1.1.2余弦定理教案

1、綏化市第一中學 高 一 備課組 主備教師：邱艷雷 張瑩 張喜超 授課教師：授課時間2012年3月1 日 3月 日，第 1 周，共 2 課時 課題 余弦定理教學設計 教學目標知識與技能1 通過實踐與探究，會利用數(shù)量積證明余弦定理，提高數(shù)學語言的表達能力，體會向量工具在解決三角形的度量問題時的作用。2會從方程的角度理解余弦定理的作用及適用范圍，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 3會結(jié)合三角函數(shù)利用計算器處理解斜三角形的近似計算問題。過程與方法通過體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用,及數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系.認識數(shù)學知識在生產(chǎn)、生活實際中所發(fā)揮的作用.體會和感受數(shù)

2、學思想的內(nèi)涵及數(shù)學本質(zhì),逐步提高創(chuàng)新意識和實踐能力.情感態(tài)度與價值觀 在方程思想指導下，提升處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。來教學重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明過程及其基本應用。教學難點理解余弦定理的作用及適用范圍。教 學 設 想教材分析這節(jié)課與初中學習的三角形的邊和角的基本關系及判定三角形的全等有密切聯(lián)系，是高考的必考內(nèi)容之一，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也應用很多。因此，余弦定理的知識非常重要。這堂課，我并不準備將余弦定理全盤托出呈現(xiàn)給學生，而是采用創(chuàng)設情境式教學，通過具體的情景激發(fā)學生探索新知識的欲望，引導學生一步步

3、探究并發(fā)現(xiàn)余弦定理。學情分析本節(jié)授課對象是高一學生，是在學生學習了必修基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關系，在學習了正弦定理基礎上進一步研究的。高一學生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實際問題出發(fā)可以激起學生的學習興趣，使學生產(chǎn)生探索研究的愿望。教法設計運用“發(fā)現(xiàn)問題自主探究嘗試指導合作交流”的教學模式整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出：動師生互動、共同探索；導教師指導、循序漸進。（1）新課引入提出問題, 激發(fā)學生的求知欲。（2）掌握余弦定理的推導證明分類討論，數(shù)形結(jié)合，動腦思考,由特殊到一般，組織學生自主探索,獲得余弦定理及證明過程。（3）例題處理

4、始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識。（4）鞏固練習深化對余弦定理的理解。課標或考綱要求 掌握余弦定理的推導及其應用。課件使用意圖 電腦、多媒體。教學環(huán)節(jié)教 學 內(nèi) 容設計意圖教師活動設計學生活動設計一、溫故引新 特例激疑1，正弦定理是三角形的邊與角的等量關系。正弦定理的內(nèi)容是什么？你能用文字語言、數(shù)學語言敘述嗎？你能用哪些方法證明呢？2，運用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？3，思考：如圖，在中，已知，求即。本題是“已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。”的解三角形的問題。本題能否用正弦定理求解？困難：因為角未知, 較難求。二、類比探究 理性演繹正弦定理：在一個三角形中

5、各邊和它的對邊的正弦比相等，即：，其中為三角形外接圓的直徑。說明：正弦定理說明同一個三角形中，邊與它所對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)，使。由，可以解決“已知兩角及其一邊可以求其他邊?！薄耙阎獌蛇吋捌湟贿叺膶强梢郧笃渌?。”等解三角形問題。（一）類比探究當一個三角形的兩邊和它們的夾角確定后，那么第三邊也是確定不變的值，也就是說角的對邊隨著角的變化而變化。師生互動,喚起回憶,充分復習前面學習過的建立數(shù)學模型的方法與過程.對課前已經(jīng)做好復習的學生給予表揚,并鼓勵他們類比以前所學知識方法,繼續(xù)探究新的數(shù)學模型.對還沒有進入狀態(tài)的學生,教師要幫助回憶并快速激起相應的知識方法.切入本

6、節(jié)課的課題，讓學生明確學習任務和目標。同時以設問和探索的方式導入新課，創(chuàng)設情境，激發(fā)思維，讓學生帶著問題，有目的地參與下列教學活動。當一定，變化時，可以認為是的函數(shù)，。當時，（勾股定理），為方便起見，考慮關于的函數(shù)，記作，即。當變化時，怎樣變化？考慮兩種極端情況：當時，則;當時，則;通過畫三角形及分析邊和角度的變化來研究性質(zhì)。利用三角函數(shù)解決生活中的實際問題，培養(yǎng)解決實際問題的能力。優(yōu)化學生的知識結(jié)構，使之系統(tǒng)化、條理化，加強知識間內(nèi)在聯(lián)系的理解和認識。知識性、方法性內(nèi)容的小結(jié)，可把課堂所學知識盡快化為學生的素質(zhì)；數(shù)學思想方法的小結(jié)，可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐

7、漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)。猜想：的系數(shù)與之間存在什么對應關系呢？。（二）理性演繹同學們來考慮，證明恒等式通常采用什么思考方法？這樣的結(jié)構我們在什么地方遇到過?我們比較三種情形的異、同點：當時，則;當時，當時，則相同點:都含有；不同點:的系數(shù)不同；那么就得到了當角為三個特殊角時的公式：，這個公式是不是滿足任意三角形呢？憑感覺上述公式應該滿足任意三角形，但是我們應該給出嚴格的證明。證明：提高學生對比分析能力. 提高證明能力 三、完善知識 剖析升華（二）剖析升華（1）余弦定理與正弦定理一樣，也是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律,余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式含有四個

8、量，從方程的角度看，已知其中三個量，總可以求出第四個量。（3）根據(jù)已知量與未知量的性質(zhì)可以知道，余弦定理可以解決有關三角形的哪些問題呢？利用余弦定理及推論可以解決以下兩類三角形的問題：已知三邊求三角形的三個角；已知兩邊及其夾角求三角形的其他邊與角。這兩種類型問題在有解時都只有一個解，把“邊、邊、邊”和“邊、角、邊”判定三角形全等的定理從數(shù)量化的角度進行刻畫，使其變成了可計算的公式。（4）從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三

9、邊所對的角是鈍角例1：中，求這個三角形的最大角。（一）完善知識（1）余弦定理：在中，則：；（第一種形式）（2）語言表述：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。（3）變形：；（第二種形式）。解：，這個三角形的最大角是。所以這個三角形的最大角是。審讀題意設角建立三角式進行三角變換解決實際問題.教會學生清晰的思維、嚴謹?shù)耐评?，并順利完成書面表達.強調(diào)知識重點.整體把握的數(shù)學方法便于學生鞏固知識，提高教學效果.四、例題示范 遷移運用引申：已知三角形三邊長為，怎樣判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？例2：中，求及。思考：你可以用平面幾何知識求解本題嗎？分析：如圖，在，過作于，則，在中，五、歸納小結(jié) 解：根據(jù)余弦定理可知：；又。1、 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理證明勾股定理呢？2、 余弦定理有兩個基本應用：一