分類討論思想

1、常用數(shù)學(xué)思想方法（常用數(shù)學(xué)思想方法（2 2） 分類討論思想分類討論思想第2講分類討論思想分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解 (或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略分類討論思想可以優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度w 1. 分類討論思想w 分類討論思想是將問(wèn)題已知條件涉及的集合劃分為若干子集，在各個(gè)子集內(nèi)分別討論問(wèn)題的局部解，然后通過(guò)組合各局部解而得到原問(wèn)題的解答的思想方法。2分類討論的常見(jiàn)類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等；(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引

2、起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等； (3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等； (4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等； (5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法； (6)由實(shí)際意義引起的討論

3、：此類問(wèn)題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用3分類討論的原則(1)不重不漏；(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無(wú)原則地討論4解分類問(wèn)題的步驟(1)確定分類討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論；(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類；(3)逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決；(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納w 5.簡(jiǎn)化分類討論的策略w 正難則反；換元法；數(shù)形結(jié)合等.w 6.什么情況下用分類討論思想w 當(dāng)解答問(wèn)題時(shí)不能很明確說(shuō)明，即 說(shuō)不清楚時(shí)就要進(jìn)行分類討論。分類討論思想方法的應(yīng)用 1、數(shù)學(xué)概念的分類方

4、法 數(shù)學(xué)中的許多概念是分類定義的，比如：直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，與這些數(shù)學(xué)概念有關(guān)的問(wèn)題往往需要根據(jù)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類、從而全面完整地解決問(wèn)題 2、運(yùn)算需要分類討論的類型 分類討論的許多問(wèn)題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的，比如：除法運(yùn)算中分母是否為 0；解方程、不等式中的恒等變形；用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性時(shí)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；對(duì)數(shù)運(yùn)算中底數(shù)是否大于1；數(shù)列運(yùn)算中對(duì)公差、公比限制條件的討論等，如果運(yùn)算需要對(duì)不同情況作出解釋，就要進(jìn)行分類討論 3、圖形變化引起分類討論的類型 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變化；函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；

5、圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等答案答案C例題3.若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析：把零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，作函數(shù)的圖象時(shí)，注意對(duì)參數(shù)a的討論解：設(shè)函數(shù)yax(a0且a1)和函數(shù)yxa，則函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)yax(a0且a1)的圖象與函數(shù)yxa的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)由圖象可知(圖略)，當(dāng)0a1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)yax(a1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，而直線yxa的圖象與y軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交

6、點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1.答案a1答案B.aABA,01|B,023|A7.,121|B,52|A.6.522的值，求若集合已知集合例題的取值范圍試求實(shí)數(shù)且集合已知集合例題圓周角定理的證明例題aaxxxxxxmABAmxmxxx.1) 1(,.10.141 , 1-) 10( 12. 9.,4125, 0)6sin()(. 822范圍求恒為正，已知例題的值，求實(shí)數(shù)上的最大值為在區(qū)間且如果函數(shù)例題的值，求，最小值為最大值是上的在已知例題mmxmmxRxaaaaaybaxbaxfxx.1 , 0)(2;) 1 (., 0,)(.13.| , |PF|PF|149.12._20, 0.1122

7、12121222222上的最大值在區(qū)間）求函數(shù)（討論函數(shù)的單調(diào)性為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)其中已知函數(shù)例題的值求點(diǎn)，且個(gè)頂是一個(gè)直角三角形的三、上一點(diǎn)，已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓例題倍，則是短軸的的長(zhǎng)軸橢圓設(shè)常數(shù)例題xfeaexxfPFPFFFPPyxaayaxaax.|cot|cot|tan|tan|cos|cos|sin|sin.14的值域求函數(shù)例題xxxxxxxxy分析：(1)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；(2)轉(zhuǎn)化為求g(x)在0,3上的值域問(wèn)題練習(xí)3. 拋物線y24px(p0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPF為等腰三角形，則這樣的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A 2 B 3 C 4D6分析：

8、根據(jù)題意討論P(yáng)點(diǎn)的位置，確定其滿足題設(shè)條件的個(gè)數(shù)答案答案C練習(xí)練習(xí)4 4有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是_解：根據(jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a如圖(1)，(2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為a，其他各邊長(zhǎng)為2，如圖(2)，此時(shí)a0且a4，即0a4.綜上分析可知a(0,4)答案(0,4)圖(1)圖(2)練習(xí)5. 等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)之和S321，則公比q的值為_練習(xí)6. 已知a0，命題p：函數(shù)ya

9、x(a1)在R上單調(diào)遞減，命題q：不等式|x2a|x1的解集為R，若p和q有且只有一個(gè)是真命題，則a的取值范圍是_w人生的滿分 -潘西文人生中什么才是最重要的呢？勤奮 知識(shí) 運(yùn)氣 愛(ài) 金錢w A B C D E F Gw 1 2 3 4 5 6 7w H I J K L M Nw 8 9 10 11 12 13 14w O P Q R S Tw 15 16 17 18 19 20w U V W X Y Zw 21 22 23 24 25 26勤奮wHardworkw8+1+18+4+23+15+18+11=98知識(shí)wKnowledgew11+14+15+23+12+5+4+7+5=96運(yùn)氣wL

10、uckw12+21+3+11=47愛(ài)wLovew12+15+22+5=54金錢wMoneyw13+15+14+5+25=72態(tài)度wAttitudew1+20+20+9+20+21+4+5=100w 不一樣的態(tài)度造就不一樣的人生。很多時(shí)候人們都期望生活能獲得更好的變化，當(dāng)我們開始改變自己的態(tài)度時(shí)，這種變化就會(huì)發(fā)生。w 當(dāng)你對(duì)他人采取更友善的態(tài)度，就會(huì)覺(jué)得人們變得更加親切；當(dāng)你對(duì)挫折采取更積極的態(tài)度，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)在損失之外還有很大的收獲 改變態(tài)度， 你的人生就能獲得滿分！一位美國(guó)圣公會(huì)的主教曾這樣寫道w 年輕時(shí)浮想聯(lián)翩，w 立志要改變世界；w 當(dāng)我長(zhǎng)大明事理，w 現(xiàn)實(shí)把理想破滅。w 于是我縮小目標(biāo)

11、，w 改變國(guó)家就很好。w 但是看來(lái)，w 國(guó)家也難撼動(dòng)分毫w 當(dāng)我步入暮年，w 改變家庭是我愿。w 可親人卻不肯，w 聽(tīng)從我任何意見(jiàn)。w 現(xiàn)在走向墳?zāi)梗瑆 我方初次領(lǐng)悟。w 只有先改變自己，w 才能帶動(dòng)家庭進(jìn)步。w 有了他們的幫助，w 興許能讓國(guó)家走改革之路。w 誰(shuí)知道，這改革之風(fēng)，w 不會(huì)吹遍世界各個(gè)過(guò)度？我的人行道有個(gè)洞w 一w 我走在大街上。w 有個(gè)深洞在人行道旁，w 我掉進(jìn)了深洞。w 我迷失。我彷徨，w 這不是我的錯(cuò)。w 我花很長(zhǎng)時(shí)間才回到地面上。w 二w 我走在大街上。w 有個(gè)深洞在人行道旁，w 我沒(méi)看見(jiàn)-我假裝。w 我再次掉進(jìn)了深洞。w 我無(wú)法相信竟到達(dá)同一個(gè)地方，w 但這不是我的錯(cuò)。w 我仍然花了很長(zhǎng)時(shí)間才回到地面上。w 三w 我走在大街上。w 有個(gè)深洞在人行道旁，w 我看見(jiàn)它在那里。