ch8 非線性控制系統(tǒng)分析

1、8-3 8-3 相平面分析法相平面分析法 介紹介紹工程上常用的工程上常用的相平面法和描述函數(shù)相平面法和描述函數(shù)法法 非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。 線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理。 非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng)。1. 1. 研究非線性系統(tǒng)的意義研究非線性系統(tǒng)的意義1 1）實(shí)際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非實(shí)際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所

2、產(chǎn)生的影響統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響. .2 2）非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響. . 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析2.2.非線性系統(tǒng)的主要特征：非線性系統(tǒng)的主要特征： 系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始偏差的大小有關(guān)偏差的大小有關(guān) 。 統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號(hào)的大小和初始條件有統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。關(guān)。 在沒有外界周期變化信號(hào)輸入時(shí)，非線性系統(tǒng)在沒有外界周期變化信號(hào)輸入時(shí)，非線性系統(tǒng)完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩

3、過完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過程。程。( (自激振蕩自激振蕩非線性一階系統(tǒng)的時(shí)間響非線性一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)應(yīng)非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（P360）自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 xxx; y xx kx; ym00sgn 11種非線性( (P362-365)P362-365)庫倫摩擦理想繼電特性 ,1有死區(qū)的繼電特性2有滯環(huán)的繼電特性3性有死區(qū)與滯環(huán)的繼電特4峰值限制飽和特性,5有死區(qū)的飽和特性6死區(qū)特性7間隙特性8變?cè)鲆嫣匦?有死區(qū)的線性特性10庫倫摩擦加黏性摩擦11自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8

4、章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析).( xxfx x xx ,xx ,xx ,x21222212 , xxxxxxxxxnn則有,為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析0 xxx dtxdx 11xddtdtxdx dxxddtdxdtxdx dxxdxdxxddtdxdtxdx 00 xxxx 00 xxxx 0)( xxxx 0)( xxxx 0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxxxdxxd0 xxx 第第一一個(gè)新思想是個(gè)新思想是dxxdxx 第第二二個(gè)新思想是個(gè)新思想是令

5、令dxxd 為常數(shù)為常數(shù)xx11 x xx11 x 是相軌跡斜率是相軌跡斜率是等傾線斜率是等傾線斜率xx11 x xx11 x 0 x0 x11 :0 xxx :0 xxx 556120 10355254345838475232323355331616131533511 556120 103552543458384752323233553316161315335xx 0:0 x:0 xxx xx 注意注意這這兩條線兩條線xx 0:0 x:0 xxx xx 0 x叫開關(guān)線叫開關(guān)線自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析注意事項(xiàng)比例尺要相同和）坐標(biāo)軸xx1走向自左向右）上半平

6、面,x02 走向自右向左下半平面,x0 軸相軌跡垂直經(jīng)過）除平衡點(diǎn)外x,3相軌跡越準(zhǔn)確）等傾線越密,4自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析它表示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn),具有002122,xxfx ,x相軌跡的斜率方程 則上式改寫為若令 則得,上式等號(hào)兩邊同除以 令22112210 x,xxf-dxdx , xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,-fdtxd xx,fx 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析22222 0 ,Axxxdxxdxdxxdxx 積分 則上式變?yōu)橐驗(yàn)? 2xx 22222112Axx , xx,xx 則得

7、若令自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（1）無阻尼運(yùn)動(dòng)相軌跡方程為：02 2xxxnn )0(22002nxAx其中相軌跡如圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。 每個(gè)橢圓相當(dāng)于一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2222( )( )nx tx tA自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析圖 系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡n相軌跡的方向如圖中箭頭所示。n相軌跡垂直穿過橫軸。n坐標(biāo)原點(diǎn)處相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)唯一地確定，這種點(diǎn)叫做奇奇點(diǎn)點(diǎn)。圖 的奇點(diǎn)(0,0)通常稱為 中心中心 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（2）欠阻尼運(yùn)動(dòng)02 2xx

8、xnn 10其中22000ndxxAx000ndxxarctgx ( )sin()ntdx tAet方程的解為自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的對(duì)數(shù)螺旋線，這種奇點(diǎn)稱為 穩(wěn)定的焦點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖 系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（3）過阻尼運(yùn)動(dòng) 這時(shí)方程的解為 02 2xxxnn 11212( )q tq tx tAeA e002112xxA001212xxA121 12

9、2( )q tq tx tAq eA q e 相軌跡如圖所示相軌跡如圖所示 。自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析圖圖 過阻尼時(shí)的相軌跡過阻尼時(shí)的相軌跡圖 過阻尼運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為 穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析（4）負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng) 相軌跡圖如圖所示，此時(shí)相軌跡仍是對(duì)數(shù)螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向與欠阻尼圖不同，隨著 t 的增長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為 不穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn) 。02 2xxxnn 01圖自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 系統(tǒng)的相軌

10、跡圖如圖所示，奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。1圖不穩(wěn)定不穩(wěn)定（5）負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 此時(shí)相軌跡如圖所示。奇點(diǎn)稱為 鞍點(diǎn)鞍點(diǎn) 該奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的 。022xxxnn 圖 斥力系統(tǒng)的相軌跡（6）符號(hào)相反的負(fù)實(shí)根線性系統(tǒng)特征根與相軌跡線性系統(tǒng)特征根與相軌跡j j0 0j j0 0j j0 0節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn) 1j0 2j021j j0 01 12 2四、奇點(diǎn)與奇線的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)滿足00 dxxd不定奇點(diǎn)處相軌跡切線斜率交奇點(diǎn)處有多條相軌跡相奇點(diǎn)有虛實(shí)之分為奇線動(dòng)特點(diǎn)區(qū)域的相軌跡稱將

11、相平面劃分為不同運(yùn)常見的奇線是極限環(huán)五、相平面分析的相軌跡02502 xxx.x e開關(guān)線跡死區(qū)非線性系統(tǒng)的相軌無死區(qū)時(shí)的相軌跡飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡時(shí)的相軌跡)t ()t ( r12 0ee 開關(guān)線飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡時(shí)的相軌跡021KMt.)t ( r 時(shí)的相軌跡0.40KMt)t ( r 時(shí)的相軌跡080KMt.)t ( r 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析tBtAtBtAAy2cos2sincossin22110自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析1111sincossintYtBtAy22111111210210,ar

12、ctan1sin1cosBYABAAytdtBytdt efef11自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第第8 8章非線性系統(tǒng)分析章非線性系統(tǒng)分析 11212111arctanABXBAXYXN描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比 。非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)(補(bǔ)充補(bǔ)充)y(t)ty(t)tty(t)y(t)ty(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt)n=122n nn nn nB BA AY Y 200td) t (y1At td d t tn nt ty yA An n 20cos)(1t td d t tn nt ty yB Bn n 20si

13、n)(1若若A A0 0=0=0，且當(dāng)，且當(dāng)n1n1時(shí)，時(shí)，Y Yn n均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！1111 1nnn0)tnsin(YAtsinBtcosA) t (y11 )tsin(Y11 21211BAY 111BAarctg )tsin(Y) t (y11 tsinA) t (x 非線性環(huán)節(jié)可非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)具有和線性環(huán)節(jié)相類似相類似的頻率響應(yīng)形式的頻率響應(yīng)形式為此，定義正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中為此，定義正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波一次諧波

14、分量和輸入信號(hào)的分量和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)描述函數(shù)，用，用N(A)N(A)表示：表示：1j1eAY A Aj jA AB B11 N(A) = N(A) ejN(A) =4A2A3)A(N 2A34A)A(N1 2)0(N1 31)(N1 jImRe0-2-1/3負(fù)倒描述曲線1(補(bǔ)充)描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(P390-395),)s(G)A(N01 程為設(shè)非線性系統(tǒng)的特征方,)s(G01 為設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為最小相角系統(tǒng)，若)s(G點(diǎn)系統(tǒng)不穩(wěn)定，曲線包圍則)j ,()j(G01 點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定，)0,1(曲線不包圍)(則jjG時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。1 )j(G為最小相角系統(tǒng)，若)s(G，曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定曲線包圍則)A(N/)j(G1 曲線非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，曲線不包圍則)A(N/)j(G1 。時(shí)非線性系統(tǒng)臨界穩(wěn)定)A(N/)j(G1 蕩。