認識一元二次方程二教學案例

1、第二章 一元二次方程1認識一元二次方程（二）山東省青島市第七中學 江 華一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在七年級上學期學習的一元一次方程中，已經(jīng)學習過方程的解的概念，此后又分別在二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程中多次學習了關(guān)于方程（或方程組）的求解的過程。因此對本章中的“使一元二次方程的左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值即為該一元二次方程的解”的概念不難理解；學生活動經(jīng)驗基礎：在相關(guān)知識的學習過程中，學生已經(jīng)初步感受到了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實際問題的經(jīng)驗，解決了一些實際問題。同時通過上一節(jié)課的學習，學生發(fā)現(xiàn)，一元二次方程在生活中也有著廣泛的應用，而列方程、

2、解方程和應用方程是一體的。在學生已有的估算能力的基礎上，引導學生在具體的問題情境中，經(jīng)歷估計近似解的過程，尋找方程的解。同時，在以前的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學任務分析教科書基于學生已有的估算意識和能力以及對方程的解的理解的基礎之上，提出了本節(jié)課的具體學習任務：經(jīng)歷一元二次方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算意識和能力。但這僅僅是這堂課具體的教學目標，或者說是一個近期目標。而數(shù)學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產(chǎn)生實質(zhì)性聯(lián)系。本課認識一元二次方程內(nèi)容從屬于“方程與不等式”這一數(shù)學學習領域，因而

3、務必服務于方程教學的遠期目標：“讓學生經(jīng)歷由具體問題抽象出方程的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效模型，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想”，同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關(guān)情感態(tài)度目標。為此，本節(jié)課的教學目標是：1、結(jié)合上一節(jié)課的實際問題中所建立的一元二次方程模型，激發(fā)學生求解的意識。2、經(jīng)歷探索滿足一元二次方程解或近似解的過程，促進學生對方程解的理解，發(fā)展學生的估算意識和能力。3、進一步提高學生分析問題的能力，培養(yǎng)學生大膽嘗試的精神，在嘗試的過程中體驗到學習數(shù)學的樂趣，培養(yǎng)學生的合作學習意識，學會在合作學習中相互交流。三、教學過程分析本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：

4、第一環(huán)節(jié)：復習回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：練習提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復習回顧活動內(nèi)容：在上一節(jié)課中，我們得到了如下的兩個一元二次方程：，即：；，即：。發(fā)現(xiàn)一元二次方程在現(xiàn)實生活中具有同樣廣泛的應用。上一節(jié)課的兩個問題是否已經(jīng)得以完全解決？你能求出各方程中的x嗎？活動目的：上述兩個問題是承上一節(jié)課的現(xiàn)實問題，通過對這兩個問題情境的回顧，學生自然會產(chǎn)生求解的欲望，符合學生的學習心理。適當?shù)幕仡櫼彩且龑W生不僅要學會將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，而且還應該關(guān)注對該數(shù)學問題進行解答。實際效果：學生能夠意識到上一節(jié)課只是找到了解決問題的途徑，即列方

5、程，但并沒有將方程的解求出來，也就是說并沒有最終找到問題的答案，因而產(chǎn)生了徹底解決這些問題的欲望，因而十分自然地引出了本節(jié)課的主要內(nèi)容：探索一元二次方程的解。第二環(huán)節(jié)：情境引入活動內(nèi)容：1、有一根外帶有塑料皮長為100m的電線，不知什么原因中間有一處不通，現(xiàn)給你一只萬用表（能測量是否通）進行檢查，你怎樣快速的找到這一處斷裂處？與同伴進行交流。2、在前一節(jié)課的問題中，我們?nèi)粼O所求的寬度為x(m)，得到方程：，即：；（1）根據(jù)題目的已知條件，你能確定x的大致范圍嗎？?說說你的理由（2）x可能小于0嗎？可能大于4嗎?可能大于25嗎?說說你的理由，并與同伴進行交流（3）完成下表：x00.511.522

6、.52x2-13x+11（4）你知道所求的寬度x(m)是多少嗎? 還有其他求解方法嗎?與同伴進行交流活動目的：設計問題1，目的在于激發(fā)學生的學習興趣，同時讓學生體會和理解“夾逼”的思想，為2的解決提供鋪墊；問題2，順應第1環(huán)節(jié)，設法求出花邊的寬度，這里引領學生經(jīng)歷一個初步估計范圍、逐步逼近的過程，為后續(xù)其他問題的解決提供了范本、樣例。實際效果：通過對問題1提出的方法進行討論，學生能夠比較自然的得到“夾逼”思想解決一元二次方程的方法，并由學生概括得出用“夾逼”思想解一元二次方程的實質(zhì)及步驟：在未知數(shù)x的取值范圍內(nèi)排除一部分取值，根據(jù)題意所列的具體情況再次進行排除；列出能反映未知數(shù)和方程的值的表格

7、進行再次篩選；最終得出未知數(shù)的最小取值范圍或具體數(shù)據(jù)。然后用這種方法解決接下來的問題2。問題2，第（1）問，因為x表示的是所求的寬度，學生能意識到x不可能小于0；第（2）問，學生大多數(shù)能夠從實際情況出發(fā)，意識到當x大于4和當x大于2.5時，將分別使原矩形地面的長和寬小于0，不符合實際情況；第（3）問，學生在利用計算器對表格中的數(shù)據(jù)進行計算的過程中發(fā)現(xiàn)，當x=1時，代數(shù)式2x2-13x+11的值等于0；所求的寬度為1m。由于方程的解是整數(shù)解，學生都能通過列表計算直接找到方程的解，這就使學生從這種求解的方法中體驗到了方便和巧妙，從而增強了學生學習的積極性，同時培養(yǎng)學生善于觀察分析問題、樂于探索研究

8、的學習品質(zhì)及與他人合作交流的意識。當然，解決第（4）問時，有的學生發(fā)現(xiàn)在方程中，等式的左邊是一個乘積，右邊等于18，而36=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,湊出x=1，這些學生的想法很巧妙，要及時肯定。第三環(huán)節(jié)：做一做活動內(nèi)容：上節(jié)課我們通過設未知數(shù)得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程，把這個方程化為一般形式為（1）你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎?（2）小明認為底端也滑動了1 m，他的說法正確嗎?為什么?（3）底端滑動的距離可能是2 m嗎?可能是3 m嗎?為什么?（4）x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?活動目的：在本環(huán)節(jié)中，使學生充分體驗探求方程解的過程，這既是對

9、上一環(huán)節(jié)的一個練習鞏固，更重要的是在列表求解的過程中，引導學生先確定解的范圍，從而讓學生建立兩邊“夾逼”的思想方法，進而體會無限逼近的思想，促進學生對方程解的理解，為后面學習掌握配方法解一元二次方程做好充分的準備。同時，對于近似解的討論，一方面可以促進學生對方程解的理解，發(fā)展學生的估算意識和能力，另一方面又為方程精確解的研究做鋪墊。需要指出的是，在這一環(huán)節(jié)的計算中，應提倡學生使用計算器。實際效果：由于在解決上一環(huán)節(jié)問題的過程中，學生對用估算的方法求解已經(jīng)有了一個初步的認識。本環(huán)節(jié)中，我將課本中的第三問直接提前到第一問，目的是讓學生體會應首先從實際生活中找到x的取值范圍，學生說理情況非常不錯！然

10、后再將找到的0x4的范圍通過以下的幾問繼續(xù)“夾逼”，使x的范圍進一步縮小。通過這兩步的“夾逼”，讓學生充分體會無限逼近的思想。 附學生對第（1）問的說理過程如下：在此題中，我認為x的取值范圍是0x4。首先，梯子滑動的距離x0是顯而易見的，在下圖中，求得BC=6m,而BD10m,因此CD4m。所以x的取值范圍是0x4。學生完成下面的表格：x01234x2+12x-15-15-2133049同時發(fā)現(xiàn)：沒能在這些整數(shù)取值中找到方程的解，但卻通過表格分析發(fā)現(xiàn)，當x的取值是1和2時，所對應代數(shù)式的值是-2和13，而且隨著x的取值越大，相應代數(shù)式的值也越大。因此若想使代數(shù)式的值為0，那么x的取值應在1和2

11、之間。從而確定x的整數(shù)部分是1。教師啟發(fā)引導學生在1和2之間繼續(xù)找方程的解。以下分了兩種不同的做法：甲同學的做法：x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1x1.5進一步計算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1x1.2因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。乙同學的做法： x1.11.21.31.41.51.61.7x2+12x-15-0.590.842.293.765.256.768.29所以1.1x1.2因此x的整數(shù)部分是1，十分位是1。對于這幾種做法，教師要及時地給與肯定和鼓勵，并可將二者加以比較。通過這一

12、練習，可要求學生整理用“夾逼”思想解一元二次方程的做題思路，并可展示課本中小亮的求解過程。第四環(huán)節(jié)：練習與提高 活動內(nèi)容：五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方。您能求出這五個整數(shù)分別是多少嗎？活動目的：為了檢測學生對本課教學目標的達到的情況，進一步加強知識的應用訓練，我給出了課本上的這道題目，這也是上一節(jié)課中的一個數(shù)學問題的延續(xù)。引導學生從知識獲得途徑、結(jié)論、應用、數(shù)學思想方法等幾個方面展開，引導學生自主歸納完成，這有利于強化學生對知識的理解和記憶，提高分析和小結(jié)能力。教學中應關(guān)注學生對五個連續(xù)整數(shù)的不同表示方法，讓學生比較異同，并在比較中找出最好的表示方法。同時這一題目也是對本節(jié)

13、知識進行的鞏固練習。實際效果：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習，通過練習學生基本都能準確表示出五個連續(xù)整數(shù)，但因設法的不同，所列方程各不相同。在計算該方程的解時，很難確定x的取值范圍，而且在列表的過程中，符合條件的解共有兩個，教師可在學生練習中給與適當?shù)囊龑Ш吞崾?。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)探索解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵，以及在求解（或近似解）時應注意的問題?；顒幽康模汗膭顚W生結(jié)合本節(jié)課的學習，談自己的收獲與感想（學生暢所欲言，教師給予鼓勵）實際效果：學生暢所欲言談自己的切身感受與實際收獲，掌握了本節(jié)課的基本思路和過程。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本37頁習題2.2第1題

14、、第2題、第3題.四、教學反思1、關(guān)注只是發(fā)生發(fā)展過程、關(guān)注數(shù)學活動過程由于在舊教材當中，解方程的過程大多是根據(jù)方程的特點，運用不同的解法直接求精確解，學生掌握的更多的是解方程的技巧和準確度。標準中明確要求加強學生估算意識和能力的培養(yǎng)，這一方面可以促進學生對方程解的理解，另一方面又為方程精確解得研究作了鋪墊。本節(jié)課通過日常生活中豐富有趣的問題情境：讓學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型；體會“夾逼”數(shù)學思想在現(xiàn)實生活中隨處可見，讓學生真正經(jīng)歷“夾逼”數(shù)學思想解題的過程，從而更好地理解“夾逼”思想解一元二次方程的意義和作用，激發(fā)學生的學習興趣；由學生探索交流，分析此種方法的優(yōu)缺點，從而概括出

15、這種方法的實質(zhì)及解題步驟，這既給學生提供了一個充分從事數(shù)學活動的機會，又體現(xiàn)了學生是數(shù)學學習的主人的理念。學生親身經(jīng)歷了知識的形成過程，不但改變了以往學生死記硬背的學習方式，而且在教學活動中培養(yǎng)了學生自主探索、合作交流等良好的學習習慣。當然，學生是不可能滿足于所獲得的近似解的，必然產(chǎn)生精確求解的內(nèi)在要求，在此基礎上自然引入方程的精確求解，從教育心理學角度講，是符合學生認知規(guī)律的，是不可或缺的一個重要過程。2、創(chuàng)造性使用教材在第三環(huán)節(jié)的做一做中，我將問題串的順序稍作改動，使得問題的解決更加流暢。3、相信學生并為學生提供充分展示自己的機會課堂上要把激發(fā)學生學習熱情和獲得學習能力放在教學首位，通過運用各種啟發(fā)、激勵的語言以及小組合作學習等方式，幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度。本節(jié)課多次組織學生合作交流，通過小組合作，為學生提供展示自己聰明才智的機會，在此過程中，教師發(fā)現(xiàn)了學生在分析問題和解決問題時出現(xiàn)的獨到見解，以及思維的誤區(qū)，這樣