最優(yōu)控制概述

1、Ch.7 最優(yōu)控制原理最優(yōu)控制原理 本本 章章 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介(1/1)(1/1)本本 章章 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介q 本章討論最優(yōu)控制問題初步,目的是使讀者掌握求解最優(yōu)控制問題的主要理論和方法,能對(duì)一些常見的最優(yōu)控制問題進(jìn)行有效的分析和求解。 主要內(nèi)容包括 泛函基礎(chǔ)、 變分法和極大值原理、 線性二次型最優(yōu)控制問題,以及 離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。 本章最后介紹基于Matlab的線性系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算與運(yùn)動(dòng)仿真問題的程序設(shè)計(jì)與仿真計(jì)算。目錄目錄(1/1)(1/1)目目 錄錄q 7.1 最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制概述 q 7.2 變分法變分法q 7.3 變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)用變分法在最優(yōu)控制中的應(yīng)

2、用q 7.4 極大值原理極大值原理q 7.5 線性二次型最優(yōu)控制線性二次型最優(yōu)控制q 7.6 動(dòng)態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制動(dòng)態(tài)規(guī)劃與離散系統(tǒng)最優(yōu)控制q 7.7 Matlab問題問題q 本章小結(jié)本章小結(jié)最優(yōu)控制概述最優(yōu)控制概述(1/1)1/1)最優(yōu)控制最優(yōu)控制概述概述 q 從20世紀(jì)50年代末迅速發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論中,最優(yōu)控制是其中一個(gè)主要內(nèi)容,亦是目前較活躍的一個(gè)分支。 最優(yōu)控制問題是從大量的實(shí)際問題中提煉出來的,它的發(fā)展與航空、航天、航海的制導(dǎo)、導(dǎo)航和控制技術(shù)密不可分。 下面先通過幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例來引出最優(yōu)控制問題, 然后討論最優(yōu)控制問題的描述及數(shù)學(xué)表達(dá)。 內(nèi)容為 最優(yōu)控制問題的提出最優(yōu)控制問

3、題的提出 最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述 最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史 最優(yōu)控制問題的提出(1/1)(1/1)7.1.1 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題的提出的提出q 考慮下面幾個(gè)實(shí)際最優(yōu)控制問題的例子。 飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題 間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題 連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題(1/3)(1/3)1) 飛船的飛船的月球軟著陸問題月球軟著陸問題q 飛船靠其發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生一個(gè)與月球的重力方向相反的推力,以控制飛船實(shí)現(xiàn)軟著陸,即落到月球時(shí)的速度為零。 問題要求選擇發(fā)動(dòng)機(jī)推力程序

4、,使飛船攜帶的燃料最少或著陸時(shí)間最短(最速升降問題)。q 設(shè)飛船的質(zhì)量為m , 高度和垂直速度分別為h 和 h ,月球的重力加速度g可視為常數(shù),飛船的自身質(zhì)量及所攜帶的燃料分別為M和F,推力f(t)。 若飛船于某一初始時(shí)刻起開始進(jìn)入著陸過程, 由牛頓第二定理和物料(燃料)平衡關(guān)系可知,飛船的運(yùn)動(dòng)方程為0kkfmgmfvvhm(0)=M+Fmgfvh飛船的月球軟著陸問題飛船的月球軟著陸問題(2/3)(2/3) 要求控制飛船從初始狀態(tài)h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F出發(fā),在某一末態(tài)時(shí)刻tf實(shí)現(xiàn)軟著陸,即h(tf)=0, v(tf)=0 控制過程中,推力f(t)不能超過發(fā)動(dòng)機(jī)所能

5、提供的最大推力fmax,即-fmaxf(t) fmax 滿足上述約束條件,使飛船實(shí)現(xiàn)軟著陸的推力程序并非一種, 其中消耗燃料最少的稱為燃料控制問題燃料控制問題, 著陸時(shí)間最短著陸時(shí)間最短的稱為最速升降問題最速升降問題或時(shí)間最優(yōu)控制問題時(shí)間最優(yōu)控制問題。這兩個(gè)問題可歸結(jié)為分別求J1=m(tf)J2=m(tf) 為最小的數(shù)學(xué)問題。 m(0)=M+Fmgfvh間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題(1/3)(1/3)2) 間歇化學(xué)反應(yīng)器的間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題最大產(chǎn)量控制問題q 設(shè)間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)進(jìn)行如下常見的化學(xué)反應(yīng)式中,k1(t)和k2(t)為反應(yīng)速率常數(shù),并

6、與溫度T滿足如下關(guān)系 該化學(xué)反應(yīng)式可代表一大類化工操作,通常希望中間產(chǎn)物B的產(chǎn)量盡可能大,因而要求防止后面的反應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下去。CBATkTk)()(212 , 1exp)(01iRTEATkii間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題(2/3)(2/3)q 為更清楚地討論上述產(chǎn)量最大的控制問題,設(shè)化學(xué)反應(yīng)式的第一步反應(yīng)是二級(jí)反應(yīng),第二步反應(yīng)是一級(jí)反應(yīng)。 這樣,可得如下間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)的物料平衡方程式中,C1(t)和C2(t)分別是物質(zhì)A和B的濃度。 將反應(yīng)速率常數(shù)k1(t)和k2(t)代入上式,則有 設(shè)反應(yīng)時(shí)間區(qū)間t0,tf,反應(yīng)器內(nèi)溫度T(t)滿足T*T(t)T* t

7、0ttf 21111022112220( )( )( )( )1.0( )( )( )( )( )( )0C tk T CtC tC tk T Ctk T C tC t 2 , 1exp)(01iRTEATkii間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題間歇化學(xué)反應(yīng)器的最大產(chǎn)量控制問題(3/3)(3/3) 該問題的目標(biāo)是確定反應(yīng)器內(nèi)溫度T(t)應(yīng)該如何變化,才能使在時(shí)刻tf時(shí)B物質(zhì)的產(chǎn)量C2(tf)為最大,即歸結(jié)到在約束條件下,求J=C2(tf)最大的數(shù)學(xué)問題。連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題(1/2)1/2)3) 連續(xù)攪拌槽的連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題溫度控制問題 q 設(shè)有一盛液體的連續(xù)

8、攪拌槽,如圖7-1所示。槽內(nèi)開始裝有0oC的液體,現(xiàn)需將其溫度經(jīng)1小時(shí)后升高到40oC。圖圖7-1 連續(xù)攪拌槽示意圖連續(xù)攪拌槽示意圖 為此在入口處以常速流入溫度為u(t)的液體,經(jīng)槽內(nèi)不停轉(zhuǎn)動(dòng)的攪拌器使槽內(nèi)液體溫度均衡上升。 在出口處,設(shè)流出的液體保持槽內(nèi)液面恒定,其溫度與槽內(nèi)液體一致。 試尋找u(t)的變化規(guī)律,使槽中液體的溫度經(jīng)1小時(shí)后上升到40oC,并要求所散失的熱量最少。連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題連續(xù)攪拌槽的溫度控制問題(2/2)2/2)q 因假定槽內(nèi)液體溫度均衡,設(shè)為x(t)。 由題設(shè)條件可知,x(t)的邊界條件為x(0)=0oC, x(1)=40oC 由熱力學(xué)知識(shí)可知,槽內(nèi)的液體溫度

9、的變化率與溫差u(t)-x(t)成正比,即式中,k1為比例系數(shù)。 我們的目標(biāo)是確定流入的液體的溫度u(t)如何變化,使得散失的熱量最少,即歸結(jié)為在上述狀態(tài)方程和邊界條件下,求函數(shù)最小的數(shù)學(xué)問題。 1( ) ( )( ),(0)0, (1)40 x tk u tx txxC102322d)()(ttuktxkJ最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述(1/1)(1/1)7.1.2 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題的描述的描述q 從前面的應(yīng)用實(shí)例可以看出,最優(yōu)控制問題可以抽象成共同的數(shù)學(xué)問題描述,這將給最優(yōu)控制理論的研究帶來方便。 所謂最優(yōu)控制問題的描述,就是將通常的最優(yōu)控制問題抽象成一個(gè)統(tǒng)一描述的數(shù)學(xué)問題,

10、并用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)格地表述出來。 最優(yōu)控制問題的描述包括: 被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 目標(biāo)集目標(biāo)集 容許控制容許控制 性能指標(biāo)性能指標(biāo) 最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述 被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1/2)(1/2)1. 被控系統(tǒng)的被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型q 前面討論的飛船控制系統(tǒng)和攪拌槽溫度系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng),所建立的描述該最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)模型都為狀態(tài)空間表達(dá)式。 因此,對(duì)一般被控系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,其數(shù)學(xué)模型可以用如下非線性時(shí)變時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述: 式中, x為n維狀態(tài)向量;u為r維輸入向量;y為m維輸出向量; f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為

11、n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時(shí)間t的非線性函數(shù)向量。),(),(ttuxgyuxfx 被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2/2)(2/2)q 對(duì)許多實(shí)際被控系統(tǒng),在一定精度范圍內(nèi),其最優(yōu)控制問題中的數(shù)學(xué)模型也可以分別采用 線性定常系統(tǒng)、 線性時(shí)變系統(tǒng)和 非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。目標(biāo)集目標(biāo)集(1/3)(1/3)2. 目標(biāo)集目標(biāo)集q 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在控制u(t)的作用下總要發(fā)生從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移,這種轉(zhuǎn)移可以理解為狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn)或系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)。 在最優(yōu)控制問題中,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)(稱初態(tài))通常是已知的,即x(t0)=x0為已知, 而所要達(dá)到的最終狀態(tài)x(tf)

12、(稱末態(tài))是控制所要求達(dá)到的目標(biāo)。目標(biāo)集目標(biāo)集(2/3)(2/3) 因問題而異,末態(tài)可以是狀態(tài)空間的一個(gè)點(diǎn),更為一般的情況是末態(tài)要落在事先規(guī)定的范圍內(nèi),如要求末態(tài)滿足如下約束條件g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf)0式中,g1(x(tf),tf)和g2(x(tf),tf)為關(guān)于末態(tài)時(shí)刻tf和末態(tài)狀態(tài)x(tf)的非線性向量函數(shù)。 上述末態(tài)約束條件概括了對(duì)末態(tài)的一般要求。 實(shí)際上,該末態(tài)約束條件規(guī)定了狀態(tài)空間中的一個(gè)時(shí)變的或時(shí)不變的集合,此種滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標(biāo)集目標(biāo)集,記為M,并可表示為M=x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf

13、),tf)0目標(biāo)集目標(biāo)集(3/3)(3/3) 需要指出的是,有些最優(yōu)控制問題并沒有對(duì)末態(tài)加以約束,則該問題的目標(biāo)集為整個(gè)狀態(tài)空間Rn,但此時(shí)并不意味著對(duì)末態(tài)沒有要求,系統(tǒng)還可以通過下面要介紹的性能指標(biāo)等約束末態(tài)。 至于末態(tài)時(shí)刻tf,它可以事先規(guī)定,也可以由對(duì)末態(tài)的約束條件和性能指標(biāo)等約束。容許控制容許控制(1/1)(1/1)3. 容許控制容許控制q 輸入向量u(t)的各個(gè)分量ui(t)往往是具有不同的物理屬性和意義的控制量,在實(shí)際系統(tǒng)中,大多數(shù)控制量受客觀條件的限制,只能在一定范圍內(nèi)取值。 如飛船控制系統(tǒng)中控制量有大小范圍的限制大小范圍的限制, -fmaxf(t) fmax;又如在控制量為開關(guān)

14、量的控制系統(tǒng)中,輸入僅能取有限的幾個(gè)取有限的幾個(gè)值值, 如-1,+1。 由控制量約束條件所規(guī)定的點(diǎn)集稱為控制域,并記為U。 凡在閉區(qū)間t0,tf上有定義,且在控制域U內(nèi)取值的每一個(gè)控制函數(shù)u(t)稱為容許控制容許控制,并記為u(t)U。 通常假定容許控制u(t)是一個(gè)有界連續(xù)函數(shù)或者是分段連續(xù)函數(shù)。性能指標(biāo)性能指標(biāo)(1/3)(1/3)4. 性能指標(biāo)性能指標(biāo)q 從前面的應(yīng)用實(shí)例可以看出,最優(yōu)控制問題最后歸結(jié)到從所有容許控制中找出一種效果最好的控制律,這就需要一個(gè)能衡量控制效果好壞或評(píng)價(jià)控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)函數(shù)。 例如, 飛船控制系統(tǒng)要求所攜帶的燃料最少或到達(dá)末態(tài)的時(shí)間最短,而連續(xù)攪拌槽系統(tǒng)的性

15、能指標(biāo)為一個(gè)帶函數(shù)積分的指標(biāo),需求其最小。 由于各種最優(yōu)控制問題所要解決的主要矛盾不同,設(shè)計(jì)者的著眼點(diǎn)不同,因此歸結(jié)出的性能指標(biāo)是不同的。性能指標(biāo)性能指標(biāo)(2/3)(2/3)q 一般形式的性能指標(biāo)為式中,右邊第1項(xiàng)稱為末態(tài)性能指標(biāo),體現(xiàn)了對(duì)末態(tài)的要求; 第2項(xiàng)稱為積分性能指標(biāo),體現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化過程中的狀態(tài)x(t)和u(t)的要求。 在通常情況下,可將各種不同的性能指標(biāo)視為一般形式的性能指標(biāo)的一種特例。 如飛船控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以視為當(dāng)S(x(tf),tf)=m(tf) L(x,u,t)=0時(shí)上述一般形式性能指標(biāo)的一個(gè)特例。fttffttttLttSJ0d),(),(),(uxxq 性能指

16、標(biāo)函數(shù)又稱為指標(biāo)泛函、目標(biāo)函數(shù)、代價(jià)函數(shù)和評(píng)價(jià)函數(shù)等。末態(tài)性能指標(biāo)積分性能指標(biāo)最優(yōu)控制問題的描述最優(yōu)控制問題的描述(1/2)1/2)5. 最優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制問題的描述描述 q 總結(jié)上述最優(yōu)控制問題的數(shù)學(xué)模型、目標(biāo)集、容許控制以及性能指標(biāo),則最優(yōu)控制問題的描述可敘述為: 已知被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)為 規(guī)定的末態(tài)目標(biāo)集為M=x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0 求一容許控制u(t)U,tt0,tf,使被控系統(tǒng)由給定的初態(tài)x0出發(fā),在tft0時(shí)刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集M,并使如下性能指標(biāo)為最小 00( )( ( ), ( ), ),( )ttt

17、 tt xf xuxxfttffttttLttSJ0d),(),(),(uxxq 值得注意的是,所謂的“最優(yōu)性”,是指被控系統(tǒng)相對(duì)于性能指標(biāo)函數(shù)意義下的最優(yōu)性。 不同的性能指標(biāo)函數(shù),最優(yōu)控制結(jié)果是不相同的。最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(1/5)(1/5)7.1.3 最優(yōu)控制最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史發(fā)展簡(jiǎn)史q 20世紀(jì)50年代,隨著現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展,特別是空間技術(shù)的發(fā)展,被控系統(tǒng)日趨復(fù)雜,對(duì)自動(dòng)控制提出的要求愈來愈高。 于是,那種建立在傳遞函數(shù)、頻率特性基礎(chǔ)上的經(jīng)典控制理論,日益暴露出它的局限性。 主要表現(xiàn)在: 首先,它只適用于集中參數(shù)的SISO線性定常系統(tǒng),且只適應(yīng)于以解決伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性為主要目標(biāo)

18、的設(shè)計(jì)問題,難以適應(yīng)綜合性能指標(biāo)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的要求。 再者,在應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)時(shí),需要憑經(jīng)驗(yàn)試湊及大量手工計(jì)算,難以用來解決復(fù)雜問題。最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(2/5)(2/5) 現(xiàn)代化生產(chǎn)的發(fā)展使系統(tǒng)所要求的品質(zhì)指標(biāo),如時(shí)間、成本或綜合性能指標(biāo),取極值直至最優(yōu)的控制方法成為控制理論與工程的關(guān)鍵問題。q 現(xiàn)代控制理論能處理的問題的范圍很廣。 原則上,它可以用來處理時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及分布參數(shù)系統(tǒng)的問題。 用它來處理隨機(jī)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)問題同樣是很方便的。 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分,同樣,它能處理的控制問題的范圍也非常廣泛。最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史最優(yōu)控制發(fā)展簡(jiǎn)史(3/5)(3/5)q 早在20世紀(jì)50年代初期,就發(fā)表了用工程觀點(diǎn)研究最短時(shí)間控制問題的文章,為最優(yōu)控制理論的