù)分別是，結(jié)論自明。由本題可以看出：奇異之美在于敢“異想天開”，獨(dú)辟蹊徑。例2 已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線的方程是x=1，傾斜角為45o的直線L交橢圓于A 、B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，直線AB與OM的夾角為a，（1）當(dāng)a = arctan2時，求橢圓方程。（2）當(dāng)arctan2 < a &l

12、t; arctan3時，求橢圓短軸長的范圍。分析：此題是一道求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的題目。第一個條件很普通，第二個條件具有一定的奇異美。我們知道橢圓的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡是橢圓的一條直徑，因此盡管L不定，但因L的傾斜角已定，故OM的斜率仍然是確定的（可用方程中的待定系數(shù)表示），題中的第(2)小題與第(1)小題配對是很和諧的，第(1)小題中的a是一個確定的角，因而橢圓也就確定了，便存在一個求橢圓方程的問題，第(2) 小題中a在某一范圍內(nèi)變化，便產(chǎn)生了求短軸長的范圍的問題。略解：（1）由已知得 = 1 ，可設(shè)橢圓的方程為 + = 1.(*) 設(shè)L 的方程為 y = x + m.(*)由（*）（*）消去y

13、得 ( 2 c ) x2 + 2mx + m2 + c2 c = 0由上式可得 M ( ， ) 所以 kom = c - 1 而 | | = 2 所以 | = 2 解得 c = 故橢圓方程為 + = 1(2) 由 2 < | < 3 解得 < c < 而 b = 所以 < 2b < 1 。 (四) 對稱美數(shù)學(xué)中的對稱因素俯拾即是，對稱式、對稱圖形、對稱結(jié)構(gòu)、對稱變化等無不顯示數(shù)學(xué)美的魅力。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生追求對稱美，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識和掌握它的規(guī)律，發(fā)掘圖形和數(shù)量之間對稱的特點(diǎn)，可以使思維的合理性得到培養(yǎng)和訓(xùn)練。對稱的條件能夠?qū)е聦ΨQ的結(jié)論，也可以運(yùn)用對稱的方法求

14、解。例如在平面幾何中，當(dāng)圖形是軸對稱，或圖形的某些部分關(guān)于直線對稱時，我們常通過對稱變化構(gòu)造對稱圖形，使分散的條件相對集中，以溝通已知和未知的關(guān)系，打通解題途徑。例1 如圖，CD和BE分別是ABC中ACB和ABC的外角平分線，CDAD，AEBE，若BC=a，CA=b，AB=c，求ED的長。 A E DF B C G 析解： 從圖形上看，EB和BC可能是平行的，于是猜想ED是某個三角形的中位線，但如何構(gòu)造出猜想的三角形呢？由于已知中有對稱的條件，由對稱美的追求不難想到把BEA沿BE翻折到BEF，把CDA沿DC翻折到CDG，得AFG，容易證明ED就是AFG的中位線。所以ED= 。例2 已知： 0

15、< a < 1，0 < b < 1，0 < c < 1 求證：abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3分析 ：由于 abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3左邊是對稱式，所以只要能證明 a (1 a ) 即可。 因a和1-a 都是正數(shù)，所以有 2 a+(1-a) = 1即 a (1-a ) 由對稱性直接可得 b (1-b) ； c (1-c) 故 abc(1 a )(1 b)(1 c) ()3 。由以上例題和分析可知，用數(shù)學(xué)美的思想方法指導(dǎo)解題，不僅可以提高學(xué)生的解題能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和審美能力，數(shù)學(xué)教材中關(guān)于數(shù)學(xué)美的素材非常豐富，作為教師，我們應(yīng)該深入挖掘和精心提煉這些美的因素，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)美的思想方法指導(dǎo)解題，使學(xué)生從行之有效的數(shù)學(xué)方