數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、臘梅魂臘梅魂在爺爺新蓋的房子的一樓里，曾祖母躺在臨時(shí)搭的木板上，雙手自然地搭在在爺爺新蓋的房子的一樓里，曾祖母躺在臨時(shí)搭的木板上，雙手自然地搭在腹上，胸脯微微地起伏著。沒(méi)有電視里的辛苦呻吟著，相反的，是安慈而端腹上，胸脯微微地起伏著。沒(méi)有電視里的辛苦呻吟著，相反的，是安慈而端莊，眼睛微微地合上，像是安靜地閉目養(yǎng)神，又像是熟睡的嬰兒。讓人不敢莊，眼睛微微地合上，像是安靜地閉目養(yǎng)神，又像是熟睡的嬰兒。讓人不敢驚醒她，打擾她。所有的親人都來(lái)了，靜靜地圍著曾祖母，靜靜地站著，靜驚醒她，打擾她。所有的親人都來(lái)了，靜靜地圍著曾祖母，靜靜地站著，靜靜地靜地看著曾祖母離去看著曾祖母離去我的淚不止地流，把我的衣

2、服都滴濕了，不，是雨水把我的衣服滴濕，不，我的淚不止地流，把我的衣服都滴濕了，不，是雨水把我的衣服滴濕，不，是曾祖母的淚，是，是曾祖母的淚是曾祖母的淚，是，是曾祖母的淚離我家五十部之外有一顆臘梅，那是在我四歲的時(shí)候和曾祖母一起種的，樹(shù)離我家五十部之外有一顆臘梅，那是在我四歲的時(shí)候和曾祖母一起種的，樹(shù)不高，也不茂盛，只有不高，也不茂盛，只有2米來(lái)高。在樹(shù)下，充滿了我和曾祖母的回憶。米來(lái)高。在樹(shù)下，充滿了我和曾祖母的回憶。夏夜，在曾祖母慈愛(ài)的聲音下，我知道了牛郎和織女的愛(ài)情，我望著墨藍(lán)的夏夜，在曾祖母慈愛(ài)的聲音下，我知道了牛郎和織女的愛(ài)情，我望著墨藍(lán)的穹空，了望那閃爍的星子，享受著曾祖母用葵扇扇來(lái)

3、的涼風(fēng)，不知不覺(jué)進(jìn)入穹空，了望那閃爍的星子，享受著曾祖母用葵扇扇來(lái)的涼風(fēng)，不知不覺(jué)進(jìn)入夢(mèng)鄉(xiāng)夢(mèng)鄉(xiāng)冬天清晨，臘梅開(kāi)花了。夾雜著幽幽的清香，像是在迷蒙中的仙境里。曾祖冬天清晨，臘梅開(kāi)花了。夾雜著幽幽的清香，像是在迷蒙中的仙境里。曾祖母總是一大早就坐在臘梅下品茶，而我就會(huì)在一旁用竹子把臘梅花打下來(lái)泡母總是一大早就坐在臘梅下品茶，而我就會(huì)在一旁用竹子把臘梅花打下來(lái)泡茶。茶。那些梅花真好看！鵝黃的花瓣驕傲地翹著，內(nèi)一層的花瓣微微地卷起來(lái)，內(nèi)那些梅花真好看！鵝黃的花瓣驕傲地翹著，內(nèi)一層的花瓣微微地卷起來(lái)，內(nèi)層的花蕊金黃金黃的，軟軟的，像是美麗的公主在寒冬中展示著自己層的花蕊金黃金黃的，軟軟的，像是美麗的公主

4、在寒冬中展示著自己導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義:從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是: 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪

5、種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.xoyy=f(x)一、曲線的切線一、曲線的切線P(x0,y0)Q(x1,y1)當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從x0變化到變化到x1時(shí)，時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值從相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到變化到f(x1)y= f(x1)- f(x0)函數(shù)值的增量函數(shù)值的增量x= x1- x0自變量的增量自變量的增量Mxyy0=f(x0)， y1=f(x1)Q(x0+ x,y0+ y)y=f(x0+ x)-f(x0)xoyy=f(x) 設(shè)曲線設(shè)曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，在曲線在曲線C上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)P(x0,y0)及鄰近一及鄰近一點(diǎn)點(diǎn)Q(x0+

6、x,y0+y),過(guò)過(guò)P,Q兩點(diǎn)作兩點(diǎn)作割割線線，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線沿著曲線無(wú)限接近無(wú)限接近于點(diǎn)于點(diǎn)P點(diǎn)點(diǎn)P處的處的切線切線。即即x0時(shí)時(shí), 如果割線如果割線PQ有一個(gè)有一個(gè)極極限位置限位置PT, 那么直線那么直線PT叫做曲線在叫做曲線在曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義xyPQT 設(shè)割線設(shè)割線PQ的傾斜角為的傾斜角為，切線切線PT的傾斜角為的傾斜角為 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，割線時(shí)，割線PQ的的斜率的極限斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)，就是曲線在點(diǎn)P處的處的切線的斜率切線的斜率，即，即tan =Mxyxxfxxfxyxx)()(0000limlim曲線曲線在某一點(diǎn)處在某一點(diǎn)處的切線的斜率公式的

7、切線的斜率公式x oyy=f(x)PQtan=xyxxfxxf)()(00 k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim【注】【注】求曲線求曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線處的切線的斜率的方法：的斜率的方法： (1)求求y=f(x0+ x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）取極限，得斜率（【注】【注】求過(guò)曲線求過(guò)曲線y=f(x)外點(diǎn)外點(diǎn) P(x1,y1)的切線的方法：的切線的方法： )0k=f x)1010y -f(xx -x0解 x求切線00（x，設(shè) 點(diǎn)f(x切)）0()k xx0y-y求函數(shù)圖象切線需要注意的問(wèn)題 （1）已知切點(diǎn) 求切線：求切線的斜率確定切

8、點(diǎn)寫(xiě)切線方程：00(,()xfx0()kfx00(,()xfx000()()()yf xfxxx（2）已知切線過(guò)點(diǎn) 求切線方程 點(diǎn) 可以在曲線上，也可以不再曲線上A、設(shè)切點(diǎn)B、求斜率C、寫(xiě)切線方程D、代入已知點(diǎn) 列方程組求得 E、代入求得切線方程( , )a b(,)a b00(,()xfx0()kfx000()()()yf xfxxx(,)a b0 x).(01為常數(shù)為常數(shù)公式公式CC )()(21Rnnxxnn 公公式式.cos)(sin3xx公式.sin)(cos4xx 公公式式不需推導(dǎo)，但要注意符號(hào)的運(yùn)算不需推導(dǎo)，但要注意符號(hào)的運(yùn)算.aaaxxln)(5 公式公式xxee )(6公公式

9、式axogaxln1)1(7 公公式式xnx1)1(8 公式公式記記 一一 記記練習(xí)練習(xí)(1) 5x4 ;(2) 6x5 ;(3) cost ;(4) -sin .;3)5(4x .31)6(32x法則法則1:f(x) g(x) = f(x) g(x);法則法則2:)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法則法則3:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf（1）求出函數(shù)）求出函數(shù)f（x）的定義域）的定義域 ；（2）求出函數(shù)）求出函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù) ；)(xf （4）不等式組）不等式組 的解集為的解集為f（x）的單調(diào)減區(qū)間；）的單調(diào)減區(qū)間；()0 xAfx （

10、3）不等式組）不等式組 的解集為的解集為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；）的單調(diào)增區(qū)間；()0 xAfx 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一:判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間注、注、單調(diào)區(qū)間不單調(diào)區(qū)間不 以以“并集并集”出現(xiàn)。出現(xiàn)。 1. 一般地一般地,求函數(shù)的極值的方法是求函數(shù)的極值的方法是: 解方程解方程f(x)=0.當(dāng)當(dāng)f (x0)=0時(shí)時(shí). 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極大值是極大值;（左正右負(fù)極大左正右負(fù)極大） 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極小值是極小值.（左負(fù)右正極小左負(fù)右正極小）0)( xf0)(

11、 xf0)( xf0)( xf2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充而不是充 分條件分條件.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二:求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的的圖象在圖象在a,b上是連續(xù)不斷的曲線上是連續(xù)不斷的曲線,那那么它必有最大值和最小值么它必有最大值和最小值在在a,b上的最大值與最小值的步驟如下上的最大值與最小值的步驟如下:求求y=f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)（即端點(diǎn)的（即端點(diǎn)的函數(shù)值）作比較函數(shù)值）作比較,其中最大的一個(gè)為

12、最大值其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一最小的一個(gè)為最小值個(gè)為最小值. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三：求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值三、綜合應(yīng)用三、綜合應(yīng)用:例例1:確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是: 遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域

13、是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 解得解得x1.10( ) 02(1),1 01xf xxxx 故故f(x)的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是(1,+);由由 解得解得-1x1,故故f(x)的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是(-1,1).( )010fxx 說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間定義域的子區(qū)間,故故 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義首先要確定函數(shù)的定義 域域,在求出使導(dǎo)數(shù)的值為正或負(fù)的在求出使導(dǎo)數(shù)的值為正或負(fù)的x的范圍時(shí)的范圍時(shí),要與要與 定義域求兩者的交集定義

14、域求兩者的交集.(3);0()(2 axaxxxf解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是0,a,且當(dāng)且當(dāng)x0,a時(shí)時(shí),有有:.2)43(2)2()(222xaxxaxxaxxaxxaxxf 由由 及及 解得解得0 x3a/4,故故f(x)的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是(0,3a/4).), 0 (0)(axxf 由由 及及 解得解得3a/4x100,故故f(x)的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是(100,+)., 0)( xf說(shuō)明說(shuō)明:(1)由于由于f(x)在在x=0處連續(xù)處連續(xù),所以遞增區(qū)間可以擴(kuò)大所以遞增區(qū)間可以擴(kuò)大 到到0,100)(或或0,100).(2)雖然在雖然在x=100處導(dǎo)數(shù)為零處導(dǎo)數(shù)為零,但在寫(xiě)

15、單調(diào)區(qū)間時(shí)但在寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí), 都可以把都可以把100包含在內(nèi)包含在內(nèi).例例3:當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí),證明不等式證明不等式:.132xx 證證:設(shè)設(shè) 顯然顯然f(x)在在1,+)上連續(xù)上連續(xù),且且f(1)=0.,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 顯然顯然,當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), ,故故f(x)是是1,+)上的增函數(shù)上的增函數(shù).0)( xf所以當(dāng)所以當(dāng)x1時(shí)時(shí),f(x)f(1)=0,即當(dāng)即當(dāng)x1時(shí)時(shí),.132xx 說(shuō)明說(shuō)明:利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一 種重要方法種重要方法.其解題步驟是其解題步驟是:令令F(x)=f(x)-g(x)

16、,xa,其中其中F(a)=f(a)-g(a)=0,從而從而將要證明的不等式將要證明的不等式“當(dāng)當(dāng)xa時(shí)時(shí),f(x)g(x)”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為證明證明: “當(dāng)當(dāng)xa時(shí)時(shí),F(x)F(a)”.練習(xí)練習(xí)2:已知已知 求證求證:.tan,20 xxx 四、小結(jié)四、小結(jié):1.在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先要確定函數(shù)首先要確定函數(shù) 的定義域的定義域,解決問(wèn)題的過(guò)程中解決問(wèn)題的過(guò)程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi)只能在函數(shù)的定義域內(nèi), 通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于 零的點(diǎn)外零的點(diǎn)外,還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo) 點(diǎn)點(diǎn).3.注意在某一區(qū)間內(nèi)注意在某一區(qū)間內(nèi) ()0只是函數(shù)只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間在該區(qū)間 上為增上為增(減減)函數(shù)的充分不必要條件函數(shù)的充分不必要條件.)(xf 6.利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,是導(dǎo)數(shù)幾何是導(dǎo)數(shù)幾何 意義在研究曲線變化規(guī)律的一個(gè)應(yīng)用意義在研究曲線變化規(guī)律的一個(gè)應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了它充分體現(xiàn)了 數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想.5.若函數(shù)若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a,b