導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義回顧回顧平均變化率平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(xy=f(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :割線的斜率割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顧回顧以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。我們把物體

2、在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是: 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式,

3、 y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.回回顧顧PQoxyy=f(x)割割線線切線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即即x0時(shí)時(shí),割線割線PQ如果有一個(gè)極限位置如果有一個(gè)極限位置PT.則我則我們把直線們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那那么當(dāng)么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線PQ的斜的斜率率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)P處的處的切切線的斜率線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線這個(gè)概念這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜提

4、供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜 率的一種方法率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù). 要注意要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限如有極限,則在此點(diǎn)則在此點(diǎn)有切線有切線,且切線是唯一的且切線是唯一的;如不存在如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線則在此點(diǎn)處無(wú)切線;3)曲線的曲線的切線切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè)可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè)甚至可以無(wú)窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T例例

5、1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟的基本步驟:求出求出P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo);利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率處的切線的斜率; (2

6、)點(diǎn)點(diǎn)P處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313Pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)P處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()

7、( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的 導(dǎo) 數(shù)等 于 函 數(shù)的 導(dǎo) 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的函 數(shù) 值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí),便是便是x的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即:如何求函數(shù)如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函

8、數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一個(gè)例子:下面把前面知識(shí)小結(jié)下面把前面知識(shí)小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù)導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在理意義了認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過(guò)全過(guò) 程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。 b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增）求函

9、數(shù)的增 量；量；（2）求平均變化率；）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。）取極限，得導(dǎo)數(shù)。（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲，得到曲 線在點(diǎn)線在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切線方程的步驟：求