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文檔簡介

1、下一頁下一頁第第一一章章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模下一頁下一頁玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型符號(hào)模型模型模型是為了一定目的,對(duì)客觀事物的一部分是為了一定目的,對(duì)客觀事物的一

2、部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型我們常見的模型下一頁下一頁你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速,表示船速,y 表示水速,列出方程:表示水速,列出方程:75050)(75030)(yxyx答:船速每小時(shí)答:船速每小時(shí)20千米千米/ /小時(shí)小時(shí). .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米,船從甲到乙順?biāo)叫行枨祝瑥募椎揭翼標(biāo)叫行?0小時(shí),小時(shí),從乙到甲逆水航行需從乙到

3、甲逆水航行需50小時(shí),問船的速度是多少小時(shí),問船的速度是多少?x =20y =5求解求解下一頁下一頁航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)(船速、水速為常數(shù));作出簡化假設(shè)(船速、水速為常數(shù)); 用符號(hào)表示有關(guān)量(用符號(hào)表示有關(guān)量(x, y表示船速和水速);表示船速和水速); 用物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以用物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間)列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程);時(shí)間)列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程); 求解得到數(shù)學(xué)解答(求解得到數(shù)學(xué)解答(x=20, y=5);); 回答原問題(船速每小時(shí)回答原問題(船速每小時(shí)20千米千米/小時(shí))。小時(shí)

4、)。下一頁下一頁數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學(xué)建模(數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象現(xiàn)實(shí)對(duì)象,為了一個(gè),為了一個(gè)特定目的特定目的,根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律,作出必要的,作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具,得到的一個(gè),得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程(包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等)(包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模下一頁下一頁1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展;電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)

5、及飛速發(fā)展; 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步,越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地;在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地; 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具;在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具; 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域,為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域,為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。下一頁下一頁數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì)分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策預(yù)報(bào)與決策 控制與

6、優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼如虎添翼下一頁下一頁1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長,椅腳與地面點(diǎn)接觸,四腳四條腿一樣長,椅腳與地面點(diǎn)接觸,四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三地面相對(duì)平坦,使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。只腳同時(shí)著地。下一頁下一頁模型構(gòu)成模型構(gòu)成

7、用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱性的對(duì)稱性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個(gè)距離兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對(duì)稱性對(duì)稱性下一頁下一頁用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和

8、四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知:已知: f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 , f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0, f(0) 0. 證明:存在證明:存在 0,使,使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地下一頁下一頁模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子

9、旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)900,對(duì)角線,對(duì)角線AC和和BD互換?;Q。由由g(0)=0, f(0) 0 ,知,知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)質(zhì), 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因?yàn)橐驗(yàn)閒( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.評(píng)注和思考評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子

10、和和 f( ), g( )的確定的確定下一頁下一頁1.3.2 商人們?cè)鯓影踩^河商人們?cè)鯓影踩^河問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商一旦隨從的人數(shù)比商人多人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. .商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨

11、從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有經(jīng)有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)下一頁下一頁模型構(gòu)成模型構(gòu)成xk第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)yk第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)vk第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策決策D=(u , v

12、) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 s1=(3,3)到達(dá)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策多步?jīng)Q策問題問題下一頁下一頁模型求解模型求解xy3322110 窮舉法窮舉法 編程上機(jī)編程上機(jī) 圖解法圖解法狀態(tài)狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn)個(gè)格點(diǎn) 10個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)允許決策允許決策 移動(dòng)移動(dòng)1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ,d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案評(píng)注和思考評(píng)

13、注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2下一頁下一頁背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3

14、12.0 13.0研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長如何預(yù)報(bào)人口的增長下一頁下一頁指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 ( (1798) )常用的計(jì)算公式常用的計(jì)算公式kkrxx)1 (0 x(t) 時(shí)刻時(shí)刻t的人口的人口基本假設(shè)基本假設(shè) : 人口人口(相對(duì)相對(duì))增長率增長率 r 是常數(shù)是常數(shù)trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(隨著時(shí)間增加,人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時(shí)間增加,人口按指數(shù)規(guī)律無限增長求得求得 y=rt+a

15、y=lnx a=lnx下一頁下一頁指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不符合不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )下一頁下一頁阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )人

16、口增長到一定數(shù)量后,增長率下降的原因:人口增長到一定數(shù)量后,增長率下降的原因:資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)假設(shè)) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小時(shí)很小時(shí))xm人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量)人口容量(資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量))1 ()(mxxrxrr是是x的減函數(shù)的減函數(shù)mxrs 0)(mxr下一頁下一頁rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線,

17、x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )下一頁下一頁參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào),必須先估計(jì)模型參數(shù)預(yù)報(bào),必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例:美國人口數(shù)據(jù)(單位例:美國人口數(shù)據(jù)(單位百萬)百萬) 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)專家估計(jì)阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模

18、型) )r=0.2557, xm=392.1下一頁下一頁模型檢驗(yàn)?zāi)P蜋z驗(yàn)用模型計(jì)算用模型計(jì)算2000年美國人口,與實(shí)際數(shù)據(jù)比較年美國人口,與實(shí)際數(shù)據(jù)比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實(shí)際為實(shí)際為281.4 (百萬百萬)5 .274)2000(x模型應(yīng)用模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國預(yù)報(bào)美國2010年的人口年的人口加入加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費(fèi)品的售量如耐用消費(fèi)品的售量) )阻滯增長模型阻滯增長模型( (Logistic模型模型) )r=

19、0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0下一頁下一頁 數(shù)學(xué)建模的基本方法數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析機(jī)理分析測試分析測試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí),根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí),找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作將對(duì)象看作“黑箱黑箱”,通過對(duì)量測數(shù)據(jù)的通過對(duì)量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計(jì)分析,找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法,主要通過實(shí)例研究機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法,主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機(jī)理分

20、析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù)1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟下一頁下一頁 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)P蜋z驗(yàn)?zāi)P蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征形成一個(gè)形成一個(gè)比較清晰比較清晰的的問題問題下一頁下一頁模模型型假假設(shè)設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)

21、構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟下一頁下一頁模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較,與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較,檢驗(yàn)?zāi)P偷暮侠硇?、適用性檢驗(yàn)?zāi)P偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟下一頁下一頁數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)

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